1、专题四 立体几何 第 1 讲 空间几何体 感悟高考 明确考向(2010辽宁)如图，网格纸的小正方形的边长是 1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为_解析 由正视图和俯视图可知几何体是正方体切割后的一部分(四棱锥 C1ABCD)，还原在正方体中，如图所示多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线，由正方体棱长 AB2 知最长棱的长为 2 3.2 3考题分析本小题主要考查了考生对三视图的理解和掌握情况，考查考生对几何体中线段长的求解运算，考查了考生的空间想象能力和运算求解能力本小题以四棱锥的三视图为背景，突出考查了由平面图形到空间几何体的转化过程关于三视图的问题是新课标
2、高考的一个热点易错提醒(1)不能将三视图转化为空间几何体的直观图，是导致错误的主要原因(2)不能准确确定多面体中最长的一条棱，故计算易出错主干知识梳理1棱柱、棱锥、棱台(1)棱柱的性质侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形(2)正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射
3、影及底面边长的一半也构成一个直角三角形(3)正棱台的性质侧面是全等的等腰梯形；斜高相等；棱台的高、斜高和两底面的边心距组成一个直角梯形；棱台的高、侧棱和两底面外接圆的半径组成一个直角梯形；棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也组成一个直角梯形2圆柱、圆锥、圆台(1)圆柱、圆锥、圆台的概念分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台(2)圆柱、圆锥、圆台的性质轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形；平行于底面的截面都是圆3球(1)球面与球的概念半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周所成的曲面叫做球面
4、以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球半圆的圆心叫做球的球心(2)球的截面性质球心和截面圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面圆的半径 r 的关系为 d R2r2.4空间几何体的三视图三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影形成的平面图形，反映了一个几何体各个侧面的特点任意一个物体的长、宽、高一般指的是物体占有空间的左右、前后、上下的最大距离5柱体、锥体、台体的表面积(1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积S 直棱柱侧Ch，S 正棱锥侧12Ch，S 正棱台侧12(CC)h(其
5、中 C、C为底面周长，h 为高，h为斜高)(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积S 圆柱侧2rl，S 圆锥侧rl，S 圆台侧(rr)l(其中 r、r为底面半径，l 为母线长)柱或台的表面积等于侧面积与两个底面积的和，锥体的表面积是侧面积与一个底面积的和6柱体、锥体、台体的体积(1)棱柱、棱锥、棱台的体积V 棱柱Sh，V 棱锥13Sh，V 棱台13h(S SSS)(其中 S、S为底面积，h 为高)(2)圆柱、圆锥、圆台的体积V 圆柱r2h，V 圆锥13r2h，V 圆台13h(r2rrr2)(其中 r、r为底面半径，h 为高)7球的表面积与体积(1)半径为 R 的球的表面积公式为 S 球4R2.(2)半径
6、为 R 的球的体积公式为 V 球43R3.热点分类突破 题型一 空间几何体的三视图例 1下图是一个几何体的三视图，侧(左)视图是一个等边三角形，根据图中尺寸(单位：cm)，可知这个几何体的表面积是()A.(18 3)cm2 B.21 32cm2C(182 3)cm2D(62 3)cm2思维启迪根据三视图确定原几何体及其有关数据，然后由公式求其表面积解析 由三视图可得几何体是一个正三棱柱正三棱柱的高为 3，底面边长为 2.S 表233 34 222182 3(cm2)故选 C.答案 C探究提高(1)解答此类问题，首先由三视图想象出几何体的形状，并由相关数据得出几何体中的量，进而求得表面积或体积(
7、2)掌握三视图是正确解决这类问题的关键，同时也体现了知识间的内在联系，是高考的新动向变式训练 1一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)则该几何体的体积为()A.73m3 B.92m3 C.72m3 D.94m3解析 三视图所表示的几何体的直观图如图 几何体的体积 V313121372，故选 C.C题型二 几何体的体积例2 如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，直线 l 与平面 ABCD 平行，E 和F 是 l 上的两个不同点，且 EAED，FBFC.E和 F是平面 ABCD 内的两点，EE 和 FF都与平面 ABCD 垂直(1)证明：直线 EF垂直且平分线段 AD；(2)若
8、EADEAB60，EF2，求多面体ABCDEF 的体积思维启迪(1)AEDEAEDEE在 AD 的垂直平分线上(2)分割几何体 ABCDEF 为棱锥 EABCD 和 EBCF.(1)证明 EAED 且 EE平面 ABCD，EDEA，点 E在线段 AD 的垂直平分线上同理，点 F在线段 BC 的垂直平分线上又四边形 ABCD 是正方形，线段 BC 的垂直平分线也就是线段 AD 的垂直平分线，即点 E、F都在线段 AD 的垂直平分线上直线 EF垂直且平分线段 AD.(2)解 如图，连接 EB、EC，由题意知多面体 ABCDEF可分割成正四棱锥EABCD和正四面体EBCF两部分设 AD 的中点为 M
9、，在 RtMEE中，由于 ME1，ME 3，EE 2.VEABCD13S 正方形 ABCDEE1322 24 23.又 VEBCFVCBEFVCBEAVEABC13SABCEE131222 22 23，多面体 ABCDEF 的体积为 VEABCDVEBCF2 2.探究提高(1)求几何体的体积问题，可以多角度、多方位地考虑问题，对三棱锥，等体积转化法是常用的方法，转换底面的原则是使其高易求，常把底面放在已知几何体的某一面上(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体变化为规则几何体，易于求解变式训练 2下图是一几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图(1)若 F 为 PD 的中
10、点，求证：AF面 PCD；(2)求几何体 BECAPD 的体积(1)证明 由几何体的三视图可知，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，PA平面 ABCD，PAEB，PA2EB4.PAAD，F 为 PD 的中点，PDAF.又CDDA，CDPA，CDAF.AF平面 PCD.(2)解 VBEC APD VC APEB VP ACD1312(42)441312444803.题型三 多面体与球例3 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为 3，底面周长为 3，那么这个球的体积为_思维启迪先根据已知条件及球与正六棱柱的关系求出球的半径，再利用球的
11、体积公式易求结果解析 底面是正六边形且周长为 3，边长为12.AD1.AD1 为球的直径，其长度为 312，R1.V43R343.答案34探究提高(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系(2)若球面上四点 P、A、B、C 构成的线段 PA、PB、PC两两垂直，且 PAa，PBb，PCc，则 4R2a2b2c2，把有关元素“补形”成为一个球内接长方体(或其他图形)，从而显示出球的数量特征，这种方法是一种常用的好方法变式训练 3(2010全国)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四
12、点，若 ABCD2，则四面体 ABCD的体积的最大值为()A.2 33B.4 33C2 3D.8 33解析 如图所示，OA、OB、OC、OD 四条线段把四面体 ABCD 分成四个三棱锥，且三棱锥BODC 与 AODC 同底，三棱锥 DAOB 与CAOB 同底在三棱锥 BODC 和 AODC中，底面积为 34 22 3，高分别为 B 到平面 ODC 的距离与 A 到平面 ODC 的距离，只有 AB平面 ODC 时，两距离之和才能取得最大值 2，所以其体积和最大值为13 322 33.同理可得三棱锥 DAOB 与 CAOB 的体积和的最大值为2 33.所以四面体 ABCD 的体积的最大值为4 33
13、.答案 B规律方法总结 1在理解棱柱、棱锥、棱台的概念基础上，掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征：熟记特殊棱柱、棱锥、棱台的有关性质；能够把棱柱、棱锥、棱台的有关元素放在对角面、侧面等平面图形中去研究，突出化归的数学思想方法2学习三视图应会选取投射面，正确放置三视图中三个图的位置，三视图排列规则：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样，左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样；通常说：“长对正、高平齐、宽相等”，或说“主左一样高、主俯一样长、俯左一样宽”3长方体的外接球(1)长、宽、高分别为 a、b、c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即 a2b2c22R；(2)棱
14、长为 a 的正方体的体对角线等于外接球的直径，即 3a2R.知能提升演练一、选择题1(2010陕西)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A.12 B.23 C1 D2解析 由三视图可知，该空间几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，三棱柱的底面直角三角形的直角边长分别为 1 和 2，三棱柱的高为 2，所以该几何体的体积 V121 2 21.答案 C2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为 3，体积为 6，则这个球的表面积是()A16 B20C24 D32解析 设正四棱锥高为 h，底面边长为 a，由 V13a2ha26，a 6，可利用三角形相似计算出球的半径 r2，S 球4r21
15、6，故选 A.A3已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是()A4 cm3B5 cm3C6 cm3D7 cm3解析 三视图所表示的几何体为四棱锥V13212(42)24(cm3)故选 A.A4一个多面体的直观图和三视图如下，则此多面体外接球的表面积是()A3 B4 3 C12 D48解析 由三视图知：DAE90，ADAEAB2.则 2R 2222222 3，R 3，S 球4R212，故选 C.C5四面体的六条棱中，有五条棱长都等于 a，则该四面体的体积的最大值为()A.38 a3B.28 a3C.18a3D.112a3解析 方法一 设三棱锥另
16、一棱长 BCx，如图所示，取 BC 的中点 E，连结 AE、DE，易证 BC垂直于平面 ADE，故 VABCD13SADEBE13SADEEC13SADEBC1312a 3a2x22x a12 x2(3a2x2)a12x2(3a2x2)2a38，当且仅当 x2(3a2x2)x 62 a 时取等号故选 C.方法二 如上图，底 ABD 是固定的，当 C 动起来时，显然当平面 CAD平面 ABD 时高最大，体积最大，Vmax13(34 a2)32 aa38.故选 C.答案 C二、填空题6(2010天津)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_解析 该几何体是上面是底面边长为 2 的正四棱锥
17、，下面是底面边长为 1、高为 2 的正四棱柱的组合体，其体积为V11213221103.1037一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于_解析 VV 柱V 球2224313843.8438已知球 O 的面上四点 A、B、C、D，DA平面 ABC，ABBC，DAABBC 3，则球 O 的体积等于_解析 据题意可知，如图：球 O 即棱长为 3的正方体外接球，其半径 r(3)2(3)2(3)2432，V43r392.92三、解答题9.如图所示，在长方体 ABCDAB CD中，用截面截下一个棱锥 CADD，求棱锥 CADD的体积与剩余部分的体积之比解 设 ABa，ADb，AAc，V 长方体ab
18、c.又 VCADD13a12bc16abc，V 剩余部分abc16abc56abc，VCADDV剩余部分 16abc56abc15.即三棱锥 CADD的体积与剩余部分的体积比为 15.10一个多面体的直观图，正(主)视图(正前方观察)，俯视图(正上方观察)，侧(左)视图(左侧正前方观察)如下图所示(1)探求 AD 与平面 A1BCC1 的位置关系并说明理由；(2)求此多面体的表面积和体积解 从俯视图可得：底面四边形 ABCD 和侧面四边形A1C1CB 是矩形，又从正(主)视图可得，BCAB，BCBA1，且 ABBA1B，BC面 ABA1，A1AB 是正三角形，三棱柱是正三棱柱(1)底面四边形 ABCD 是矩形，ADBC.又BC面 A1BCC1，AD面 A1BCC1.(2)依题意可得：ABBCa，由 VSh，S12sin 60aa 34 a2，VSh 34 a2a 34 a3.S 侧Ch3aa3a2，S 表S 侧2S 底3a22 34 a2(3 32)a2，所以此多面体的表面积和体积分别为(3 32)a2，34 a3.返回
