1、2.2.3 两条直线的位置关系必备知识自主学习1.两条直线的相交、平行与重合(1)若直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则：l1与l2相交_；l1与l2平行k1k2且_；l1与l2重合k1k2且_(2)直线AxByC10与直线AxByC20平行的充要条件是_，重合的充要条件是_k1k2b1b2b1b2C1C2C1C22两条直线的垂直(1)若已知平面直角坐标系中的直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则l1l2_(2)设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.则l1l2_k1k21A1A2B1B20【思考】两直线互相垂直，一定能得到两直线的斜率之积等于1吗？提示：不
2、一定，因为两直线互相垂直，可能其中一条直线的斜率不存在1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行()(2)若 l1l2，则 k1k2.()(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直()(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行()(5)若直线 l1，l2 的方程组成的方程组有解，则 l1 与 l2 一定相交()提示：(1).两条直线的斜率相等，这两条直线可能平行，也可能重合(2).两条直线平行，也可能两条直线都不存在斜率(3).两条直线中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，这两条直线才垂直(
3、4).两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线都垂直于 x 轴，所以一定平行(5).因为直线 l1 与 l2 有可能重合2(教材二次开发：例题改编)已知 A(2，0)，B(3，3)，直线 lAB，则直线 l 的斜率 k 等于()A3 B3 C13 D13【解析】选 B.kAB3032 3，因为 lAB，所以 k3.3直线 l1：xy0 与 l2：xy20 的交点坐标为()A(2，2)B(1，1)C(2，2)D(1，1)【解析】选 D.联立xy0，xy20，得x1，y1，所以直线 l1 与 l2 的交点坐标为(1，1).4直线 y2 与直线 x0 的位置关系是()A平行 B垂直C重合
4、D以上都不对【解析】选 B.直线 y2 与直线 x0 垂直关键能力合作学习类型一 两条直线平行的判定与应用(数学运算)【典例】(1)已知直线 l1：(k3)x(4k)y10 与 l2：2(k3)x2y30 平行，则 k 的值是()A1 或 3 B1 或 5 C3 或 5 D1 或 2(2)过点 P(1，3)且平行于直线 x2y30 的直线方程为()A2xy10 B2xy50Cx2y70 Dx2y50【思路导引】(1)根据斜率存在不存在分类讨论，若存在斜率，则斜率相等(2)显然斜率存在，两直线平行斜率相等，由点斜式求出直线方程，再化为一般式【解析】(1)选 C.由两直线平行得，当 k30 时，两
5、直线的方程分别为 y1 和 y32，显然两直线平行当 k30 时，由k32（k3）4k2 13，可得 k5.综上，k 的值是 3 或 5.(2)选 C.由已知，所求直线的斜率是 k12，由点斜式方程可得 y312(x1)，即 x2y70.判断两条直线是否平行的步骤若直线 2x3y10 与直线 4xmy110 平行，则 m 的值为()A83 B83 C6 D6【解析】选 D.直线 2x3y10 的斜率为23，直线 4xmy110 的斜率为4m，因为两直线平行，所以23 4m，则 m6.【补偿训练】直线 l1：(m2)x(m23m)y40，l2：2x4(m3)y10，如果 l1l2，求 m 的值【
6、解析】(1)当 l1，l2 斜率都存在时，m23m0，4（m3）0，所以 m0 且 m3.由 l1l2，得 m2m23m 24（m3），解得 m4.此时 l1：x14y20，l2：x14y12 0，显然，l1 与 l2 不重合，满足条件(2)当 l1，l2 斜率不存在时，m23m0，4（m3）0，解得 m3.此时 l1：x45，l2：x12，满足条件综上所述，m4 或 m3.类型二 求两条直线的交点坐标(数学运算)1直线 4x2y20 与直线 3xy20 的交点坐标是()A(2，2)B(2，2)C(1，1)D(1，1)2(多选题)若三条直线 l1：axy10，l2：xay10，l3：xya0
7、不能围成三角形，则 a 的取值为()Aa1 Ba1 Ca2 Da23经过两直线 l1：3x4y20 和 l2：2xy20 的交点且过坐标原点的直线l 的方程是_【解析】1.选 C.解方程组4x2y20，3xy20，得x1，y1，所以交点坐标为(1，1).2选 ABC.由题意可得 l1 和 l3 平行，或 l2 和 l3 平行，或 l1 和 l2 平行若 l1 和 l3 平行，则a1 11，求得 a1；若 l2 和 l3 平行，则 11 a1，求得 a1.若 l1 和 l2 平行，则a1 1a，求得 a1.当三条直线 l1：axy10，l2：xay10，l3：xya0 交于同一个点时，a2；综上
8、可得，实数 a 所有可能的值为1，1，2，故选：ABC.3方法一：由方程组3x4y202xy20，解得x2y2，即 l1 与 l2 的交点坐标为(2，2).因为直线过坐标原点，所以其斜率 k 22 1.故直线方程为 yx，即 xy0.方法二：因为l2不过原点，所以可设l的方程为3x4y2(2xy2)0(R)，即(32)x(4)y220.将原点坐标(0，0)代入上式，得 1，所以直线l 的方程为 5x5y0，即 xy0.答案：xy0过两条直线交点的直线方程求法求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程也可用过两条直线 A1xB1yC10 与 A2xB2y
9、C20 的交点的直线系方程 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程过直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20 交点的直线系有两种：1(A1xB1yC1)2(A2xB2yC2)0 可表示过 l1、l2 交点的所有直线；A1xB1yC1(A2xB2yC2)0 不能表示直线 l2.【补偿训练】1.两条直线2x3yk0和xky120的交点在y轴上，那么k的值是()A24 B6 C6 D24【解析】选 C.设交点 P(0，y)，代入 2x3yk0，得 yk3，所以 P0，k3，代入 xky120，得 0k23 120，所以 k6.2若三条直线 2
10、x3y80，xy10，xky0 相交于一点，则 k 的值为()A2 B12 C2 D12【解析】选 B.易求直线 2x3y80 与 xy10 的交点坐标为(1，2)，代入 xky0，得 k12.3过直线 2xy20 和 xy10 的交点，且斜率为 3 的直线方程是_【解析】解方程组2xy20，xy10，得x1，y0，所以两直线的交点坐标为(1，0)，又所求直线的斜率为 3，故所求直线的方程为 y03x(1)，即 3xy30.答案：3xy30类型三 两条直线垂直的判定与应用(数学运算)【典例】(1)已知直线 l1：xay10 与 l2：xy10 垂直，则 a_(2)ABC 的三个顶点分别为 A(
11、2，0)，B(4，4)，C(0，3)，求：AC 边所在直线的方程AC 边的垂直平分线 DE 所在直线的方程【思路导引】(1)两直线垂直，斜率乘积为1 或一条直线斜率为 0，另一条斜率不存在(2)显然所求直线斜率存在，由垂直关系可求出斜率，由点斜式求出直线方程，再化为一般式【解析】(1)显然 l2 斜率存在且为 1，又因为两直线垂直，所以 l1 斜率为1，即1a 1，解得 a1.答案：1(2)直线 AC 的斜率为 k32，由点斜式得直线方程为 y032(x2)，即 3x2y60，由知，直线 AC 的斜率为 k32，ACDE，直线 DE 斜率为23，线段 AC 的中点坐标为1，32，由点斜式可得直
12、线 DE 的方程为 y32 23(x1)，即 4x6y50.判断两直线垂直的方法(1)若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件：l1l2A1A2B1B20 判断(2)若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件：l1l2k1k21 判断(3)若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断已知直线 l1：(1a)xay20，l2：ax(2a1)y30，若 l1l2，则 a 的值为()A0 或 2 B0 或2C2 D2【解析】选 B.根据直线 A1xB1yC10 与 A2xB2yC20 垂直的等价条件是：A1A2B1B20，根据题意得到：(1a)aa(2a1)0 整理为：a22a0
13、，解得a0 或2.【补偿训练】已知直线 l1 的斜率 k134，直线 l2 经过点 A(3a，2)，B(0，a21)，且 l1l2，求实数 a 的值【解题指南】已知 l1 的斜率存在，又 l1l2，所以 l2 的斜率也存在，设为 k2，则由 k1k21，可得关于 a 的方程，解方程即可【解析】设直线 l2 的斜率为 k2，则 k2a21（2）03aa233a.因为 l1l2，且 k134，所以 k1k21，所以34 a233a1，即 a24a30，解得 a1 或 a3.课堂检测素养达标1若直线 l1：xyab0 与直线 l2 垂直，则 l2 的倾斜角为()A135 B45 C30 D60【解析
14、】选 B.kl11，kl1kl21，所以直线 l2 的斜率为 1，倾斜角为 45.2若直线 axby110 与 3x4y20 平行，并且经过直线 2x3y80和 x2y30 的交点，则 a，b 的值分别为()A3，4 B3，4C4，3 D4，3【解析】选 B.由2x3y80，x2y30，得x1，y2.由题意得a2b110，a3b4得a3，b4.3已知直线 mx4y20 与 2x5yn0 互相垂直，垂足为(1，p)，则 mnp 为()A24 B20 C0 D4【解析】选 B.由垂直性质可得 2m200，m10.由垂足可得104p20，25pn0，得p2，n12.所以 mnp20.4已知 A(2，3)，B(1，1)，C(1，2)，点 D 在 x 轴上，则当点 D 坐标为_时，ABCD.【解析】设点 D(x，0)，因为 kAB131240，所以直线 CD 的斜率存在则由 ABCD 知，kABkCD1，所以 4201x 1，解得 x9.答案：(9，0)5已知直线 l1 经过点 A(0，1)和点 B4a，1，直线 l2 经过点 M(1，1)和点N(0，2)，若 l1 与 l2 没有公共点，则实数 a 的值为_.【解析】由题意得 l1l2，所以 kABkMN.因为 kAB 24aa2，kMN21013，所以a2 3，所以 a6.答案：6
