1、商河县第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷一、单项选择题1已知向量，满足，则等于（ ）ABCD2圆的圆心坐标为（ ）ABCD3已知为实数，直线，则，则实数的值（ ）A1B2C1或2D0或4在长方体中，则与平面所成角的正弦值为（ ）ABCD5如图，已知空间四边形，其对角线为，分别是对边，的中点，点在线段上，设，现用基向量，表示向量，设，则，的值分别是（ ）A，B，C，D，6设，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为（ ）A13B14C15D167椭圆上的点到直线距离最近的点的坐标为（ ）ABCD8已知点在离心率为的椭圆上，是椭圆的一个焦点，是以为直径
2、的圆上的动点，是半径为2的圆上的动点，圆与圆相离且圆心距，若的最小值为1，则椭圆的焦距的取值范围是（ ）ABCD二、多项选择题9给出下列命题，其中真命题有（ ）A空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B已知，则存在向量可以与，构成空间的一个基底C、是空间四点，若，不能构成空间的一个基底，那么、共面D已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底10下列说法正确的是（ ）A已知，且三角形的周长是6，则顶点的轨迹方程是B点关于直线的对称点是C过，两点的直线方程为D经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程是11已知直线，以下结论正确的是（ ）A不论为何值时，与都互相垂直B当变化时，与分别经过
3、定点和C不论为何值时，与都关于直线对称D如果与交于点，则的最大值是12已知椭圆的离心率为，三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边，的中点分别为，且三条边所在直线的斜率分别，且，均不为0，0为坐标原点，则（ ）AB直线与直线的斜率之积为C直线与直线的斜率之积为D若直线，的斜率之和为1，则的值为三、填空题13，是椭圆的两个焦点，和是此椭圆上关于原点对称的两个点，且，则的面积是_14已知直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是_15已知圆的方程为且点是该圆内一点，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积是_16若点和点分别为椭圆的中心点和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最小值为_四、解答
4、题17在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，求：(1)边所在直线的方程；(2)边上的高所在直线的方程18已知圆经过点和点且圆心在直线上(1)求圆的标准方程；(2)若过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程19如图，在正四棱柱中，已知，、分别为、上的点，且（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离20已知椭圆经过点，离心率为()求椭圆的方程；()直线与椭圆交于，两点，以为直径的圆经过不在直线上的点，求直线的方程21如图，平面，四边形是矩形，、分别是、的中点(1)求证：平面；(2)若二面角为45角，求与平面所成角的正弦值22已知椭圆，长半轴长与短半轴长的差为，离心率为(1)求椭圆的标准方程；
5、(2)若在轴上存在点，过点的直线分别与椭圆相交于、两点，且为定值，求点的坐标参考答案1B2B3A4D5D6C7B8C9ACD10AB11ABD12ACD【解析】因为椭圆的离心率为，由得，故A正确设，则，且，两式作差得，即，所以，因为的斜率，的斜率，所以，同理，故B错误，C正确又，同理可得，所以，又直线，的斜率之和为1，即，所以，故D正确1316141516617解：（1）设的直线方程为将，坐标代入可得，解方程组可得，则直线方程为，化为一般式（2）因为为直线的高，所以，故，设的直线方程为将代入，解得，得的直线方程为，代为一般式为18（1）；（2）或【详解】（1）设的中点为，因为点和点，所以，即，
6、又由，所以的垂直平分线的斜率为，所以线段的垂直平分线方程为，联立方程组，解得，即圆心坐标，又由，即圆的半径为，所以圆的方程为（2）过点，的直线与圆相交于，两点，且，所以圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，此时直线方程为，则圆心到直线的距离为，符合题意：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为，解得，此时直线的方程为，综上可得，直线的方程为或19（1）证明：以为原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示空间直角坐标系，则、，且平面（2）由（1）知，为平面的一个法向量，点到平面的距离故点到平面的距离为20解：（）由题意得，解得，所以椭圆的方程为（）设，联立，消并化简整理得，则
7、有，又，由得，解得或当时，直线过点，与题意不符；当时，直线不过点，符合题意，故直线的方程为21（1）如下图所示，取的中点，连接、，在矩形中，且，、分别为的中点，且，为的中点，且，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面（2）平面，平面，四边形为矩形，则，平面，平面，所以，二面角的平面角为，易知，则为等腰直角三角形，且，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，由，得，令，则，得，因此，与平面所成角的正弦值为22（1）由题意可得，联立解得，椭圆的标准方程为设，当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，联立，化为，同理可得，为定值，必然有，解得，此时为定值，当直线的斜率为0时，设，此时，把代入可得为定值综上可得为定值，