1、数学必修3(人教A版)概 率本章小结随机事件的概率专题归纳1在条件S下，可能发生也可能不发生的事件称为相对于条件 S的随机事件，简称随机事件对它的理解应包含下面两个方面：随机事件是指一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此必须强调同一事件必须在相同的条件下研究；随机事件可以重复地进行大量试验，每次试验结果不一定相同，且无法预测下一次的结果，但随着实验的重复进行，其结果呈现规律性2概率可看做频率在理论上的期望值，随着试验次数的增加，频率可近似地作为这个事件的概率，频率本身是随机的；概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次的试验无关概率反映了随机事件发生可能性的大小对于概率的
2、统计定义，应注意以下几点： 求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验；只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率；概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； 概率反映了随机事件发生的可能性的大小；必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，因此0P(A)1.3随机试验满足的条件：试验可以在相同的条件下重复进行；试验所有可能结果都是明确的，而且不止一个；每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验前却不能肯定这次试验会出现哪种结果4如果两个事件A和B不可能同时发生，则称A 和B互斥(互不相容)从集合的角度看，是指这两个事件所含的结果组成的集合不相交，即AB.必然事件与不
3、可能事件是互斥事件两互斥事件的并的概率等于这两个事件的概率的和，即P(AB)P(A)P(B)一般地，有限个彼此互斥事件的并的概率，等于这些事件的概率的和，即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)利用这一公式求概率的步骤是：要确定这些事件彼此互斥；这些事件中有一个发生；先求出这些事件分别发生的概率，再求和注意：前两点是公式的使用条件，不符合这两点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的5如果A与B是互斥事件，且在一次试验中A与B必有一个发生，则称它们为对立事件从集合的角度看，由事件B所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集，即满足条件：AB且ABI(I为全集)，通常
4、事件A的对立事件记作.对立事件的性质：P(A)P(A)P()1，由公式可得P(A)1P()，当直接求某一事件的概率较为复杂时，可先转而求其对立事件的概率，这样可以大大地简化求某些事件概率的计算例题分析某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：医生人数012345人及以上概率0.10.160.30.20.20.04求：(1)派出医生至多2人的概率；(2)派出医生至少2人的概率解析：记事件A：“不派出医生”，事件B：“派出1名医生”，事件C：“派出2名医生”，事件D：“派出3名医生”，事件E：“派出4名医生”，事件F：“派出不少于5名医生”事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)
5、0.1，P(B)0.16，P(C)0.3，P(D)0.2，P(E)0.2，P(F)0.04.(1)“派出医生至多2人”的概率为P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)“派出医生至少2人”的概率为P(CDEF)P(C)P(D)P(E)P(F)0.30.20.20.040.74.或1P(AB)10.10.160.74.跟踪训练1袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现在有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率解析：每一个结果有三个球，它们的区别可用颜色体现，因此，每一个结果只需把三种不同的颜色写在小括号内
6、表示即可；从所列结果中找出符合要求的结果，即可求概率一共有8种不同的结果，列举如下：(红、红、红、)、(红、红、黑)、(红、黑、红)、(红、黑、黑)、(黑、红、红)、(黑、红、黑)、(黑、黑、红)、(黑、黑、黑)记“3次摸球所得总分为5”为事件A，则事件A包含的基本事件有：(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红)，共3个. 所以P(A).古典概型及其概率专题归纳1古典概型的建立如果一个试验同时满足以下两个条件：(1)有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的则称这样的试验为古典概型判断一个试验是否为古典概型
7、，需要确定这个试验是否具有古典概型的两个特征“有限性”和“等可能性”对于“有限性”的判断较易，对于“等可能性”的判断较难，要注意分辨2古典概型的概率计算公式：P(A).3对于公式中事件A包含的基本事件个数及总的基本事件个数n的计算方法：(1)问题比较简单的、个数比较少的可用列举法按规律全部列出；(2)当试验的结果比较多时，可以用排列组合解决m，n的值4要善于把一些实际问题转化为古典概型例题分析某人有4把钥匙，其中2把钥匙能把门打开现每次随机地取1把钥匙试着开门，试过的钥匙不扔掉，求第二次才能打开门的概率解析：用a，b表示能打开门的钥匙，用1,2表示不能打开门的钥匙，则所有基本事件为：(a，a)
8、，(a，b)，(a,1)，(a,2)，(b，a)，(b，b)，(b,1)，(b,2)，(1，a)，(1，b)，(1,1)，(1,2)，(2，a)，(2，b)，(2,1)，(2,2)，共有16个基本事件，其中“第二次才能打开门”的事件含有4个基本事件，因此P(第二次才打开门).点评：“第二次才能打开门”暗示着第一次不能打开另外，应用枚举法时要按照一定的顺序列举，做到不重复、不遗漏跟踪训练25张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张，求：(1)甲中奖的概率；(2)甲、乙都中奖的概率；(3)只有乙中奖的概率；(4)乙中奖的概率解析：(1)甲有5种抽法，即基本事件总数为5.中奖的抽法只有2种，
9、即事件“甲中奖”包含的基本事件数为2，故甲中奖的概率为P1.(2)甲、乙各抽一张的事件中，甲有五种抽法，则乙有4种抽法，故所有可能的抽法共5420种，甲、乙都中奖的事件中包含的基本事件只有2种，故P2.(3)由(2)知，甲、乙各抽一张奖券，共有20种抽法，只有乙中奖的事件包含“甲未中”和“乙中”两种情况，故共有326种基本事件，P3.(4)由(1)可知，总的基本事件数为5，中奖的基本事件数为2，故P4.几何概型及其概率专题归纳1如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成正比，则称这样的概率模型为几何概型几何概型是一种特殊的概率模型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个
10、，它的特点是试验的结果在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关2几何概型中事件A的概率计算公式：P(A).3求解几何概型的概率问题，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率主要步骤有：(1)适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解；(2)把基本事件转化为与之对应的总体区域D；(3)把随机事件A转化为与之对应的子区域d；(4)利用几何概型概率公式计算一、与长度有关的几何概型若一次试验中所有可能结果和某个事件A包含的结果(基本事件)都对应一个长度，如线段长、时间区间、距离、路程等，那么需要求出各自相应的
11、长度，然后运用几何概型的计算公式即可求出事件A发生的概率例题分析某人睡觉醒来，发现钟表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率解析： 假设他在060分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的因为电台每隔1小时报时一次，他在哪个时间段打开收音机的概率只与这时间段的长度有关，因此，需要求出各自相应的时间“长度”，然后用几何概型公式求解设事件A等待时间不超过10分钟，我们关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于之间，它的区间长度为10，电台每隔1小时报时一次，它的区间长度为60，由几何概型的计算公式得P(A).即“他等待的时间不多于10分钟的概率”为.点评：在哪个时间段打开收
12、音机的概率只与这时间段的长度有关，可转化为与“长度”有关的几何概型我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解跟踪训练3如图，A，B两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C，D，问A与C，B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？解析：从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型记E：“A与C，B与D之间的距离都不小于10米”，把AB三等分，由于中间长度为3010米，
13、P(E).二、与角度有关的几何概型若一次试验中所有可能结果和某个事件A包含的结果(基本事件)都对应一个角度，那么需要求出各自相应的角度，然后运用几何概型的计算公式即可求出事件A发生的概率例题分析如右图所示，在直角坐标系内，射线OT落在60的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在xOT内的概率解析：过O作射线OA是随机的，射线OA落在任何位置都是等可能的，落在xOT内的概率只与xOT的大小有关，符合几何概型的条件设事件A射线OA落在xOT内，事件A的“几何度量”是60，而坐标平面的“几何度量”为360，所以由几何概率公式，得P(A).点评：解此题的关键是找到事件A射线OA落在xOT内的“几何度
14、量”是60，以及坐标平面的“几何度量”为360.跟踪训练4设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，求弦长超过半径的倍的概率解析：如图所示，设B是O上的任一点，要使弦长超过半径的倍，只需AOB的度数大于90，记“弦长超过半径的倍”为事件E，则E表示的范围是AOB，由几何概型求概率的公式得：P(E).三、与面积有关的几何概型如果每个基本事件可以理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，某个随机事件的发生理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域内的点，且该区域中每一个被取到的机会都一样，这样的概率模型就可以用几何模型来解并且这里的区域可以用面积表示，然后利用几何概型的公式求解例题分析在0
15、1之间随机选择两个数，这两个数对应的点把01之间的线段分成了三条线段，试求这三条线段能构成三角形的概率错解：因为所以xy1，于是P.错因：本题误把长度看作几何度量解析：设三条线段的长度分别为x，y,1xy，则即在平面上建立如图所示的直角坐标系，直线x0，y0，yx1围成如图所示三角形区域G，每一对(x，y)对应着G内的点(x，y)，由题意知，每个试验结果出现的可能性相等，因此，试验属于几何概型，三条线段能构成三角形，当且仅当即因此图中的阴影区域g就表示“三条线段能构成三角形”，容易求得g的面积为，G的面积为，则P(这三条线段构成三角形).跟踪训练5.如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环，从外
16、向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色金色靶心叫“黄心”奥运会的比赛靶面直径为122 cm，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射箭假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？解析：记“射中黄心”为事件B，由于中靶点随机地落在面积为1222 cm2的大圆内，而当中靶点落在面积为12.22 cm2的黄心时，事件B发生，于是事件B发生的概率为P(B)0.01.即：“射中黄心”的概率是0.01.四、与体积有关的几何概型对于几何概型，如果图形与体积有关，只需把该试验的所有结果对应体积求出，就可以利用几何概型概率公式进行计算例题分析在区间上任取三个实
17、数x，y，z，事件A(x，y，z)| x2y2z21，x0，y0，z0 . (1)构造出随机事件A对应的几何图形；(2)利用该图形求事件A的概率解析： 在空间直角坐标系下，要明确x2y2z21表示的几何图形是以原点为球心，半径r1的球的内部事件A对应的几何图形所在位置是随机的，所以事件A的概率只与事件A对应的几何图形的体积有关，这符合几何概型的条件(1)A(x，y，z)| x2y2z21，x0，y0，z0表示空间直角坐标系中以原点为球心，半径r1的球的内部部分中x0，y0，z0的部分，如图所示 (2)由于x，y，z属于区间，当xyz1时，为正方体的一个顶点，事件A为球在正方体内的部分P(A).
18、点评：本例是利用几何图形的体积比来求解的几何概型，关键要明白点P(x，y，z)的集合所表示的图形从本例可以看出求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式即可解，另外要适当选择观察角度跟踪训练6若b(0,1)，则方程x2xb0有实根的概率为()A.B.C.D.答案：C随机模拟的应用专题归纳1随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的随机数的产生方法：(1)可以由实验产生随机数，这个方法就是简单随机抽样中的抽签法这种做法的优点是产生的随机数是真正的随机数，缺点是当需要的随机数的量很大时，速度太慢(2)由计算机或计算器产生，随机
19、数表就是由计算机产生的随机数表格它的优点是速度较快，适用于产生大量的随机数但由计算机或计算器产生的不是真正的随机数，称为伪随机数2利用随机模拟的方法求概率，实质上是先求频率，用频率近似代替概率我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量(如概率值、常数)有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量3均匀随机数：在一定范围内随机产生的数，其中每一个数产生的机会是一样的，通过模拟一些试验，可以代替我们进行大量的重复试验，从而求得几何概型的概率一般地，利用计算机或计算器的RAND()函数可以产生01之间的均匀随机
20、数ab之间的均匀随机数的产生：利用计算机或计算器产生01之间的均匀随机数xRAND()，然后利用伸缩和平移变换xRAND()*(ba)a，就可以产生上的均匀随机数，试验的结果是产生ab之间的任何一个实数，每一个实数都是等可能的4均匀随机数的应用：(1)用随机模拟法估计几何概率；(2)用随机模拟法计算不规则图形的面积欲用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线ylog3x与x3及x轴围成的图形)的面积，可以如下操作：(1)利用计算器或计算机产生两组01的均匀随机数，x1RAND，y1RAND；(2)经过伸缩平移变换，x3分析：利用面积型几何概型的公式及频率是概率的近似值进行计算解析：设事件A：“随机向
21、矩形内投点，所投点落在阴影部分”正方形的面积为9，设阴影部分的面积为S，则由几何概型的公式得：P(A).又因为频率的值就是P(A)的近似值，故，所以S.跟踪训练7某校高一全年级共20个班1 200人，期终考试时如何把学生分配到40个考场中去？解析：要把1 200人分到40个考场中去，每个考场30人，首先要把全体学生按一定顺序排成一列，然后从1号到30号去第1考场，31号到60号去第2考场，人数太多，如果用随机数表法给每名学生找一个考试号，太费时费力，我们可以用随机函数给每一个学生一个随机号数，然后再按号数用计算机排序即可(1)按班级、学号顺序把学生档案输入计算机(2)用随机函数RANDBETW
22、EEN(1,1 200)按顺序给每个学生一个随机数(每人的都不同)(3)使用计算机排序功能按随机数从小到大排列，即可得到考试号从1到1 200人的考试序号(注：1号应为0001,2号应为0002，用0补足位数前面再加上有关信息号码即可)8某班有45人，现要选出1人去检查其他班的卫生，若每个人被选到的机会均等，则恰好选中学生甲去的机会有多大？解析：本题应用计算器产生随机数进行模拟试验，请按照下面的步骤独立完成(1)用145的45个数来替代45个人；(2)用计算器产生145之间的随机数，并记录；(3)整理数据并填入下表：试验次数501001502002503003504004505001出现的频数1出现的频率试验次数6006507007508008509001 0001 0501出现的频数1出现的频率(4)利用稳定后1出现的频率估计恰好选中学生甲的机会