1、单元小练14矩阵与变换、坐标系与参数方程【单元小练】单元小练14矩阵与变换、坐标系与参数方程 1. 求矩阵的特征值和特征向量. 2. 已知矩阵M=的一个特征值为2.在平面直角坐标系xOy中，若曲线C在矩阵M对应的变换作用下得到的曲线C：x2+y2=1，求曲线C的方程. 3. 已知直线l：x+y=1在矩阵A=对应的变换作用下得到直线l：x-y=1，求矩阵A. 4. 已知矩阵M=属于特征值8的一个特征向量是e=，点P(-1，2)在矩阵M对应的变换作用下得到点Q，求点Q的坐标. 5. 在极坐标系中，已知点A的极坐标为，圆E的极坐标方程为=4cos +4sin ，试判断点A和圆E的位置关系. 6. 在
2、极坐标系中，求圆=8sin 上的点到直线=(R)的距离的最大值. 7. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数).以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(cos +sin )+4=0，求曲线C上的点到直线l的距离的最大值. 8. 已知直线l的极坐标方程为sin=3，曲线C的参数方程为(为参数).设P是曲线C上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值.【单元小练答案】单元小练14矩阵与变换、坐标系与参数方程1. 矩阵的特征多项式为f()=(-3)2-1=2-6+8.令f()=0，解得1=2，2=4.将1=2代入二元一次方程组令x=1，所以属于特征值1
3、=2的一个特征向量为.同理，当2=4时，由x-y=0，所以属于特征值2=4的一个特征向量为.综上，矩阵有两个特征值，分别为1=2，2=4.属于1=2的一个特征向量为，属于2=4的一个特征向量为.2. 由题意知矩阵M的特征多项式为f()=(-a)(-1).因为矩阵M有一个特征值为2，所以f(2)=0，所以a=2.设曲线C上任意一点A(x，y)在矩阵M对应的变换作用下得到点A(x，y).由M=，即又点A(x，y)在曲线C：x2+y2=1上，所以(2x)2+(2x+y)2=1，即曲线C的方程为8x2+4xy+y2=1.3. (1) 设直线l：x+y=1上任意一点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用下得
4、到点M(x，y).由=，得又点M(x，y)在直线l上，所以x-y=1，即(mx+ny)-y=1，则解得所以矩阵A=.4. 由题意知=8，故解得所以矩阵M=.又=，所以点Q的坐标为(-2，4).5. 由题意知点A的直角坐标为(2，-2)，圆E的直角坐标方程为(x-2)2+(y-2)2=8，圆心E(2，2)，半径r=2，则点A到圆心E的距离d=4r=2，所以点A在圆E外.6. 由题意知圆的直角坐标方程为x2+(y-4)2=16，直线的直角坐标方程为y=x，则圆心(0，4)到直线的距离d=2，所以圆上的点到直线的距离的最大值为2+4=6.7. 由题意知直线l的直角坐标方程为x+y+4=0.在曲线C上任取一点A(cos ，sin )，0，2)，则点A到直线l的距离d=.当=时，d取得最大值，最大值为2+，此时点A的坐标为(，1).8. 由题意知直线l的直角坐标方程为x-y+6=0，曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4，圆C的半径r=2，所以圆心到直线l的距离d=3，所以点P到直线l的距离的最大值为5.
