1、函数yAsin(x)的图像及三角函数模型的简单应用考试要求1.了解函数yAsin(x)的物理意义；能画出函数的图像，了解参数A，对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型1yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0，x0)表示一个简谐运动振幅周期频率相位初相ATfx2.用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：xx02yAsin(x)0A0A0提醒：用“五点法”作函数yAsin(x)的简图，精髓是通过变量代换，设zx，由z取0，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图像，其
2、中相邻两点的横向距离均为.3由ysin x的图像变换得到yAsin(x)(其中A0，0)的图像提醒：(1)两种变换的区别先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|个单位长度；先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(0)个单位长度(2)变换的注意点无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图像变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“x”的变化(1)函数yAsin(x)k图像平移的规律：“左加右减，上加下减”(2)由ysin x到ysin(x)(0，0)的变换：向左平移个单位长度而非个单位长度一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)将y3sin 2x的图像左移个
3、单位后所得图像的解析式是y3sin.()(2)把ysin x的图像上各点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图像对应的函数解析式为ysin .()(3)ysin的图像是由ysin的图像向右平移个单位得到的()(4)函数yAcos(x)的最小正周期为T，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1y2sin的振幅、频率和初相分别为()A2,4，B2，C2，D2,4，C由题意知A2，f，初相为.2为了得到函数y2sin的图像，可以将函数y2sin 2x的图像()A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度Ay2
4、sin2sin 2.3为了得到y3cos的图像，只需把y3cos图像上的所有点的()A纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变B横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变C纵坐标缩短到原来的，横坐标不变D横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D因为变换前后，两个函数的初相相同，所以只需把y3cos图像上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，即可得到函数y3cos的图像，故选D.4某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现下表是今年前四个月的统计情况：月份x1234收购价格y(元/斤)6765选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为_ysin6设yAsi
5、n(x)B(A0，0)，由题意得A1，B6，T4，因为T，所以，所以ysin6.因为当x1时，y6，所以6sin6，结合表中数据得2k，kZ，可取，所以ysin6. 考点一函数yAsin(x)的图像及图像变换 (1)yAsin(x)的图像可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换zx计算五点坐标(2)由函数ysin x的图像通过变换得到yAsin(x)图像有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”典例1(1)若函数f(x)cos，为了得到函数g(x)sin 2x的图像，则只需将f(x)的图像()A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度(2)已知函数f(
6、x)4cos xsina的最大值为2.求a的值及f(x)的最小正周期；画出f(x)在0，上的图像(1)A函数f(x)cossinsin，为了得到函数g(x)sin 2x的图像，则只需将f(x)的图像向右平移个单位长度即可故选A.(2)解f(x)4cos xsina4cos xasin 2x2cos2xasin 2xcos 2x1a2sin1a的最大值为2，所以a1，最小正周期T.由知f(x)2sin，列表：x02x2f(x)2sin120201画图如下：点评：三角函数图像变换中的三个注意点(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数；(2)要弄清变换的方向，即变换
7、的是哪个函数的图像，得到的是哪个函数的图像，切不可弄错方向；(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数yAsin x到yAsin(x)的变换量是|个单位，而函数yAsin x到yAsin(x)时，变换量是个单位1要得到函数ysin的图像，只需将函数ycos 5x的图像()A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位B函数ycos 5xsinsin 5，ysinsin 5，设平移|个单位，则，解得，故把函数ycos 5x的图像向右平移个单位，可得函数ysin的图像2将函数yf(x)的图像向左平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到ysin的图像，
8、则f(x)()AsinBsinCsinDsinB由题设知，先将函数ysin的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，再将所得图像向右平移个单位长度即得函数f(x)的图像，故f(x)sinsin.故选B. 考点二由图像确定yAsin(x)B的解析式 确定yAsin(x)B(A0，0)的解析式的步骤(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A，B.(2)求，确定函数的周期T，则.(3)求，常用方法为代入法，即把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入典例2(1)(2020新高考全国卷改编)如图是函数ysin(x)的部分图像，则sin(x)()
9、sin；sin；cos；cos.AB CD(2)如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数yAsin(x)b，则这段曲线的函数解析式为_(1)B(2)y10sin20，x6,14(1)由图像知，得T，所以2.又图像过点，由“五点法”，结合图像可得，即，所以sin(x)sin，故错误；由sinsinsin知正确；由sinsincos知正确；由sincoscoscos知错误综上可知，故选B.(2)从题图中可以看出，从614时的是函数yAsin(x)b的半个周期，所以A(3010)10，b(3010)20，又146，所以.又1022k，kZ，取，所以y10sin20，x6,14点评：(1)当
10、题目中已知最值点时，最好代入最值点求.(2)若未指定范围，一般取|最小的1(2020全国卷)设函数f(x)cos在，的图像大致如图，则f(x)的最小正周期为()A. B.C. D.C由题图知，f 0，k(kZ)，解得(kZ)设f(x)的最小正周期为T，易知T22T，2，1|2，当且仅当k1时，符合题意，此时，T.故选C.2.函数f(x)Asin(x)b的部分图像如图所示，则()Af(x)3sin1Bf(x)2sin2Cf(x)2sin2Df(x)2sin2D根据图像知解得A2，b2.f(x)的最小正周期T4，2.f(x)2sin(2x)2.又函数图像的一个最高点为，将其坐标代入f(x)2sin
11、(2x)2得sin1.|，f(x)2sin2. 考点三三角函数图像与性质的综合应用 解决三角函数图像与性质的综合问题的关键是首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图像，然后再根据数形结合思想研究函数的性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界函数等概念典例3已知函数f(x)2sin xcos x2sin2x(0)的最小正周期为.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)将函数f(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数yg(x)的图像，若yg(x)在0，b(b0)上至少含有10个零点，求b的最小值解(1)f(x)2sin xcos x
12、(2sin2x1)sin 2xcos 2x2sin.由最小正周期为，得1，所以f(x)2sin，由2k2x2k(kZ)，整理得kxk(kZ)，所以函数f(x)的单调递增区间是(kZ)(2)将函数f(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y2sin 2x1的图像，所以g(x)2sin 2x1.令g(x)0，得xk或xk(kZ)，所以在0，上恰好有两个零点，若yg(x)在0，b上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，所以b的最小值为4.(2019天津高考)已知函数f(x)Asin(x)(A0，0，|)是奇函数，将yf(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
13、，所得图像对应的函数为g(x)若g(x)的最小正周期为2，且g，则f()A2B C.D2Cf(x)Asin(x)为奇函数， k，kZ，又|，0，f(x)Asin x，则g(x)Asin.由g(x)的最小正周期T2，得1，2.又gAsin A，A2，f(x)2sin 2x，f 2sin ，故选C. 考点四三角函数模型的应用 三角函数的应用体现两个方面(1)已知函数模型求解数学问题；(2)把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题典例4(2020开封模拟)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮
14、是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H(t)Asin(t)B，求摩天轮转动一周的解析式H(t)；(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值解(1)H关于t的函数关系式为H(t)Asin(t)B，由解得A62，B
15、83，又函数周期为30，所以，可得H(t)62sin83，又H(0)62sin8321，|，所以sin 1，所以摩天轮转动一周的解析式为：H(t)62sin83,0t30，(2)H(t)62sin8362cost83，所以62cos t8352，cos t，所以t5.(3)由题意知，经过t分钟后游客甲距离地面高度解析式为H甲62cos t83，乙与甲间隔的时间为65分钟，所以乙距离地面高度解析式为H乙62cos (t5)83,5t30，所以两人离地面的高度差h|H甲H乙|62，5t30，当t或时，即t10或25分钟时，h取最大值为62米1.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标
16、系，设秒针尖位置P(x，y)若初始位置为P0，当秒针从P0(注此时t0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为()AysinBysinCysinDysinC由题意，函数的周期为T60，设函数解析式为ysin(因为秒针是顺时针走动)，初始位置为P0，t0时，y.sin ，可取，函数解析式为ysin，故选C.2据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)Asin(x)B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元，则7月份的出厂价格为_元6 000作出函数简图如图所示，三角函数模型为：yf(x)Asin(x)B，由题意知：A2 000，B7 000，T2(93)12，.将(3,9 000)看成函数图像的第二个特殊点，则有3，0，故f(x)2 000sin x7 000(1x12，xN*)f(7)2 000sin 7 0006 000.故7月份的出厂价格为6 000元
