1、试卷第 1页，共 3页2021-2022 学年度高一数学月考试卷2022.4.02考试范围：第六章向量及其应用；考试时间：70 分钟；命题人：路苗、匡隽注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第 I 卷（选择题）请点击修改第 I 卷的文字说明一、单选题(共 56 分)1(本题 7 分)化简 ACBDCDAB 得（）A ABB DAC BCD02(本题 7 分)已知向量,a b 满足|=1a，=1a b ，则(2)aab（）A4B3C2D03(本题 7 分)在ABC 中，若其面积为 S，且 AB AC=23 S，则角 A 的大小为（）A30B60C120D
2、1504(本题 7 分)下列命题正确的是（）A若 a ba c ，则bcB若 abab，则0a b C若/a br r，/b c ，则/a c D若 a 与b 是单位向量，则1a b 5(本题 7 分)若非零向量,a b满足3,(23)ababb，则a与b 的夹角为（）A 6B 3C 23D 566(本题 7 分)设在 ABC中,角,AB C，所对的边分别为,ab c，,若coscossinbCcBaA,则 ABC的形状为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定7(本题 7 分)如图所示的 ABC中，点 D 是线段 AC 上靠近 A 的三等分点，点 E 是线段AB 的中点，则 DE（）
3、试卷第 2页，共 3页A1136BABCB1163BABCC5163BABCD5163BABC8(本题 7 分)岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.因范仲淹作岳阳楼记使得岳阳楼著称于世.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线 AC，如图，测得30DAC，45DBC，14AB 米，则岳阳楼的高度CD 约为（）（参考数据：21.414、31.732）A18 米B19 米C20 米D21 米二、多选题(共 14 分)9(本题 7 分)在 ABC中，3AB，1AC ，6B，则角 A 的可能取值为（）A 6B 3C 23
4、D 210(本题 7 分)下列说法正确的是（）A向量 AB 与CD 共线是 A，B，C，D 四点共线的必要不充分条件B若/a b ，则存在唯一实数 使得baC已知=1,3,1,1ab，则 a 与 abl+的夹角为锐角的充要条件是5,00,2 D在ABC 中，D 为 BC 的中点，若ABACADABAC，则 BD 是 BA 在 BC 上的投影向量试卷第 3页，共 3页第 II 卷（非选择题）请点击修改第 II 卷的文字说明三、填空题(共 14 分)11(本题 7 分)已知|2,|4ab，向量 a与向量b 的夹角为120，则向量a在向量b上的投影向量为_12(本题 7 分)已知|1ababrrrr
5、，则|ab_.四、解答题(共 66 分)13(本题 16 分)已知平面向量,a b，(1,2)a.(1)若(0,1)b r，求2ab的值；(2)若(2,)bm，a 与 ab 共线，求实数 m 的值.14(本题 16 分)如图，已知ABC 中，AB 3 62，ABC45，ACB60（1）求 AC 的长；（2）若 CD5，求 AD 的长15(本题 17 分)（1）已知平面向量 a、b，其中5,2a，若3 2b r，且/ab，求向量b 的坐标表示；（2）已知平面向量 a、b 满足2a，1b，a 与b 的夹角为 23，且（a+b）（2ab），求 的值.16(本题 17 分)在锐角 ABC中，角 A，B
6、，C 的对边分别为 a，b，c，已知2 3a 且cos(cos3sin)cos0CBBA（1）求角 A 的大小；（2）若2 2b，求 ABC的面积；（3）求 2bc的取值范围答案第 1页，共 8页参考答案：1D【解析】【分析】根据向量加法减法运算法则即可化简.【详解】原式()()0ACABCDDBBCCB.故选：D.2B【解析】【分析】直接利用平面向量的数量积运算计算得解.【详解】解：22(2)22 1(1)3aa baa b .故选：B.3A【解析】【分析】由数量积的定义，结合条件即可求解.【详解】因为1sin2SABACA，而cosAB ACABACAuuur uuuruuur uuur，
7、所以1cos2 3sin2ABACAABACA，所以3tan3A，故30A.故选：A4B【解析】【分析】根据数量积的定义，模转化为数量积的运算，向量共线的定义判断各选项同【详解】答案第 2页，共 8页若0a，则对任意的,b c，都有 a ba c ，A 错；abab，则22abab，即222222aa bbaa bb rr rrrr rr，0a b，B 正确；若0b，则对任意的,a c，/a br r，/b c ，但/ac 不一定成立，C 错；a 与b 是单位向量，只有它们同向时，才有1a b，否则1a b ，D 错；故选：B5C【解析】【分析】设a与b 的夹角为,|bt，进而根据向量数量积的
8、运算律和向量垂直时数量积为 0 得1cos2 ，进而得答案.【详解】解：根据题意，设 a与b 的夹角为,|bt，则|3|3abt，若(23)abb，则222(23)236cos30abba bbtt，即1cos2 ，又由0，则23，故选：C6B【解析】【分析】利用正弦定理可得2sinsinBCA，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin1,2AA，从而可得结果.【详解】因为 coscossinbCcBaA，所以由正弦定理可得2sincossincossinBCCBA，22sinsinsinsinBCAAA，答案第 3页，共 8页所以sin1,2AA，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定
9、理的应用，属于基础题.弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.7B【解析】【分析】根据向量的加法减法运算即可求解.【详解】依题意，11111113233263DAAEACBABDECBABABABC ，故选：B8B【解析】【分析】在Rt ADC中用 CD 表示 AC，Rt BDC中用 CD 表示 BC，建立 CD 的方程求解即得.【详解】Rt ADC中，30DAC，则3ACCD，Rt BDC中，45DBC，则
10、BCCD，由 AC-BC=AB 得143147(31)19.1243 1CDCDCD，CD 约为19米.故选：B9AD【解析】【分析】由余弦定理得2222cosACBCBABC BAB，解得1BC 或2BC，分别讨论即可.【详解】由余弦定理，得2222cosACBCBABC BAB，即2313232BCBC，解得1BC 或2BC.答案第 4页，共 8页当1BC 时，此时 ABC为等腰三角形，BCAC，所以6AB；当2BC 时，222ABACBC，此时 ABC为直角三角形，所以 A 2.故选：AD【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题.10ACD【解析
11、】【分析】根据向量共线和必要不充分条件定义可判断 A；根据向量共线的充要条件可判断 B；根据向量夹角的坐标运算可判断 C；由平面向量加法和BAC的平分线表示的向量平行的向量可得AD 为BAC的平分线，又因为 AD 为 BC 的中线可判断 D.【详解】对于 A 选项：A，B，C，D 四点共线 向量 AB 与CD 共线，反之不成立，所以 A 正确；对于 B 选项：当0a，0b 时，不存在实数 使得ba，当0a，0b 时，存在无数个实数 使得ba，故 B 错误；对于 C 选项：因为1,3a，1,1b r，所以1,3ab，则 a 与 abl+的夹角为锐角的充要条件是 0a ab 且 a 与 abl+不
12、同向共线，即1,3 1,31931040 ，且2210411013，解得5,00,2，则实数 的取值范围是5,00,2，故 C 正确；对于 D 选项：由平面向量加法可知：ABACABAC 为“与BAC的平分线表示的向量平行的向量”因为ABACADABAC，所以 AD 为BAC的平分线，又因为 AD 为 BC 的中线，所以ADBC，所以 BD 是 BA 在 BC 的投影向量，故选项 D 正确.故选：ACD.1114 b【解析】答案第 5页，共 8页【分析】根据条件及投影向量的求解方法即可得出 a 在b 上的投影向量为cos120bab ，化简即可.【详解】因为24ab，向量 a 与b 的夹角为1
13、20，所以 a 在b 上的投影向量为：1cos1204babb .故答案为：14 b123【解析】【分析】根据向量模的计算公式即可求出【详解】因为|1ab，所以2221aa bbrrrr，解得 21a b，所以|ab2223aa bbrrrr故答案为：3 13（1）17；（2）4.【解析】（1）求出2ab，即可由坐标计算出模；（2）求出 ab，再由共线列出式子即可计算.【详解】(1)2(1,2)(0,2)(1,4)ab，所以22|2|1417ab；(2)(1,2)m ab，因为 a 与 ab 共线，所以1(2)2(1)0m ，解得 m4.14（1）3，（2）7【解析】答案第 6页，共 8页【分
14、析】（1）在ABC 中直接利用正弦定理求解即可；（2）先求出120ACD，然后在ACD中利用余弦定理求解即可【详解】解：（1）如图所示，在ABC 中，由正弦定理得，sinsinACABABCACB,则3 6sin 45sin23sinsin 60ABABCACACB，（2）因为ACB60，所以120ACD,在ACD中，由余弦定理得，2212cos1209252 3 572ADACCDAC CD 【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题15（1）10,2 2b 或10,2 2b ；（2）3【解析】【分析】（1）设,bx yr，根据题意可得出关于实数 x、y 的方程组，可
15、求得这两个未知数的值，由此可得出平面向量b 的坐标；（2）利用向量数量积为零表示向量垂直，化简并代入求值，可解得 的值【详解】（1）设,bx yr，由/a br r，可得 520yx，由题意可得225203 2yxxy，解得102 2xy 或102 2xy .因此，10,2 2b 或10,2 2b ；（2）2abab，20abab化简得222210aa bb ，即18212 102 ，解得3 答案第 7页，共 8页16（1）3；（2）33；（3）8,4 7【解析】【分析】（1）由条件利用两角和差的三角公式求出 tan3A，即可求解；（2）由余弦定理与三角形面积公式即可求解；（3）把边化为角利用
16、三角函数的值域求解即可【详解】（1）coscos3sincos0CBBA，coscos cos3sin cos0ABBABA，cos cossin sincos cos3sin cos0ABABBABA，sin sin3sin cos0ABBA，sin0B，sin3cosAA，又cos0A，tan3A，02AQ，3A；（2）2222cosabcbcA，2112822 22cc，26c，1sin332ABCSbcA；（3）由正弦定理可得：2 324sinsin 3aRA，228sin4sin8sin4sin10sin2 3cos3bcBCBBBB4 7sin B，答案第 8页，共 8页其中3tan5，21sin14，5 7cos14，为锐角，因为 ABC为锐角三角形，则 62B，从而62B，得sinsin16B，2 7sinsincoscossin6667，所以2 7sin17B，84 7sin4 7B，所以824 7bc，从而2bc的取值范围为8,4 7
