1、20222023学年度第一学期期末学业水平诊断高二数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰：超出答题区书写的答案无效；在草稿纸试题卷上答题无效.一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.是数列的（）A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项2.已知椭圆的左右焦点分别为；若过且斜率不为0的直线交椭圆于两点，则的周长为（）A.2B.C.4D.3.在数列中，若，则（）A.B.C.D.4.如图是一座拋物线形拱
2、桥，当桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，当水面上升后，桥洞内水面宽为（）A.B.C.D.5.算法统宗是一部我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著.算法统宗中记载了如下问题情境：“远望魏魏塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，意思为：“一座7层塔，共悬挂了381盛灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍”.在上述问题情境中，塔的正中间一层悬挂灯的数量为（）A.12B.24C.48D.966.若椭圆的中心为坐标原点焦点在轴上；顺次连接的两个焦点一个短轴顶点构成等边三角形，顺次连接的四个顶点构成四边形的面积为，则的方程为（）A.B.C.D.7.已知数列的通项公式分别为和，设这两个数列的公共项
3、构成集合，则集合中元素的个数为（）A.166B.168C.169D.1708.已知直线过双曲线的左焦点，且与的左右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（）A.B.C.D.二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知曲线，下列说法正确的有（）A.若曲线表示椭圆，则或B.若曲线表示椭圆，则椭圆的焦距为定值C.若曲线表示双曲线，则D.若曲线表示双曲线，则双曲线的焦距为定值10.已知等差数列的前项和为，若，则（）A.公差B.C.的最大值为D.满足的的最小值为
4、1611.已知数列的前项和为，且，则（）A.数列为等差数列B.C.随的增大而减小D.有最大值12.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则（）A.过点且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条B.设点，则的最大值为C.点到直线的最小距离为D.点到直线与点到轴距离之和的最小值为1三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知等差数列的前项和为，若，则公差的值为_.14.已知双曲线的右顶点为，以为圆心为半径的圆与的一条渐近线相交于两点，若，则的离心率为_.15.去掉正整数中被4整除以及被4除余1的数，剩下的正整数按自小到大的顺序排成数列，再将数列中所有序号为的项去掉，中剩余的项按自小到大的顺
5、序排成数列，则的值为_.16.在平面直角坐标系中，若点到点的距离比它到轴的距离大，则点的轨迹的方程为_，过点作两条互相垂直的直线分别与曲线交于点和点，则的最小值为_.（本题第一空2分，1.第二空3分.）四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.（10分）已知等差数列的前项和为成等比数列：数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）记表示不超过的最大整数，例如.设，求数列的前7项和.18.（12分）已知双曲线与有相同的渐近线，为上一点.（1）求双曲线的标准方程；（2）设双曲线的左右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与相交于两点，求的面积.19.（12分）已知
6、数列满足.（1）求数列的通项公式：（2）设，数列的前顶和为，求证：.20.（12分）已知抛物线的焦点为，过拋物线上一点向其准线作垂线，垂足为，当时，.（1）求抛物线的方程；（2）设直线与抛物线交于两点，与轴分别交于（异于坐标原点），且，若，求实数的取值范围.21.（12分）已知数列满足.（1）证明：是等比数列，并求数列的通项公式；（2）设数列满足，记的前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围.22.（12分）已知椭圆的右焦点恰为抛物线的焦点，过点且与轴垂直的直线截拋物线椭圆所得的弦长之比为.（1）求的值；（2）已知为直线上任一点，分别为椭圆的上下顶点，设直线，与椭圆的另一交点分别为，求证：直线过
7、定点.20222023学年度第一学期期末学业水平诊断高二数学参考答案一选择题1-8ADDCBACD二多选题9.BCD10.AC11.ABD12.BCD三填空题13.1或14.15.15316.，四解答题17.解：（1）因为成等比数列，所以，即，解得，故，因为，当时，两式相减得：，即，又时，即，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故.（2）由（1）知，则，所以，则前7项和.18.解：（1）设双曲线的方程为，将点代入方程中得，所以，即双曲线的方程为.（2）因为，所以直线的方程为，联立，得，设，则.因为.而，所以.19.解：（1）由得，所以对任意恒成立，于是，又，所以.（2）由（1）知，所以，
8、因为，所以，从而.20.解：（1）由抛物线的定义可知为等腰三角形，当时，.设准线与轴交点为，则，故抛物线方程为.（2）设直线方程为，显然，联立，消得，所以.（*）.因为，所以，可得，将代入（*）式，并消得，.由题意可得，所以，又，所以，故，当且仅当，即时等号成立.21.解：（1）因为，所以，于是，又因为，所以是以为首项为公比的等比数列，于是，即.（2）由（1）得，两式相减得，所以，由，得恒成立，即恒成立，.时不等式恒成立；时，得；时，得；所以.22.解：（1）设点，则，又过点且与轴垂直的直线截抛物线椭圆的弦长分别为，所以，.又，所以.（2）由（1）知，椭圆的方程为.设点，易知，当时，直线的方程为的方程为，联立，得，解得，同理可得，所以，所以直线的方程为，整理得，所以直线恒过定点直线，当时直线的方程为，也经过，综上所述直线恒过定点直线.