1、2021-2022学年度第一学期高三年级期末教学质量检测试卷理科数学一选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知，则（ ）A. B. C. D. 3. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为（ ）A. B. C. D. 4. 下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）A. B. C. D. 5. 已知，分别是双曲线的左右焦点，点B为C的左顶点，动点A在C上，当时，且，则C的方程为（ ）A. B. C. D. 6. 若，则（ ）A. B. C. D. 7. 若x
2、，y满足约束条件，则的最小值为（ ）A. B. 17C. 11D. 8. 某市气象局预报说，明天甲地降雨概率是，乙地降雨概率是，若明天这两地是否降雨相互独立，则明天这两地中恰有一个地方降雨的概率是（ ）A. B. C. D. 9. 有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中（，2，n），则（ ）A. 两组样本数据的样本标准差相同B. 两组样本数据的样本中位数相同C. 两组样本数据的样本平均数相同D. 两组样本数据的样本众数相同10. 已知分别是的边的中点，且，则下列结论中错误的是（ ）A. B. C. D. 11. 如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中正确的关系是（ ）A. B.
3、C. D. 12. 已知点在圆上，直线与轴、轴分别交于点、，则下列结论中正确的有（ ）点到直线距离小于点到直线的距离大于当最小时，当最大时，A. 个B. 个C. 个D. 个二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数是奇函数，则_.14. 已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，P为C上一点，与x轴垂直，Q为x轴上一点，若P在以线段为直径的圆上，则该圆的方程为_.15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，则_.16. 函数的最小值为_.三解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2223题为选
4、考题，考生根据要求作答.17. 已知数列满足，.（1）记，写出，并求数列的通项公式；（2）求的前12项和.18. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，人工栽培和野生植物数量不断增加.为调查该地区某种植物的数量，将其分成面积相近的150个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取15个作为样区，调查得到样本数据（，2，15），其中和分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种植物的数量，并计算得，.（1）求该地区这种植物数量的估计值（这种植物数量的估计值等于样区这种植物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本（，2，15）的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间
5、植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种植物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数，.19. 如图，在三棱锥中，D为的中点，.（1）证明：平面平面；（2）若是边长为3等边三角形，点P在棱上，且，求二面角的正弦值.20. 在平面直角坐标系中，已知点，点P为平面内的动点，且的周长为.记点P的轨迹为C.（1）试说明曲线C的形状，并求C的方程；（2）设点M在直线上，且M不在C上，过M两条直线分别交C于A，B两点和R，H两点，且，直线和的斜率都存在且不为零，求直线的斜率与直线的斜率的比值.21. 已知函数，为导函数，证明：（1）区间存在唯一极大值点；
6、（2）在区间存在唯一极小值点；（3）有且只有一个零点.22. 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线，过点的直线l的参数方程（t为参数），直线l与曲线C交于PQ两点.（1）写出曲线C的直角坐标方程、直线的普通方程；（2）若，成等差数列，求a的值.23. 已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范围.答案1-12 CBBDD AABAB CC13. 14. 15. 16. 417.（1）解：由题意得：当时，当时，由 ，即，把 代入，得故，且，所以数列是以3为首项，以3为公比的等比数列.故.（2）把 代入，得，且所以数列是以2为首项，以3为公比的
7、等比数列，故，于.18.（1）由已知得样本平均数，从而该地区这种植物数量的估计值为，（2）样本（，2，15）的相关系数.（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对150个地块进行分层抽样.理由如下：由（2）知各样区的这种植物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种植物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种植物数量更准确的估计.19.（1）因为，且D为的中点，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）因为是边长为3的等边三角形，故，所以，且，由，得，解得，所
8、以，故.取，的中点分别为E，F，则，故，两两互相垂直.以D为原点，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.过P作，R为垂足，H为垂足，由，可知，在平面内，过H作轴，交x轴负半轴于T，在中，所以，.故，设是平面的一个法向量，则，即，取，解得，故设平面的法向量为，因为，则即可取，所以，所以二面角的正弦值，所以二面角的正弦值为.20.（1）由已知，得，所以点P的轨迹C是以，分别为左右焦点的椭圆，但需要去掉椭圆与x轴的两个交点.所以，所以C的方程为；（2）设，.的方程为：，联立方程组消去y，得，所以，所以，.设的方程为，同理得，因为，所以，解得，或（舍去），所以；综上，.21.（1）的定义域为
9、，设，则，当时，所以单调递减；且，由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使又当时，；当时，；所以为区间上唯一的极大值，即是区间上唯一的极大值点.（2）当时，单调递增，且，所以在区间有唯一零点，设为，当时，此时单调递减；当时，此时单调递增；所以是在上唯一的极小值点.（3）当时，由（1）可知在上单调递增，且， 所以在上有唯一零点；当时，单调递减，且，所以在上没有零点.当时，由（2）可知在区间上，此时单调递减，且，故有，此时单调递减，且，由，得，所以.当时，由（2）知，所以单调递增，又，故，所以存在，使，即，故为的极小值点.此时.所以在上没有零点.当时，所以，所以在区间上没有零点.综上在区间上有且仅有一个零点.22.（1）曲线，所以曲线C的直角坐标方程为，直线l的参数方程（t为参数），两式相减并化简得，所以直线l的普通方程为.（2）把代入，得，因为点M在抛物线的开口方向，所以方程必有两个实根，设，分别为P，Q对应的参数，且P在Q的下方，则，由参数t的几何意义可知，因为，成等差数列，所以，故有，整理得，把上式代入，解得.23.（1）当时，无解，因此，不等式的解集为或.（2）因为，故当，即时，所以当或时，得或.所以a的取值范围是.
