1、2015-2016学年广东省揭阳市惠来一中高二（上）第一次段考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请把它选出后填在答题卡的相应位置上1集合A=y|y=lgx，x1，B=2，1，1，2则下列结论正确的是（）AAB=2，1B（CRA）B=（，0）CAB=（0，+）D（CRA）B=2，12在ABC中，a=2，b=2，B=45，则A=（）A30或120B60C60或120D303在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=，B=，a=3，则c的值为（）A3BC3D64已知等比数列an的公比q=2，其前4项和S
2、4=60，则a2等于（）A8B6C8D65在等差数列an中，已知a1+a3+a11=6，那么S9=（）A2B8；C18D366在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=2B，则为（）A2sinCB2cosBC2sinBD2cosC7等比数列an的首项a1=1，公比为q，前n项和是Sn，则数列的前n项和是（）ABCD8等差数列an的前n项和为Sn，若a1，a3，a4成等比数列，则的值为（）A1或2BC2D或29若an是等差数列，首项a10，a2013+a20140，a2013a20140，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是（）A4023B4024C4025D402610已知数列
3、an对任意的p，qN*满足ap+q=ap+aq，且a2=6，那么a10等于（）A165B33C30D2111如图，在ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，则sinC的值为（）ABCD12如表定义函数f（x）：x12345f（x）54312对于数列an，a1=4，an=f（an1），n=2，3，4，则a2014的值是（）A1B2C3D4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13在ABC中，0，SABC=，|=3，|=5，则BAC=14在ABC中，若a=7，b=8，则最大角的余弦值是 15已知an是等差数列，a1+a2=4，a7+a8=28，则该数列前1
4、0项和S10=16观察下列的图形中小正方形的个数，则第n个图中有个小正方形三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）（2013秋房山区期末）在ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，a=2，sin，且ABC的面积为4（）求cosB的值；（）求边b、c的长18（12分）（2012杨浦区一模）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2bc）cosAacosC=0，（）求角A的大小；（）若，试判断ABC的形状，并说明理由19（12分）（2011福建）已知等差数列an中，a1=1，a3=3（）求数列an的通项公式；（）
5、若数列an的前k项和Sk=35，求k的值20（12分）（2009浙江）设Sn为数列an的前n项和，Sn=kn2+n，nN*，其中k是常数（）求a1及an；（）若对于任意的mN*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值21（12分）（2014陆川县校级二模）已知等差数列an满足a3=7，a5+a7=26，an的前n项和为Sn（1）求an及Sn；（2）令bn=（nN），求数列bn的前n项和Tn22（12分）（2015秋揭阳校级月考）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域点E正北55海里处有一个雷达观测站A某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距40海里
6、的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45+（其中cos=，090）且与点A相距10海里的位置C（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入危险水域，并说明理由2015-2016学年广东省揭阳市惠来一中高二（上）第一次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请把它选出后填在答题卡的相应位置上1集合A=y|y=lgx，x1，B=2，1，1，2则下列结论正确的是（）AAB=2，1B（CRA）B=（，0）CAB=（0，+）D（CRA）B
7、=2，1【考点】交、并、补集的混合运算 【分析】由题意A=y|y=lgx，x1，根据对数的定义得A=y|0，又有B=2，1，1，2，对A、B、C、D选项进行一一验证【解答】解：A=y|y=lgx，x1，A=y|y0，B=2，1，1，2AB=1，2，故A错误；（CRA）B=（，0，故B错误；1AB，C错误；（CRA）=y|y0，又B=2，1，1，2（CRA）B=2，1，故选D【点评】此题主要考查对数的定义及集合的交集及补集运算，集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分2在ABC中，a=2，b=2，B=45，则A=（）A30或120B60C60或120D30【考点】正弦定理
8、 【专题】解三角形【分析】由题意和正弦定理求出sinA的值，再由内角的范围和边角关系求出角A的值【解答】解：由题意知，a=2，b=2，B=45，由正弦定理得，则sinA=，因为0A180，且ab，所以A=60或120，故选：C【点评】本题考查正弦定理，内角的范围，以及边角关系，属于中档题和易错题3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=，B=，a=3，则c的值为（）A3BC3D6【考点】余弦定理；正弦定理 【专题】解三角形【分析】由A与B的度数求出C的度数，再由sinA，sinC以及a的值，利用正弦定理求出c的值即可【解答】解：在ABC中，A=，B=，a=3，即C=，由正弦定理=
9、得：c=3故选：A【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键4已知等比数列an的公比q=2，其前4项和S4=60，则a2等于（）A8B6C8D6【考点】等比数列的性质 【专题】计算题【分析】由题意可得，解方程可得a1，再代入等比数列的通项公式可求【解答】解：由题意可得，a1=4，a2=8故选A【点评】等差数列与等比数列的简单综合是高考（尤其文科）常考的试题类型，主要检验考生对基本公式的掌握程度，属于基础试题5在等差数列an中，已知a1+a3+a11=6，那么S9=（）A2B8；C18D36【考点】等差数列的前n项和 【专题】计算题【分析】先根据等差数列的
10、通项公式，利用a1+a3+a11=6求得a1+4d的值，进而代入等差数列的求和公式求得前9项的和【解答】解：a1+a3+a11=3a1+12d=6，a1+4d=2S9=（a1+4d）9=18故选C【点评】本题主要考查了等差数列的前n项的和考查了学生对等差数列基础知识的把握和应用6在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=2B，则为（）A2sinCB2cosBC2sinBD2cosC【考点】正弦定理 【专题】解三角形【分析】通过C=2B，两边取正弦，利用正弦定理以及二倍角公式，即可求出结果【解答】解：在ABC中，C=2B，sinC=sin2B=2sinBcosB，即c=2bcosB
11、，则=2cosB故选：B【点评】本题考查正弦定理以及二倍角的正弦的公式的应用，求出是解题的关键7等比数列an的首项a1=1，公比为q，前n项和是Sn，则数列的前n项和是（）ABCD【考点】等比数列的前n项和 【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】数列是以1为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式，即可得到结论【解答】解：由题意，数列是以1为首项，为公比的等比数列数列的前n项和是=故选C【点评】本题考查等比数列的求和公式，考查学生的计算能力，属于基础题8等差数列an的前n项和为Sn，若a1，a3，a4成等比数列，则的值为（）A1或2BC2D或2【考点】等差数列的前n项和 【专题】等差
12、数列与等比数列【分析】设等差数列an的公差为d，由a1，a3，a4成等比数列，可得，即，化为a1=4d0，或d=0代入即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，a1，a3，a4成等比数列，即，化为a1=4d0，或d=0则=2，或=故选：D【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9若an是等差数列，首项a10，a2013+a20140，a2013a20140，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是（）A4023B4024C4025D4026【考点】等差数列的性质 【专题】等差数列与等比数列【分析】由已知得到an表示首项为正，公差为负数的单调
13、递减数列，且a2013是绝对值最小的正数，a2014是绝对值最小的负数（第一个负数），且|a2013|a2014|，a2013a2014，a2013+a20140然后结合等差数列的前n项和公式得答案【解答】解：a10，a2013+a20140，a2013a20140，an表示首项为正，公差为负数的单调递减数列，且a2013是绝对值最小的正数，a2014是绝对值最小的负数（第一个负数），且|a2013|a2014|，a2013a2014，a2013+a20140又a1+a4026=a2013+a2014，S4026=0，使Sn0成立的最大自然数n是4026故选：D【点评】本题考查了等差数列的性质
14、，考查了等差数列的前n项和公式，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯是中档题10已知数列an对任意的p，qN*满足ap+q=ap+aq，且a2=6，那么a10等于（）A165B33C30D21【考点】数列的概念及简单表示法 【分析】根据题目所给的恒成立的式子ap+q=ap+aq，给任意的p，qN*，我们可以先算出a4，再算出a8，最后算出a10，也可以用其他的赋值过程，但解题的原理是一样的【解答】解：a4=a2+a2=12，a8=a4+a4=24，a10=a8+a2=30，故选C【点评】这道题解起来有点出乎意料，它和函数的联系非常密切，通过解决探
15、索性问题，进一步培养学生创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力11如图，在ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，则sinC的值为（）ABCD【考点】三角形中的几何计算 【专题】解三角形【分析】根据题中条件，在ABD中先由余弦定理求出cosA，利用同角关系可求sinA，利用正弦定理可求sinBDC，然后在BDC中利用正弦定理求解sinC即可【解答】解：设AB=x，由题意可得AD=x，BD=ABD中，由余弦定理可得sinA=ABD中，由正弦定理可得sinADB=BDC中，由正弦定理可得故选：D【点评】本题主要考查了在三角形中，综合运用正弦定理、余弦定
16、理、同角基本关系式等知识解三角形的问题，反复运用正弦定理、余弦定理，要求考生熟练掌握基本知识，并能灵活选择基本工具解决问题12如表定义函数f（x）：x12345f（x）54312对于数列an，a1=4，an=f（an1），n=2，3，4，则a2014的值是（）A1B2C3D4【考点】数列的概念及简单表示法 【专题】归纳法；点列、递归数列与数学归纳法【分析】根据题意，写出数列an的前几项，归纳出数列各项的规律是什么，从而求出a2014的值【解答】解：根据题意，a1=4，a2=f（a1）=f（4）=1，a3=f（a2）=f（1）=5，a4=f（a3）=f（5）=2，a5=f（a4）=f（2）=4，
17、an的每一项是4为周期的数列，a2014=a2=1故选：A【点评】本题考查了用归纳法求数列的项的问题，解题的关键是找出数列各项的规律，是基础题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13在ABC中，0，SABC=，|=3，|=5，则BAC=【考点】平面向量数量积的运算 【专题】平面向量及应用【分析】根据条件可以判断出BAC为锐角，从而根据三角形的面积公式即可得到，从而得出sin，从而得出【解答】解：如图，；=；故答案为：【点评】考查数量积的计算公式，三角形内角的范围及内角和，以及三角形的面积公式：S=，已知三角函数值求角14在ABC中，若a=7，b=8，则最大角的余弦值是 【考点】余
18、弦定理 【专题】计算题【分析】先利用余弦定理求得边c的长度，进而根据大角对大边的原则推断出B为最大角，最后利用余弦定理求得cosB的值【解答】解：c=3，b边最大，B为最大角，cosB=，故答案为【点评】本题主要考查了余弦定理的应用解题的关键是判断出三角形中的最大角15已知an是等差数列，a1+a2=4，a7+a8=28，则该数列前10项和S10=100【考点】等差数列的前n项和 【专题】计算题【分析】根据所给的两个连续的项之和，得到数列的公差的值，代入其中一个式子做出首项的值，根据等差数列的前n项和做出前10项和的结果【解答】解：an是等差数列，a1+a2=4，a7+a8=28，a7+a8=
19、a1+a2+6d+6d=28，d=2，a1+a2=2a1+d=4，a1=1，该数列前10项和S10=101+=100，故答案为：100【点评】本题考查数列的前n项和，考查基本量的运算，解题的关键是基本量的运算，注意运算过程中数字不要弄错16观察下列的图形中小正方形的个数，则第n个图中有个小正方形【考点】归纳推理 【专题】规律型【分析】由题意可得，f（1）=2+1，f（2）=3+2+1，f（3）=4+3+2+1，f（4）=5+4+3+2+1，f（5）=6+5+4+3+2+1，从而可得f（n），结合等差数列的求和公式可得【解答】解：由题意可得，f（1）=2+1f（2）=3+2+1f（3）=4+3+
20、2+1f（4）=5+4+3+2+1f（5）=6+5+4+3+2+1f（n）=（n+1）+n+（n1）+1=故答案为：【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式在实际问题中的应用，解题的关键是要根据前几个图形的规律归纳出f（n）的代数式，考查了归纳推理的能力三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）（2013秋房山区期末）在ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，a=2，sin，且ABC的面积为4（）求cosB的值；（）求边b、c的长【考点】解三角形；三角形中的几何计算 【专题】计算题【分析】（I）由二倍角公式cosB=12可求（
21、II）由cosB，及0B可求sinB，然后由三角形的面积公式可求c，再由余弦定理b2=a2+c22accosB可求【解答】解：（I）sin，cosB=12=12=（II）由（I）cosB=，且在ABC中0B又由已知SABC=4且a=2解得c=5b2=a2+c22accosB=17【点评】本题主要考查了二倍角公式、同角平方关系、三角形的面积公式、余弦定理等公式的综合应用，属于基础试题18（12分）（2012杨浦区一模）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2bc）cosAacosC=0，（）求角A的大小；（）若，试判断ABC的形状，并说明理由【考点】正弦定理；余弦定理 【专题】
22、计算题【分析】（1）先利用正弦定理把（2bc）cosAacosC=0中的边转化成角的正弦，进而化简整理得sinB（2cosA1）=0，求得cosA，进而求得A（2）根据三角形面积公式求得bc，进而利用余弦定理求得b2+c2进而求得b和c，结果为a=b=c，进而判断出ABC为等边三角形【解答】解：（）（2bc）cosAacosC=0，由正弦定理，得（2sinBsinC）cosAsinAcosC=0，2sinBcosAsin（A+C）=0，sinB（2cosA1）=0，0B，sinB0，0A，（），即bc=3由余弦定理可知cosA=b2+c2=6，由得，ABC为等边三角形【点评】本题主要考查了正弦
23、定理和余弦定理的应用考查了学生分析问题和灵活运用所学知识的能力19（12分）（2011福建）已知等差数列an中，a1=1，a3=3（）求数列an的通项公式；（）若数列an的前k项和Sk=35，求k的值【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和 【专题】综合题；转化思想【分析】（I）设出等差数列的公差为d，然后根据首项为1和第3项等于3，利用等差数列的通项公式即可得到关于d的方程，求出方程的解即可得到公差d的值，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；（II）根据等差数列的通项公式，由首项和公差表示出等差数列的前k项和的公式，当其等于35得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根据k为正
24、整数得到满足题意的k的值【解答】解：（I）设等差数列an的公差为d，则an=a1+（n1）d由a1=1，a3=3，可得1+2d=3，解得d=2，从而，an=1+（n1）（2）=32n；（II）由（I）可知an=32n，所以Sn=2nn2，进而由Sk=35，可得2kk2=35，即k22k35=0，解得k=7或k=5，又kN+，故k=7为所求【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题20（12分）（2009浙江）设Sn为数列an的前n项和，Sn=kn2+n，nN*，其中k是常数（）求a1及an；（）若对于任意的mN*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的
25、值【考点】等比关系的确定；数列递推式 【专题】等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法【分析】（1）先通过求a1=S1求得a1，进而根据当n1时an=SnSn1求出an，再验证求a1也符合此时的an，进而得出an（2）根据am，a2m，a4m成等比数列，可知a2m2=ama4m，根据（1）数列an的通项公式，代入化简即可【解答】解析：（1）当n=1，a1=S1=k+1，n2，an=SnSn1=kn2+nk（n1）2+（n1）=2knk+1（*）经检验，n=1（*）式成立，an=2knk+1（2）am，a2m，a4m成等比数列，a2m2=ama4m，即（4kmk+1）2=（2kmk+1）（
26、8kmk+1），整理得：mk（k1）=0，对任意的mN*成立，k=0或k=1【点评】本题主要考查数列等比关系的确定和求数列通项公式的问题当分n=1和n1两种情况求通项公式的时候，最后要验证当n=1时，通项公式是否成立21（12分）（2014陆川县校级二模）已知等差数列an满足a3=7，a5+a7=26，an的前n项和为Sn（1）求an及Sn；（2）令bn=（nN），求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；等差数列的性质 【专题】计算题【分析】（1）根据等差数列的两项之和的值，根据等差数列等差中项的性质得到a6，根据连续两项得到数列的公差，根据通项写出要求的第四项和数列的前n项和（2）本题需
27、要根据上一问的结果构造新数列，把第一问做出的通项代入，整理出结果，发现这是一个裂项求和的问题，得到前n项和【解答】解（1）a3=7，a5+a7=26，an=2n+1sn=（2）由第一问可以看出an=2n+1=Tn=【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的构造，解题的关键是看清新构造的数列是一个用什么方法来求和的数列，注意选择应用合适的方法22（12分）（2015秋揭阳校级月考）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域点E正北55海里处有一个雷达观测站A某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东4
28、5+（其中cos=，090）且与点A相距10海里的位置C（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入危险水域，并说明理由【考点】解三角形的实际应用 【专题】解三角形【分析】（1）由余弦定理，BC=10，由此能求出该船的行驶速度（2）设直线AE与BC的延长线相交于点O，由余弦定理，得cosB=，从而sinB=，由正弦定理，得AQ=40，进而AE=5540=AQ，由此推导出船会进入危险水域【解答】解：（1）如图，AB=40，AC=10，BAC=，cos=，由余弦定理，BC2=AB2+AC22ABACcos，BC=10，该船的行驶速度为：=15（海里/小时）（2）如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点O，在ABC中，由余弦定理，得cosB=，从而sinB=，在ABQ中，由正弦定理，得：=40，AE=5540=AQ，且QE=AEAQ=15，过点E作EPBC于点P，在RtQPE中，PE=QEsinPQE=QEsinAQC=QEsin（45B）=15=3，船会进入危险水域【点评】本题考查船的行驶速度的求法，考查船是否会进入危险水域的判断，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理的合理运用