1、第3课时利用导数解决函数的零点问题技法阐释1.利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式结构函数零点个数(或方程根的个数)问题的一般思路(1)可转化为用导数研究其函数的图像与x轴(或直线yk)在该区间上的交点问题；(2)证明有几个零点时，需要利用导数研究函数的单调性，确定分类讨论的标准，确定函数在每一个区间上的极值(最值)、端点函数值等性质，进而画出函数的大致图像再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)f(b)0.2证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤第一步，利用导数证明该函数在该区间上单调；第二步，证明端点的导数值异号3已知函数有零点求参数范围常用的方法(1
2、)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设条件构建关于参数的不等式，确定参数范围；(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围高考示例思维过程(2020全国卷)设函数f(x)x3bxc，曲线yf(x)在点处的切线与y轴垂直(1)求b；(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于
3、1.解(1)f(x)3x2b.依题意得f0，即b0，故b.(2)证明：由(1)知f(x)x3xc，f(x)3x2.f(x)与f(x)的情况为：xf(x)00f(x)cc因为f(1)fc，因为f(1)f c，由题设可知c.综上，若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，则f(x)所有零点的绝对值都不大于1. 技法一讨论或证明函数零点的个数典例1(2019全国卷)已知函数f(x)sin xln(1x)，f(x)为f(x)的导数证明：(1)f(x)在区间存在唯一极大值点；(2)f(x)有且仅有2个零点思维流程证明(1)设g(x)f(x)，则g(x)cos x，g(x)sin x.当x时，g(x)单调递减
4、，而g(0)0，g0，可得g(x)在有唯一零点，设为.则当x(1，)时，g(x)0；当x时，g(x)0.所以g(x)在(1，)单调递增，在单调递减，故g(x)在存在唯一极大值点，即f(x)在存在唯一极大值点(2)f(x)的定义域为(1，)()当x(1,0时，由(1)知，f(x)在(1,0)单调递增，而f(0)0，所以当x(1,0)时，f(x)0，故f(x)在(1,0)单调递减又f(0)0，从而x0是f(x)在(1,0的唯一零点()当x时，由(1)知，f(x)在(0，)单调递增，在单调递减，而f(0)0，f0，所以存在，使得f()0，且当x(0，)时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在
5、(0，)单调递增，在单调递减又f(0)0，f1ln0，所以当x时，f(x)0.从而，f(x)在没有零点()当x时，f(x)0，所以f(x)在单调递减而f0，f()0，所以f(x)在有唯一零点()当x(，)时，ln(x1)1，所以f(x)0，从而f(x)在(，)没有零点综上，f(x)有且仅有2个零点点评：根据参数确定函数零点的个数，解题的基本思想是“数形结合”，即通过研究函数的性质(单调性、极值、函数值的极限位置等)，作出函数的大致图像，然后通过函数图像得出其与x轴交点的个数，或者两个相关函数图像交点的个数，基本步骤是“先数后形”设函数f(x)ln x，mR.(1)当me(e为自然对数的底数)时
6、，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)f(x)零点的个数解(1)由题意知，当me时，f(x)ln x(x0)，则f(x)，当x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(0，e)上单调递减；当x(e，)时，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增，当xe时，f(x)取得极小值f(e)ln e2，f(x)的极小值为2.(2)由题意知g(x)f(x)(x0)，令g(x)0，得mx3x(x0)设(x)x3x(x0)，则(x)x21(x1)(x1)当x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递增；当x(1，)时，(x)0，(x)在(1，)上单调递减x1是(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x
7、1也是(x)的最大值点，(x)的最大值为(1)，又(0)0.结合y(x)的图像(如图)，可知，当m时，函数g(x)无零点；当m时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)有两个零点；当m0时，函数g(x)有且只有一个零点综上所述，当m时，函数g(x)无零点；当m或m0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)有两个零点 技法二已知函数零点个数求参数的取值范围典例2(2020全国卷)已知函数f(x)exa(x2)(1)当a1时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围思维流程解(1)当a1时，f(x)exx2，则f(x)ex1.当x0时，f(x)
8、0时，f(x)0.所以f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)f(x)exa.当a0时，f(x)0，所以f(x)在(，)单调递增，故f(x)至多存在一个零点，不合题意当a0时，由f(x)0可得xln a当x(，ln a)时，f(x)0.所以f(x)在(，ln a)单调递减，在(ln a，)单调递增故当xln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)a(1ln a)()若0，则f(ln a)0，所以f(x)在(，ln a)存在唯一零点由(1)知，当x2时，exx20，所以当x4且x2ln(2a)时，f(x)eea(x2)eln(2a)a(x2)2a0.故f(x)在(ln
9、a，)存在唯一零点从而f(x)在(，)有两个零点综上，a的取值范围是.点评：与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图像与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图像的交点问题(2020贵阳模拟)已知函数f(x)kxln x(k0)(1)若k1，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)有且只有一个零点，求实数k的值解(1)若k1，则f(x)xln x，定义域为(0，)，则f(x)1，由f(x)0，得x1；由f(x)0，得0x1，f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)(2)法一：由题意知，方程kxln x0仅有一个实根，由kxln x0，得k(x0)令g(x)(x0)，则g(x)，当xe时，g(x)0；当0xe时，g(x)0；当xe时，g(x)0.g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，g(x)maxg(e).当x时，g(x)0.又k0，要使f(x)仅有一个零点，则k.法二：f(x)kxln x，f(x)k(x0，k0)当x时，f(x)0；当0x时，f(x)0；当x时，f(x)0.f(x)在上单调递减，在上单调递增，f(x)minf1ln，f(x)有且只有一个零点，1ln0，即k.