1、 高三一轮（文） 3.3 三角函数的图象和性质【教学目标】 1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解函数的周期性2. 理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解 正切函数在区间内的单调性.【重点难点】 1.教学重点： 函数ysin x，ycos x，ytan x的图象和性质； 2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图考纲再现: 考试内容 要求层次了解 理解 掌握 函数 ysin x，ycos x，
2、ytan x的图象和性质 北 京 近 五 年 主 要 考 查考纲传真1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解函数的周期性2.理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.真题再现2. 3.(2016高考新课标1)已知函数 为 的零点, 为 图像的对称轴, 且 在单调,则的最大值为( )4.2015北京高考已知函数f(x)sincossin2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间，0上的最小值解(1)f(x)sinx(1cosx)sin，所以f(x)的最小正周期为2.(2)因为x0，所以
3、x.当x，即x时，f(x)取得最小值所以f(x)在区间，0上的最小值为f1.。学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。 学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。 通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢环节二：知识梳理：知识点1用五点法作图正弦函数ysin x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，0)， (2，0)余弦函数ycos x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1)知识点2周期函数与最小正周期1周期函数；对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(
4、x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期2最小正周期；如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期知识点3三角函数的图象和性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRxk，kZ值域1,11,1R单调性增区间：，减区间：增区间：2k，2k，减区间：2k，2k，递增区间k，k，kZ奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(k，0)，kZ，kZ.，0，kZ对称轴xk，kZxk，kZ无对称轴周期22名师点睛：1必会结论(1)对称与周期正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期
5、正切曲线相邻两对称中心之间的距离是一个周期(2)奇偶性若f(x)Asin(x)(A，0)，则f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ)；f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ)2必知联系(1)对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令tx，将其转化为研究ysin t的性质(2)闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响考点分项突破考点一： 三角函数的定义域及简单的三角不等式1.函数f(x)2tan的定义域是()A. B.C.D.【解析】由2xk得x，kZ，所以f(x)的定义域为.【答案】D22sin x10的解集是
6、_【解析】由2sin x10，得sin x，结合正弦函数的图象知2kx2k(kZ)跟踪训练1：(2)函数 的定义域为_。(3)不等式 的解集是_。归纳：1三角函数定义域的求法(1)应用正切函数ytan x的定义域求函数yAtan(x)的定义域(2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域2简单三角不等式的解法；(1)利用三角函数线求解(2)利用三角函数的图象求解考点二: 三角函数的最值与值域(1)函数y2sin在区间0,9上的最大值与最小值之和为_(2)函数ycos2x2sin x的最大值为_，最小值为_【解析】(1)0x9，x.sin1，则y2.ymaxymin2.(2)ycos2x2s
7、in x1sin2x2sin x(sin x1)22，sin x1,1，ymax2，ymin2.【答案】(1)2(2)22跟踪训练2：1.函数f(x)3sin在区间上的值域( )A.B.C. D.D.【解析】当x时，2x，sin，故3sin，即f(x)的值域为.2.函数ycos 2x2sin x的最大值为_【解析】ycos 2x2sin x2sin2x2sin x1，设tsin x(1t1)，则原函数可以化为y2t22t122，当t时，最大值.3.已知函数f(x)sin，其中x，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是_【解析】x，x，x时，f(x)的值域为，由函数的图象知a，所以a.归纳：三
8、角函数最值或值域的三种求法1直接法：利用sin x，cos x的值域2化一法：化为yAsin(x)k的形式，确定x的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域3换元法：把sin x或cos x看作一个整体，转化为二次函数，求给定区间上的值域(最值)问题考点三：三角函数的性质命题角度1三角函数的奇偶性、周期性、对称性1函数y2cos21是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的非奇非偶函数【解析】因为ycossin 2x，所以是最小正周期为的奇函数【答案】A2当x时，函数f(x)sin(x)取得最小值，则函数yf()A是奇函数且图象关于点对称B是偶函数且
9、图象关于点(，0)对称C是奇函数且图象关于直线x对称D是偶函数且图象关于直线x对称【解析】当x时，函数f(x)取得最小值，sin1，2k(kZ)f(x)sinsin.yfsin(x)sin x.yf是奇函数，且图象关于直线x对称【答案】C命题角度2三角函数的单调性3已知函数f(x)4sin，x，0，则f(x)的单调递减区间是()A. B.C.，D.，【解析】f(x)4sin4sin.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)所以函数f(x)的减区间是(kZ)因为x，0，所以函数f(x)的减区间是，.4若f(x)2sin x1(0)在区间上是增函数，则的取值范围是_【解析】法一由2kx2k，kZ，
10、得f(x)的增区间是，kZ.因为f(x)在上是增函数，所以.所以且，所以.法二因为x，0.所以x，又f(x)在区间上是增函数，所以，则又0，得00)的最小正周期为4，则()A函数f(x)的图象关于点对称 B函数f(x)的图象关于直线x对称C函数f(x)的图象向右平移个单位后，图象关于原点对称 D函数f(x)在区间(0，)内单调递增解析因为函数的最小正周期T4，所以，所以f(x)sin.因为fsinsin，所以A，B错误将函数f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)sinsin的图象，关于原点对称，所以C正确由2kx2k(kZ)，得4kx4k(kZ)，所以f(x)sin的单调递增区间为，kZ，
11、所以D错误故选C.3函数f(x)tan的单调递增区间是()A. B.(kZ)C. D.(kZ)解析由k2xk(kZ)得，x0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是()A B. C. D(0,2)解析由x0得，x0)的周期为，函数yAtan(x)(0)的周期为求解2求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解 (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间3已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子
12、集，列不等式(组)求解(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解(3)周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念，加强理解。从而为后面的练习奠定基础.在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴趣。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。.通过跟踪训练，来锻炼学生独立解决问题的能力，到底知识和能力的内化。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知
13、结构。通过跟踪训练，来锻炼学生独立解决问题的能力，到底知识和能力的内化。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。 由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式识别能力和解题效率。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，提高解题技能。环节三：课堂小结：1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成yAsin(x)(0)的形式.3.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令tx，将其转化为研究ysin t的性质.4.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解.学生回顾，总结.引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。环节四：课后作业：学生版练与测学生通过作业进行课外反思，通过思考发散巩固所学的知识。
