1、数学基础知识与典型例题第七章直线和圆的方程直线和圆的方程知识关系直线的方程一、直线的倾斜角和斜率1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时,其倾斜角为,故直线倾斜角的范围是.2.直线的斜率:倾斜角不是的直线其倾斜角的正切叫这条直线的斜率,即.注：每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.当时，直线垂直于轴，它的斜率k不存在.过两点、的直线斜率公式二、直线方程的五种形式及适用条件 名称方程说明适用条件斜截式y=kx+bk斜率b纵截距倾斜角为90的直线不能用此式点斜式y-y0=k(x-x0)(x0，y0)直线上已知点，k 斜率倾斜角为90
2、的直线不能用此式两点式=(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式+=1a直线的横截距b直线的纵截距过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式Ax+By+C=0(A、B不全为零)A、B不能同时为零直线的方程注:确定直线方程需要有两个互相独立的条件,通常用待定系数法;确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.直线是平面几何的基本图形，它与方程中的二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B20）是一一对应的.直线的方程例1. 过点和的直线的斜率等于1, 则的值为( )(A) (B) (C)1或3 (D)1或4例2. 若, 则直线
3、2cos3y1=0的倾斜角的取值范围（ ）(A) (B) (C) (0,) (D) 例3. 直线的倾斜角是（ ）（A） （B） （C） （D）例4. 连接和两点的直线斜率为_,与y轴的交点P的坐标为_.例5. 以点为端点的线段的中垂线的方程是 .两直线的位置关系一、两直线的位置关系1. 两直线平行:斜率存在且不重合的两条直线l1y=k1x+b1， l2y=k2x+b2，则l1l2k1=k2;两条不重合直线的倾斜角为,则.2.两直线垂直:斜率存在的两条直线l1y=k1x+b1,l2y=k2x+b2,则l1l2k1k2= -1;两直线l1A1x+B1y+C1=0，l2A2x+B2y+C2=0，则l
4、1l2A1A2+B1B2 = 03. “到角”与“夹角”:直线到的角（方向角）；直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是.注:当两直线的斜率k1,k2都存在且k1k2-1时,;当直线的斜率不存在时,可结合图形判断.例6. 将直线绕着它与轴的交点逆时针旋转的角后，在轴上的截距是( )(A) (B) (C) (D) 例7. 将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点(2，0)与点(2，4)重合，若点（7，3）与点（m ,n）重合，则m+n的值为()(A)4 (B)4(C)10 (D)10例8. 与直线平行且过点的直线的方程是_。例9. 已知二直线和
5、，若，在y轴上的截距为-1，则m=_，n=_.两直线的位置关系两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是,当两直线的斜率k1，k2都存在且k1k2-1时，则有.4.距离公式。已知一点P(x0，y0)及一条直线l：Ax+By+C=0，则点P到直线l的距离d=；两平行直线l1:Ax+By+C1=0， l2:Ax+By+C2=0之间的距离d=。5.当直线位置不确定时，直线对应的方程中含有参数.含参数方程中有两种特殊情形，它们的对应的直线是有规律的，即旋转直线系和平行直线系.在点斜式方程y-y0=k(x-x0)中，当（x0，y0）
6、确定，k变化时，该方程表示过定点（x0，y0）的旋转直线系，当k确定，(x0，y0)变化时，该方程表示平行直线系.已知直线l：Ax+By+C=0，则方程Ax+By+m=0（m为参数）表示与l平行的直线系；方程-Bx+Ay+n=0（n为参数）表示与l垂直的直线系。已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，直线l2：A2x+B2y+C2=0，则方程A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0表示过l1与l2交点的直线系（不含l2）掌握含参数方程的几何意义是某种直线系，有时可以优化解题思路.例10. 经过两直线11x3y90与12xy190的交点，且过点(3,-2)的直线方程为_.例11. 已知
7、ABC中，A（2，-1），B（4，3），C（3，-2），求：BC边上的高所在直线方程；AB边中垂线方程；A平分线所在直线方程.例12. 已知定点P（6，4）与定直线l1：y=4x，过P点的直线l与l1交于第一象限Q点，与x轴正半轴交于点M，求使OQM面积最小的直线l方程.简单的线性规划线性规划当点P(x0，y0)在直线Ax+By+C=0上时，其坐标满足方程Ax0+By0+C=0；当P不在直线Ax+By+C=0上时，Ax0+By0+C0，即Ax0+By0+C0或Ax0+By0+C0（或0）,圆心坐标为（-，-），半径为r=.圆的参数方程：(x-a)2+(y-b)2=r2（r0）的参数方程为:（为
8、参数,表示旋转角），参数式常用来表示圆周上的点。注: 确定圆的方程需要有三个互相独立的条件, 通常也用待定系数法;圆的方程有三种形式，注意各种形式中各量的几何意义,使用时常数形结合充分运用圆的平面几何知识.圆的直径式方程： ,其中是圆的一条直径的两个端点.（用向量可推导）.二、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交，判定方法有两种：代数法：直线：Ax+By+C=0，圆：x2+y2+Dx+Ey+F=0，联立得方程组一元二次方程（2）几何法：直线:Ax+By+C=0，圆：(x-a)2+(y-b)2=r2，圆心（a，b）到直线的距离为d=，则三、圆和圆的位置关系：设两圆圆心分别
9、为O1、O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|为圆心距，则两圆位置关系如下：|O1O2|r1+r2两圆外离；|O1O2|=r1+r2两圆外切；| r1-r2|O1O2| r1+r2两圆相交；| O1O2 |=| r1-r2|两圆内切；0| O1O2|0，m0 x0-10 令x0-1=t，则t0,40当且仅当t=1，x0=11时，等号成立,此时Q（11，44），直线l：x+y-10=0评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数的函数关系式，再由基本不等式再此目标函数的最值。要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率k，截距b，角度，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。例13.B 例14. ， 例1
10、5.例16. 种蔬菜20亩,棉花30亩,水稻不种,总产值最高27万元.例17.解：设初中x个班，高中y 个班，则设年利润为s，则作出（1）、（2）表示的平面区域，如图，过点A时，S有最大值，由解得A（18，12）.易知当直线1.2x+2y=s即学校可规划初中18个班，高中12个班,（万元）. 可获最大年利润为45.6万元. 评 线性规划是直线方程的简单应用，是新增添的教学内容，是新大纲重视知识应用的体现，根据考纲要求，了解线性不等式表示的平面区域，了解线性规划的意义并会简单应用，解决此类问题，关键是读懂内容，根据要求，求出线性约束条件和目标函数，直线性约束条件下作出可行域，然后求线性目标函数在
11、可行域中的最优解，归纳如下步骤：根据实际问题的约束条件列出不等式，作出可行域，写出目标函数，确定目标函数的最优位置，从而获得最优解但在解答时，格式要规范，作图要精确，特别是最优解的求法，作时还是比较困难的是函数方程思想的应用.例18.A 例19.D 例20. x2+例21. (x例22. 解：以的中点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，.由已知，得.因为两圆半径均为1，所以.设，则，即.(或)例23.D 例24.C 例25.C 例26.B例27. x2+(y-1)2=1 例28. x+y=0或x+7y-6=0例29. 解：x2+y26x8y=0即(x3)2+(y4)2=25，设所求直线为ykx。圆半径为5，圆心M（3，4）到该直线距离为3， ，。 所求直线为y或。例30.m满足-2(m+3)2+2(1-4m2)2-4(16m4+9)0，即7m2-6m-10,半径r= , 时，, 0r设圆心P（x，y），则消去m得：y=4(x-3)2-1,又 所求轨迹方程为(x-3)2=(y+1)（）