1、2.5.2 椭圆的几何性质第1课时 椭圆的几何性质必备知识自主学习1.椭圆的几何性质 导思1.椭圆的几何性质主要有哪些？2椭圆的离心率与椭圆的扁平程度有怎样的关系？2.椭圆的离心率(1)定义：焦距与长轴长的比_(2)记法：e_(3)范围：_(4)e与椭圆形状的关系：e越接近1，椭圆越扁平，e越接近0，椭圆越接近于圆caca0eb0，F1 为左焦点，A 为右顶点，B1，B2 分别为上、下顶点，若 F1，A，B1，B2 四点在同一个圆上，则此椭圆的离心率为()A 312 B 512 C 22 D 32【解析】选 B.由题设圆的半径 rac2，则 b2aac22ac22，即 a2c2ace2e10，
2、解得 e1 52.4在平面直角坐标系 xOy 中，点 A()1，0，点 P 是椭圆x24 y21 上的一个动点，则|PA|的最大值与最小值的积为_.【解析】设点 P 的坐标为()x，y，则2x2，y21x24，所以|PA|()x1 2y2 x22x11x24 3x24 2x2 34x43223.当 x43 时，|PA|取最小值 63；当 x2 时，|PA|取最大值 3.因此|PA|的最大值与最小值的积为 3 63 6.答案：6关键能力合作学习类型一 椭圆的几何性质(逻辑推理、数学运算)1椭圆 C：4x2y216 的长轴长，短轴长，焦点坐标依次为()A8，4，(2 3，0)B8，4，(0，2 3
3、)C4，2，(2 3，0)D4，2，(0，2 3)2若椭圆 C：x24 y23 1，则该椭圆上的点到两焦点距离的最大值、最小值分别为()A3，1 B2 3，2 3C2，1 D 3 1，3 13(2020广州高二检测)已知椭圆x2a2 y2b2 1(a0，b0)的离心率为12，直线 ykx 与该椭圆交于 A，B 两点，分别过点 A，B 向 x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则 k 等于()A32 B23 C12 D2【解析】1.选 B.椭圆 C：4x2y216，即y216 x24 1，所以椭圆的长轴长为 8，短轴长为 4，焦点坐标为(0，2 3).2选 A.椭圆 C：x24 y23 1，a
4、2，c1，可得该椭圆上的点到两焦点距离的最大值、最小值分别为 ac3，ac1.3选 A.联立ykxx2a2y2b21(b2a2k2)x2a2b2，则 xabb2a2k2，由题意知abb2a2k2 c，因为 eca 12，所以 a2c，b a2c2 3 c，代入可得12c43c24c2k2 c2k32.【补偿训练】求椭圆 m2x24m2y21(m0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率【解析】由已知得x21m2 y214m21(m0)，因为 0m24m2，所以 1m2 14m2，所以椭圆的焦点在 x 轴上，并且长半轴长 a1m，短半轴长 b 12m，半焦距 c 32m，所以椭圆的长轴长
5、2a2m，短轴长 2b1m，焦点坐标为 32m，0，32m，0，顶点坐标为1m，0，1m，0，0，12m，0，12m，离心率 eca 32m1m32.类型二 求椭圆的离心率(数学运算)【典例】1.(2020邢台高二检测)已知 F1，F2 是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点，若 PF1PF2 且PF2F160，则 C 的离心率为()A1 32 B2 3 C 312 D 3 12(2020阆中高二检测)已知椭圆 C：x2a2 y2b2 1()ab0的左顶点为 A，上顶点为 B，右焦点为 F，若ABF90，则椭圆 C 的离心率为()A 512 B 312 C1 54 D 314【思路导引】
6、1.设|PF2|m，则根据平面几何知识可求|F1F2|，|PF1|，再结合椭圆定义可求离心率2根据ABF90可知 kABkBF1，转化成关于 a，b，c 的关系式，再根据 a，b 和 c 的关系进而求得 a 和 c 的关系，则椭圆的离心率可得【解析】1.选 D.在 F1PF2 中，F1PF290，PF2F160，设|PF2|m，则 2c|F1F2|2m，|PF1|3 m，又由椭圆定义可知 2a|PF1|PF2|(3 1)m，则离心率 eca 2c2a 2m（31）m 3 1.2选 A.根据题意得 A()a，0，B()0，b，F()c，0，因为ABF90，所以 kABkBF1，即b00()ab0
7、0c 1，所以b2ac 1，即 b2ac.又因为 c2a2b2，所以 c2a2ac0，等号两边同除以 a2 得ca2ca 10，即 e2e10，所以 e 512(舍)或 e 512.求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知 a，c 可直接利用 eca 求解若已知 a，b 或 b，c 可借助于 a2b2c2 求出 c 或 a，再代入公式 eca 求解(2)方程法：若 a，c 的值不可求，则可根据条件建立 a，b，c 的关系式，借助于a2b2c2，转化为关于 a，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以 a 的最高次幂，得到关于 e 的方程或不等式，即可求得 e 的值或范围 (2
8、020银川高二检测)已知焦点在 x 轴上的椭圆 C：x2a2 y24 1 的焦距为 4，则C 的离心率为()A13 B12 C 22 D2 23【解析】选 C.由题意得 a244，所以 a28，所以|a|2 2，所以椭圆的离心率为 e 22 2 22.类型三 由椭圆的性质求椭圆的标准方程(数学运算)【典例】求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)椭圆过点(3，0)，离心率 e 63；(2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 8；(3)求经过点 M(1，2)，且与椭圆x212 y26 1 有相同离心率的椭圆的标准方程【思路导引】(1)焦点位置不确定，分两种情况求解(2)利用
9、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解(3)方法一：先求离心率，根据离心率找到 a 与 b 的关系再用待定系数法求解方法二：设与椭圆x212 y26 1 有相同离心率的椭圆方程为x212 y26 k1(k10)或y212 x26 k2(k20)【解析】(1)若焦点在 x 轴上，则 a3，因为 eca 63，所以 c 6，所以 b2a2c2963.所以椭圆的方程为x29 y23 1.若焦点在 y 轴上，则 b3，因为 eca 1b2a2 19a2 63，解得 a227.所以椭圆的方程为y227 x29 1.所以所求椭圆的标准方程为x29 y23 1 或y227 x29 1.(2)设椭圆方程为x2
10、a2 y2b2 1(ab0).如图所示，A1FA2 为等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2 的中线(高)且|OF|c，|A1A2|2b，所以 cb4，所以 a2b2c232，故所求椭圆的标准方程为x232 y216 1.(3)方法一：由题意知 e21b2a2 12，所以b2a2 12，即 a22b2，设所求椭圆的方程为 x22b2 y2b2 1 或 y22b2 x2b2 1.将点 M(1，2)代入椭圆方程得 12b2 4b2 1 或 42b2 1b2 1，解得 b292 或 b23.故所求椭圆的标准方程为x29 y2921 或y26 x23 1.方法二：设所求椭圆方程为x212 y26 k1
11、(k10)或y212 x26 k2(k20)，将点 M 的坐标代入可得 112 46 k1 或 412 16 k2，解得 k134，k212，故x212 y26 34或y212 x26 12，即所求椭圆的标准方程为x29 y2921 或y26 x23 1.利用椭圆的几何性质求标准方程的思路1.利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：(1)确定焦点位置；(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有 b2a2c2，eca 等 2在椭圆的简单几何性质中
12、，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个【补偿训练】1.椭圆的焦点在 y 轴上，焦距为 4，且经过点 A(3，2)，则其标准方程为_【解析】设椭圆的标准方程为y2a2 x2b2 1(ab0)，上焦点为 F1(0，2)，下焦点为 F2(0，2)，根据椭圆的定义知，2a|AF1|AF2|3 3242 8，即 a4，所以 b2a2c216412，因此，椭圆的标准方程为y216 x212 1.答案：y216 x212 12根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程(1)长轴长是短轴长的 2 倍，且过点(2，6)；(2)焦点在 x 轴上，一
13、个焦点与短轴的两端点构成正三角形，且半焦距为 6.【解析】(1)当焦点在 x 轴上时，设椭圆方程为x2a2 y2b2 1(ab0).依题意有2ba，4a236b21，解得a2 37，b 37，所以椭圆方程为 x2148 y237 1.同样地可求出当焦点在 y 轴上时，椭圆方程为y252 x213 1.故所求的椭圆方程为 x2148 y237 1 或y252 x213 1.(2)依题意，有a2b，c6，a2b2c2，得a248，b212，所以所求的椭圆方程为x248 y212 1.备选类型 分类讨论思想在椭圆中的应用(数学抽象)【典例】(2020北京高二检测)已知椭圆x25 y2m 1()m0的
14、离心率 e 105，则m 的值为()A3 B253 或 3C 5D5 153或 15【思路导引】分 5m，50，当 5m 时，a 5，b m，c 5m，所以 eca 5m5 105，解得 m3；当 5b0)的左右焦点为 F1，F2，离心率为 33，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，若 AF1B 的周长为 4 3，则椭圆 C 的方程为_【解析】由椭圆的定义可得，|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a.又因为|AF1|AF2|BF1|BF2|4 3，所以 4a4 3，解得 a 3，又因为 eca 33，所以 c1，所以 b2a2c22，所以椭圆 C 的方程为x23 y22 1.答案：x23 y22 1 5(2020合肥高二检测)椭圆x25a y24a21 1 的焦点在 x 轴上，则它的离心率 e的取值范围是_【解析】因为椭圆的焦点在 x 轴上，故可得 5a4a21，解得 a14，1.又 e14a215a1154a1a，又对勾函数 y4a1a 在区间14，12上单调递减，在区间12，1上单调递增，当 a14 时，y5；a12 时，y4；a1 时，y5，故 y4a1a 4，5)，则115 4a1a0，15，则 e0，55.答案：0，55
