1、函数与方程考试要求结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf (x)(xD)，把使f (x)0的实数x叫做函数yf (x)(xD)的零点(2)三个等价关系方程f (x)0有实数根函数yf (x)的图象与x轴有交点函数yf (x)有零点提醒：函数的零点不是函数yf (x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数2函数的零点存在性定理如果函数yf (x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)f (b)0，那么，函数yf (x)在区间(a，b)内有零点，即
2、存在c(a，b)，使得f (c)0，这个c也就是方程f (x)0的根提醒：函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点3二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系000二次函数yax2bx(a0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数2104.二分法的定义对于在区间a，b上连续不断且f (a)f (b)0的函数yf (x)，通过不断地把函数f (x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法有关函数零点的三个结论(1)若yf (x)在闭区间a，b上的图象连续不断，且有f
3、(a)f (b)0，则函数yf (x)一定有零点(2)f (a)f (b)0是yf (x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件(3)若函数f (x)在a，b上是单调函数，且f (x)的图象连续不断，则f (a)f (b)0函数f (x)在区间a，b上只有一个零点一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf (x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f (a)f (b)0.()(3)若函数f (x)在(a，b)上单调且f (a)f (b)0，则函数f (x)在a，b上有且只有一个零点()(4)二次函数yax2bxc在b2
4、4ac0时没有零点()(5)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值()答案(1)(2)(3)(4)(5)二、教材习题衍生1已知函数yf (x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x123456y124.4337424.536.7123.6则函数yf (x)在区间1,6上的零点至少有()A2个 B3个 C4个 D5个Bf (2)f (3)0，f (3)f (4)0，f (4)f (5)0，故函数f (x)在区间1,6内至少有3个零点2函数f (x)ln x2x6的零点所在的区间是()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)C由题意得f (1)ln 12640，f
5、 (2)ln 246ln 220，f (3)ln 366ln 30，f (4)ln 486ln 420，f (x)的零点所在的区间为(2,3)3函数f (x)ex3x的零点个数是_1函数f (x)ex3x在R上是增函数，且f (1)30，f (0)10，f (1)f (0)0，因此函数f (x)有唯一零点4若函数f (x)x24xa存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是_(，4)由题意知164a0，解得a4. 考点一判定函数零点所在区间 判断函数零点所在区间的方法1设函数f (x)xln x，则函数yf (x)()A在区间，(1，e)上均有零点B在区间，(1，e)上均无零点C在区间上有零点，
6、在区间(1，e)上无零点D在区间上无零点，在区间(1，e)上有零点D当x时，函数图象是连续的，且f (x)0，所以f (x)在区间上单调递减，又f 10，f (1)0，f (e)10，所以函数f (x)在区间(1，e)上有唯一零点，故选D2若x0是方程x的解，则x0属于区间()A B C DC令f (x)x，则x0是函数f (x)的零点，函数f (x)在R上图象是连续的，且f (0)10，f 0，f 0，f f 0，因此x0，故选C3若abc，则函数f (x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内 B(，a)和(a，b)内C(b，c
7、)和(c，)内 D(，a)和(c，)内Aabc，f (a)(ab)(ac)0，f (b)(bc)(ba)0，f (c)(ca)(cb)0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)(b，c)内分别存在一个零点；又函数f (x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f (x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A4(2020天津模拟)设函数f (x)ex14x4，g(x)ln x，若f (x1)g(x2)0，则()A0g(x1)f (x2) Bg(x1)0f (x2)Cf (x2)0g(x1) Df (x2)g(x1)0B函数f (x)是R上的增函数，g(x)是(0，)上的增函数，
8、f (0)e140，f (1)5410，又f (x1)0，0x11，g(1)10，g(2)ln 20，又g(x2)0，1x22，f (x2)f (1)0，g(x1)g(1)0，g(x1)0f (x2)，故选B点评：由f (a)f (b)0，并不能说明函数f (x)在区间(a，b)上没有零点，若f (x)在(a，b)上是单调函数，则f (x)在(a，b)上无零点 考点二确定函数零点的个数 确定函数零点个数的方法典例1(1)(2019全国卷)函数f (x)2sin xsin 2x在0,2的零点个数为()A2 B3 C4 D5(2)函数f (x)的零点个数为()A0 B1 C2 D3(3)设函数f
9、(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f (x)exx3，则f (x)的零点个数为()A1 B2 C3 D4(1)B(2)D(3)C(1)由f (x)2sin xsin 2x2sin x2sin xcos x2sin x(1cos x)0得sin x0或cos x1，xk，kZ，又x0,2，x0，2，即零点有3个，故选B(2)依题意，在考虑x0时可以画出函数yln x与yx22x的图象(如图)，可知两个函数的图象有两个交点，当x0时，函数f (x)2x1与x轴只有一个交点，综上，函数f (x)有3个零点故选D(3)因为函数f (x)是定义域为R的奇函数，所以f (0)0，即x0是函数f (x)
10、的1个零点当x0时，令f (x)exx30，则exx3，分别画出函数yex和yx3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f (x)有1个零点根据对称性知，当x0时，函数f (x)也有1个零点综上所述，f (x)的零点个数为3.点评：数形结合法确定函数零点个数的关键是正确画出函数的图象在画函数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制1函数f (x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1 B2 C3 D4B令f (x)2x|log0.5x|10，可得|log0.5x|.设g(x)|log0.5x|，h(x).在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h
11、(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x)有2个零点故选B2若定义在R上的偶函数f (x)满足f (x2)f (x)，且当x0,1时，f (x)x，则函数yf (x)log3|x|的零点的个数是()A0 B2 C4 D6C画出函数yf (x)和ylog3|x|的部分图象如图所示由图知，函数yf (x)log3|x|的零点的个数为4. 考点三求与零点有关的参数问题 已知函数有零点(方程有根)，求参数的值或取值范围的方法根据函数零点的个数求参数的取值范围典例21(2018全国卷)已知函数f (x)g(x)f (x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A1,0
12、) B0，)C1，) D1，)C函数g(x)f (x)xa存在2个零点，即关于x的方程f (x)xa有2个不同的实根，即函数f (x)的图象与直线yxa有2个交点，作出直线yxa与函数f (x)的图象，如图所示，由图可知，a1，解得a1，故选C点评：已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题根据函数有零点求参数的取值范围典例22(1)函数f (x)x2ax1在区间上有零点，则实数a的取值范围是()A(2，) B2，) C D(2)已知函数f (x)则函数F(x)f (x)a2a1(aR)总有零点时，实数a的取
13、值范围是()A(，0)(1，) B1,2)C1,0)(1,2 D0,1(1)D(2)A(1)由题意知方程axx21在上有解，即ax在上有解，设tx，x，则t的取值范围是，所以实数a的取值范围是.(2)由F(x)0，得f (x)a2a1.函数f (x)的值域为(1，)，a2a11，解得a0或a1.故选A点评：函数f (x)有零点f (x)0有解，此时可分离参数，化为ag(x)的形式，则a的取值范围就是g(x)的值域1已知函数f (x)(aR)，若函数f (x)在R上有两个零点，则a的取值范围是()A(，1) B(，1C1,0) D(0,1D当x0时，由2x10得x，即x是函数f (x)的一个零点
14、，故方程2xa0在(，0上有一个解即a2x在(，0上有一个解，又当x(，0时02x1，则0a1，故选D2若函数f (x)4x2xa，x1,1有零点，则实数a的取值范围是_函数f (x)4x2xa，x1,1有零点，方程4x2xa0在1,1上有解，即方程a4x2x在1,1上有解令y4x2x.x1,1，2x，.实数a的取值范围是.核心素养3用数学眼光观察世界解嵌套函数的零点问题函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.嵌
15、套函数零点个数的判断已知函数f (x)则函数F(x)f (f (x)2f (x)的零点个数是()A4 B5 C6 D7A令f (x)t，则函数F(x)可化为yf (t)2t，则函数F(x)的零点问题可转化为方程f (t)2t0的根的问题令yf (t)2t0，则f (t)2t.分别作出yf (t)和y2t的图象，如图，由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2(不妨设t1t2)，则t10,1t22；由图，结合图象，当f (x)0时，有一解，即x2；当f (x)t2时，结合图象，有3个解所以yf f (x)2f (x)共有4个零点图图评析1.判断嵌套函数零点个数的主要步骤(1)换元解套，转化为tg
16、(x)与yf (t)的零点(2)依次解方程，令f (t)0，求t，代入tg(x)求出x的值或判断图象交点个数2抓住两点：(1)转化换元(2)充分利用函数的图象与性质已知f (x)则函数y2f (x)23f (x)1的零点个数是_5由2f (x)23f (x)10，得f (x)或f (x)1，作出函数yf (x)的图象如图所示由图象知y与yf (x)的图象有2个交点，y1与yf (x)的图象有3个交点因此函数y2f (x)23f (x)1的零点有5个已知嵌套函数的零点个数求参数函数f (x)若函数g(x)f (f (x)a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_1，)设tf (x)，令f (f
17、(x)a0，则af (t)在同一坐标系内作ya，yf (t)的图象(如图)当a1时，ya与yf (t)的图象有两个交点设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2t1)，则t11，t21.当t11时，t1f (x)有一解；当t21时，t2f (x)有两解综上，当a1时，函数g(x)f (f (x)a有三个不同的零点评析(1)求解本题抓住分段函数的图象性质，由ya与yf (t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由tf (x)的图象确定零点的个数(2)含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合设定义域为R的函数f (x)若关于x的方程2f 2(x)2bf (x)10有8个不同的实数根，则b的取值范围是_1.5b根据题意作出f (x)的简图：由图象可得当f (x)(0,1)时，有四个不同的x与f (x)对应再结合题中“方程2f 2(x)2bf (x)10有8个不同实数解”，可以分解为形如关于K的方程2K22bK10有两个不同的实数根K1，K2，且K1和K2均为大于0且小于1的实数列式如下：即可得1.5b.