1、潍坊市2022届高三上学期期中考试数学本试卷共 4 页. 满分 150 分. 考试时间 120 分钟.注意事项:1. 答题前, 考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号. 回答非选择题时, 将 答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.3. 考试结束, 考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 , 则 A. B
2、. C. D. 2. 我们称可同时存在于一个指数函数与一个对数函数的图象上的点为 “和谐点”, 则四个 点 中“和谐点”的个数为A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知 , 则 A. B. C. D. 4. 函数 的图象大致为5. 为庆祝中国共产党成立 100 周年,某学校组织“红心向党”歌咏比赛, 前三名被甲、乙、丙 获得. 下面三个结论: “甲为第一名,乙不是第一名,丙不是第三名”中只有一个正确, 由 此可推得获得第一、二、三名的依次是A. 甲、乙、丙B. 乙、丙、甲C. 丙、甲、乙D. 乙、甲、丙6. 若函数 在 上无极值, 则实数 的取值范围是A. B. C. D. 7. 已知 ,
3、则 的最小值为A. B. 12C. D. 168. “迪拜世博会”于 2021 年 10 月 1 日至 2022 年 3 月 31 日在迪拜举行, 中国馆建筑名为“华夏之光”, 外观取型中国传 统灯笼,寓意希望和光明. 它的形状可视为内外两个同轴圆柱, 某爱好者制作了一个中国馆的实心模型, 已知模型内 的球面上. 此模型的体积为A. B. C. D. 二、多项选择题: 本大题共 4 个小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 5 分, 选对但不全的得 2 分, 有选错的得 0 分.9. 某位同学 10 次考试的物理成绩 与数学成绩
4、 如下表所示:数学成绩 76827287937889668176物理成绩 8087751007993688577参考数据: .已知 与 线性相关,且 关于 的回归直线方程为 , 则下列说法正确的是A. B. 与 正相关C. 与 的相关系数为负数D. 若数学成绩每提高 5 分, 则物理成绩估计能提高 分10. 下列四个函数中, 以 为周期且在 上单调递增的偶函数有A. B. C. D. 11. 已知正方体 的棱长为 1 , 下列结论正确的有A. 异面直线 与 所成角的大小为 B. 若 是直线 上的动点, 则 平面 C. 与此正方体的每个面都有公共点的截面的面积最小值是 D. 若此正方体的每条棱所
5、在直线与平面 所成的角都相等, 则 截正方体所得截面面积 的最大值是 12. 下列结论正确的有A. 若 , 则 B. 若 , 则 C. 若 , 则 D. 若 均为正整数, , 则 三、填空题:本大题共4小题，每小题5分,共20分.13. 已知 , 且 , 则 的方差为_.14. 为迎接 2022 年北京冬奧会, 将 4 名志愿者分配到花样滑冰、速度滑冰 2 个项目进行培 训,每名志愿者分配到 1 个项目,每个项目至少分配到 1 名志愿者,则不同的分配方案 共有_ 种. (用数字作答)15. 若函数 , 则 .16. 学生小雨欲制作一个有盖的圆柱形容器,满足以下三个条件: (1)可将八个半径为
6、的乒乓球分两层放置在里面; (2)每个乒乓球都和其相邻的四个球相切; (3)每个乒乓球 与该容器的底面 (或上盖) 及侧面都相切,则该容器的高为_ .四、解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10 分)已知函数 为常数, 是 上的奇函数.(1) 求实数 的值;(2) 若函数 在区间 上的值域为 , 求 的值.18. (12 分)已知命题 , 关于 的方程 有两个不相等的负实根” 是 假命题.(1) 求实数 的取值集合 ;(2) 在 的条件下, 设不等式 的解集为 , 其中 . 若 是 的充分条件, 求实数 的取值范围.19. (12
7、 分)在; 的面积 ; 这三个条件中任选一个补充在下面横线上,并解决该问题.问题: 在 中, 它的内角 所对的边分别为 为锐角, ,(1) 求 的最小值;(2) 若 为 上一点, 且满足 , 判断 的形状. 注: 如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.20. (12 分)如图,在三棱柱 中,点 在底面 内的射影恰好是点 是 的中点, 且满足 .(1) 求证: 平面 ;(2) 已知 , 直线 与底面 所成角的大小 为 , 求二面角 的大小.21. (12 分)2021 年 7 月 18 日第 30 届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行. 为做 好本次考试的评价工作, 将本次成绩转
8、化为百分制, 现从中随机抽取了 50 名学生的成绩, 经统计,这批学生的成绩全部介于 40 至 100 之间, 将数据按照 , 70), 分成 6 组, 制成了如图所示的频率分布直方图.(1) 求频率分布直方图中 的值, 并估计这50 名学生成绩的中位数;(2) 在这 50 名学生中用分层抽样的方法从 成绩在 的三组中 抽取了 11 人, 再从这 11 人中随机抽取 3 人,记 为 3 人中成绩在 的人数, 求 的分布列和数学期望;(3) 转化为百分制后, 规定成绩在 的为 等级, 成绩在 的为 等级, 其它为 等级. 以样本估计总体, 用频率代替概率, 从所有参加生物学竞赛的同学中随机 抽取 100 人, 其中获得 等级的人数设为 , 记 等级的人数为 的概率为 , 写 出 的表达式, 并求出当 为何值时, 最大?22. (12 分)已知 , 函数 .(1) 讨论 的单调性;(2) 过原点分别作曲线 和 的切线 和 , 求证:存在 , 使得切线 和 的斜率互为倒数;(3) 若函数 的图象与 轴交于两点 , 且 . 设 , 其中常数 满足条件 , 试判断函数 在点 处的切线斜率的正负, 并说明理由.
