1、第三章 3.1 两角和与差的三角函数3.1.1 两角和与差的余弦学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法推导出公式的主要步骤.3.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该组公式进行求值、计算.栏目索引 CONTENTS PAGE 1 预习导学 挑战自我，点点落实 2 课堂讲义 重点难点，个个击破 3 当堂检测 当堂训练，体验成功 4 3.1.1 两角和与差的余弦 预习导学 挑战自我，点点落实 知识链接1.当 2，4时，cos()cos cos 成立.那么当、R 时，cos()cos cos 恒成立吗(举例说明)?答 不恒成立，如 3，6时.5 3.1.1 两角
2、和与差的余弦2.请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想.cos 45cos 45sin 45sin 45cos 0；cos 60cos 30sin 60sin 30 cos 30；cos 30cos 120sin 30sin 120cos(90)；132 06 3.1.1 两角和与差的余弦cos 150cos 210sin 150sin 210 cos(60)猜想：cos cos sin sin；即：cos()cos cos sin sin.12cos()7 3.1.1 两角和与差的余弦预习导引1.两角差的余弦公式 C()：cos()，其中、为任意角.2.两角和的余弦公式
3、 C()：cos().cos cos sin sin cos cos sin sin 8 3.1.1 两角和与差的余弦 课堂讲义 重点难点，个个击破 要点一 运用公式求值 例1 计算：(1)cos(15)；解 方法一 原式cos(3045)cos 30cos 45sin 30sin 45 32 22 12 22 6 24.9 3.1.1 两角和与差的余弦方法二 原式cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30 22 32 22 126 24.10 3.1.1 两角和与差的余弦(2)cos 15cos 105sin 15sin 105.解 原式cos(15105
4、)cos(90)cos 900.11 3.1.1 两角和与差的余弦规律方法 利用两角差的余弦公式求值的一般思路：(1)把非特殊角转化为特殊角的和差，正用公式直接求解.(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式右边形式，然后逆用公式求值.12 3.1.1 两角和与差的余弦解 原式cos 24cos 36sin 24sin 36cos(2436)cos 6012.跟踪演练1 求下列三角函数式的值.(1)cos 24cos 36cos 66cos 54；13 3.1.1 两角和与差的余弦(2)sin 195cos 105.解 方法一 原式sin(90105)cos 105 cos 1
5、05cos 1052cos 1052cos(13530)2(cos 135cos 30sin 135sin 30)2 22 32 22 12 2 62.14 3.1.1 两角和与差的余弦方法二 原式sin(90105)cos 1052cos 105 2cos(4560)2(cos 45cos 60sin 45sin 60)222 12 22 32 2 62.15 3.1.1 两角和与差的余弦要点二 给值求值例 2 设 cos(2)19，sin2 23，其中 2，0，2，求 cos2.解 2，0，2，24，24，2，16 3.1.1 两角和与差的余弦sin2 1cos22 1 1814 59.c
6、os 2 1sin22 149 53.cos2 cos2 2cos2 cos2 sin2 sin219 53 4 59 237 527.17 3.1.1 两角和与差的余弦规律方法 三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有：()，()，(2)()，12，12 等.18 3.1.1 两角和与差的余弦跟踪演练2 已知cos 17，cos()1114，且、0，2，求 cos 的值.解、0，2，(0，).又cos 17，cos()1114，sin 1cos24 37，19 3.1.1 两角和与差的余弦sin()1cos25
7、 314.又()，cos cos()cos()cos sin()sin 1114 175 314 4 37 12.20 3.1.1 两角和与差的余弦要点三 已知三角函数值求角例 3 已知、均为锐角，且 cos 2 55，cos 1010，求 的值.解、均为锐角，sin 55，sin 3 1010.cos()cos cos sin sin 2 55 1010 55 3 1010 22.21 3.1.1 两角和与差的余弦又 sin sin，02，20.故 4.22 3.1.1 两角和与差的余弦规律方法 解答已知三角函数值求角这类题目，关键在于合理运用公式并结合角的范围，对所求的解进行取舍，其关键环
8、节有两个：一是求出所求角的某种三角函数值，二是确定角的范围，然后结合三角函数图象就易求出角的值.23 3.1.1 两角和与差的余弦跟踪演练 3 已知 cos()1213，cos()1213，且 2，32，2，求角 的值.解 由 2，且 cos()1213，得 sin()513.由 32，2，且 cos()1213，24 3.1.1 两角和与差的余弦得 sin()513，cos 2cos()()cos()cos()sin()sin()12131213 513 5131.又2，32，2，22，32，2，则 2.25 3.1.1 两角和与差的余弦 当堂检测 当堂训练，体验成功 1.cos 78cos
9、 18sin 78sin 18的值为.1 2 3 4解析 cos 78cos 18sin 78sin 18cos(7818)cos 6012.1226 3.1.1 两角和与差的余弦1 2 3 42.已知 cos()13，cos()15，则 tan tan.解析 由cos cos sin sin 13，cos cos sin sin 15，解得sin sin 115，cos cos 415，tan tan 14.1427 3.1.1 两角和与差的余弦1 2 3 43.计算12sin 60 32 cos 60.解析 原式sin 30sin 60cos 30cos 60cos(6030)cos 30
10、 32.3228 3.1.1 两角和与差的余弦1 2 3 44.已知 sin 45，sin 513，且 180270，90180，求 cos().解 因为 sin 45，180270，所以 cos 35.因为 sin 513，90180，所以 cos 1213.29 3.1.1 两角和与差的余弦1 2 3 4所以 cos()cos cos sin sin 35 1213 45 513366520651665.30 3.1.1 两角和与差的余弦课堂小结1.给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”.注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧.31 3.1.1 两角和与差的余弦2.“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：求角的某一三角函数值；确定角所在的范围(找区间)；确定角的值.确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.
