1、高考资源网（ ），您身边的高考专家三角恒等变换【考纲要求】1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.【知识网络】简单的三角恒等变换三角恒等变换两角和与差的三角函数公式倍角公式【考点梳理】考点一、两角和、差的正、余弦公式要点诠释：1公式的适用条件(定义域) ：前两个公式,对任意实数，都成立，这表明该公式是R上的恒等式；公式中2
2、正向用公式,，能把和差角的弦函数表示成单角，的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角 的弦函数。公式正向用是用单角的正切值表示和差角的正切值化简。考点二、二倍角公式1. 在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式： ；。要点诠释：1在公式中，角没有限制，但公式中，只有当时才成立；2. 余弦的二倍角公式有三种：；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用。3. 二倍角公式不仅限于2和的二倍的形式，其它如4是2的二倍，的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键。考点
3、三、二倍角公式的推论降幂公式：； ； .万能公式：； .半角公式：； ； .其中根号的符号由所在的象限决定.要点诠释：(1)半角公式中正负号的选取由所在的象限确定；(2)半角都是相对于某个角来说的，如可以看作是3的半角，2可以看作是4的半角等等。(3)正切半角公式成立的条件是2k+(kZ)正切还有另外两个半角公式：，这两个公式不用考虑正负号的选取问题，但是需要知道两个三角函数值。常常用于把正切化为正余弦的表达式。考点四、三角形内角定理的变形由，知可得出：，.而，有：，.【典型例题】类型一：化简与求值【高清课堂：三角恒等变换397881例1】例1. 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值
4、都等于同一个常数.(1)(2)(3)(4)(5) 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 根据()的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.【思路点拨】注意到（2）中可以转换为的函数值，从（2）计算入手.【解析】.选择(2)式计算如下 .证明: 【总结升华】例1是对公式的正用本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想. 举一反三：【变式1】若tan+ =4,则sin2=（）ABCD【答案】D 【解析】因为,所以. 【变式2】已知，求的值。【答案】【解析】例2不查表求的值.【思路点拨】用二倍角公式进行降次后出现，
5、再将，运用三角函数的和差公式变形.【解析】【总结升华】化简求值问题，要注意条件和所求式子之间的相互关系，常从“角度”“名称”及“运算结构”上进行分析，找到已知和未知之间的联系举一反三：【变式】已知为第二象限的角，且，则的值为.【答案】【解析】又为第二象限的角，且，所以所以原式类型二：角的变换与求值例3.已知（1）求的值；（2）求的值.【思路点拨】（1）已知倍角的余弦值，求该角的余弦值，可以选用降幂扩角公式，但应注意角的范围；（2）使用配角技巧.【解析】(1)，又，所以.(2)由（1）知所以所以【总结升华】1、给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，例2中应用
6、了的变换 ，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有, 等.2、已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用.举一反三：【变式1】已知，,，求的值.【答案】【解析】,，【变式2】函数的最大值为（ ）A B C D 【答案】C； 【解析】，.所以其最大值为2，故选C.【变式3】已知【答案】【解析】角的关系式：（和差与倍半的综合关系） ， 【变式4】已知，求的值。【答案】【解析】 ， ， ， 。 例4.
7、求值：（1）；（2）【思路点拨】要使能利用公式化简，分子分母同乘以第一个角的正弦值.【解析】（1）原式=；（2）原式= 【总结升华】此种类型题比较特殊，特殊在：余弦相乘；后一个角是前一个角的2倍；最大角的2倍与最小角的和与差是p。三个条件缺一不可。另外需要注意2的个数。应看到掌握了这些方法后可解决一类问题，若通过恰当的转化，转化成具有这种特征的结构，则可考虑采用这个方法。举一反三：【变式】求值：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式=（2）类型三：三角恒等变换的综合例5已知，且，求的值.【思路点拨】题设中给出是角的正切值，故考虑正切值的计算，同时通过估算的区间求出正确的值.【
8、解析】，而，故，又，故，从而，而，而，又，【总结升华】对给值求角问题，一般是通过求三角函数值实现的，先求出某一种三角函数值，再考虑角的范围，然后得出满足条件的角本例就是给值求角，关键是估算的区间，给值求角一定要将所求角限制在某个单值区间内，这是关键点也是难点在本例中使用了配角技巧，这些都要予以注意.举一反三：【变式1】已知，为锐角，则的值是（ ）A. B. C. 或 D. 【答案】A【变式2】已知，求。【解析】，解得, ，.例6.已知是的三个内角，向量且（1）求角的大小；（2）若，求的值. 【思路点拨】（1）先利用向量的数量积公式转化为三角方程再求角；（2）先解方程求出，再利用内角和定理及正切公式求得的值.【解析】（1）因为所以即又，所以故（2）因为，所以即所以【总结升华】三角问题常和向量知识综合在一起，求解的关键是“脱去”向量包装，将其转化为相应的三角问题进行求解；倍角公式及其变形课实现三角函数的升、降幂变化，也可以实现角的形式的转化；关于正余弦的齐次式，一般化为正切来处理.举一反三：【高清课堂：三角恒等变换397881例2】【变式】在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知 (I)求sinC的值；()当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长【答案】(I) () 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。
