1、广东省揭阳三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一、选择题：（每小题5分，共50分）1（5分）如果在ABC中，a=3，c=2，那么B等于（）ABCD2（5分）在等差数列an中，若前5项和S5=20，则a3等于（）A4B4C2D23（5分）若xy，mn，下列不等式正确的是（）AxmynBxmynCDmynx4（5分）在ABC中，a=6，B=30，C=120，则ABC的面积是（）A9B18CD5（5分）x+（x0）的最小值是（）A2BC4D86（5分）不等式ax2+bx+c0（a0）的解集为R，那么（）Aa0，0Ba0，0Ca0，0Da0，07（5分）不等式的解集是（）Ax|x3Bx|x
2、3或x1Cx|1x3Dx|1x38（5分）等比数列an中a2=4，a5=32则an的前6项和为（）A128B126C140D1929（5分）在直角坐标系中，满足不等式x2y20的点（x，y）的集合的阴影部分是（）ABCD10（5分）在等比数列an中，a9+a10=a（a0），a19+a20=b，则a99+a100等于（）ABCD二、填空题：（每小题5分，共20分）11（5分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则A=12（5分）已知实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x+3y的最大值为13（5分）若x+2y=1，则2x+4y的最小值是；14（5分）不等式（a2）x2+2（a
3、2）x40对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是三、解答题：（本题共6小题，共80分）15（12分）已知a、b、c分别是ABC的三个内角A、B、C的对边（1）若ABC面积SABC=，c=2，A=60，求a、b的值；（2）若a=ccosB，且b=csinA，试判断ABC的形状16（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x（xR）（1）求f（x）的最小正周期和最大值；（2）若为锐角，且，求tan2的值17（14分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，BAD=60（1）求证：OM平面PAB；（2）求
4、证：平面PBD平面PAC；（3）当四棱锥PABCD的体积等于时，求PB的长18（14分）已知数列an满足（）证明数列an+1是等比数列，并求数列an的通项公式；（）若，求数列bn的前n项和Sn19（14分）为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，去年冬天，某水利工程队在河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为10 000m2的矩形鱼塘，其四周都留有宽2m的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小20（14分）数列an满足a1=1，（nN*）（1）求证是等差数列；（要指出首项与公差）；（2）求数列an的通项公式；（3）若Tn=a1a
5、2+a2a3+anan+1，求证：广东省揭阳三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共50分）1（5分）如果在ABC中，a=3，c=2，那么B等于（）ABCD考点：正弦定理 专题：计算题；解三角形分析：由余弦定理可得cosB=，由于B为ABC内角，即0B即可求得B=解答：解：由余弦定理知：cosB=，B为ABC内角，即0BB=故选：C点评：本题主要考察了余弦定理的应用，属于基础题2（5分）在等差数列an中，若前5项和S5=20，则a3等于（）A4B4C2D2考点：等差数列的性质 专题：计算题分析：利用等差数列的前n项和公式表示出S5，利用等差
6、数列的性质化简后，将已知的前5项的和代入列出关于a3的方程，求出方程的解即可得到a3的值解答：解：等差数列an中，前5项和S5=20，S5=5a3=20，则a3=4故选A点评：此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握等差数列的性质及求和公式是解本题的关键3（5分）若xy，mn，下列不等式正确的是（）AxmynBxmynCDmynx考点：不等关系与不等式 专题：不等式的解法及应用分析：同向不等式具有可加性，于是x+my+n，进而得出答案解答：解：xy，mn，x+my+n，mynxD正确故选D点评：本题考查不等式的基本性质，深刻理解不等式的基本性质是解决此问题的关键4（5分）
7、在ABC中，a=6，B=30，C=120，则ABC的面积是（）A9B18CD考点：正弦定理 专题：计算题分析：利用三角形的内角和公式求得A=30，可得ABC为等腰三角形，直接利用ABC的面积，求得结果解答：解：ABC中，a=6，B=30，C=120，A=30故ABC为等腰三角形，故b=6，则ABC的面积为66sin120=9，故选C点评：本题考查三角形中的几何计算，也可以利用正弦定理求解，是一道基础题5（5分）x+（x0）的最小值是（）A2BC4D8考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：由题意可得x+2=4，当且仅当x=即x=2时取等号，进而可得答案解答：解：x0，x+2=4，当且仅
8、当x=即x=2时取等号，x+（x0）的最小值是4故选：C点评：本题考查基本不等式求最值，属基础题6（5分）不等式ax2+bx+c0（a0）的解集为R，那么（）Aa0，0Ba0，0Ca0，0Da0，0考点：二次函数的性质 专题：计算题分析：由不等式ax2+bx+c0（a0）的解集为R，知a0，且=b24ac0解答：解：不等式ax2+bx+c0（a0）的解集为R，a0，且=b24ac0，综上，不等式ax2+bx+c0（a0）的解集为的条件是：a0且0故选A点评：此题考查了分类讨论及函数的思想解决问题的能力，考查学生掌握解集为R的意义及二次函数的图象与性质，是一道基础题7（5分）不等式的解集是（）A
9、x|x3Bx|x3或x1Cx|1x3Dx|1x3考点：其他不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：根据分式不等式的解法即可得到不等式的解集解答：解：不等式等价为（1x）（x3）0且x30，即（x1）（x3）0且x3，1x3，即不等式的解集为x|1x3，故选：D点评：本题主要考查分式不等式的解法，将分式不等式转化为整式不等式是解决本题的关键，注意分母不能等于08（5分）等比数列an中a2=4，a5=32则an的前6项和为（）A128B126C140D192考点：等比数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：由已知数据易得数列的首项和公比，代入等比数列的求和公式计算可得解答：解：设等比数列
10、an的公比为q，q3=8，q=2，a1=2，an的前6项和S6=126故选：B点评：本题考查等比数列的前n项和，属基础题9（5分）在直角坐标系中，满足不等式x2y20的点（x，y）的集合的阴影部分是（）ABCD考点：二元一次不等式（组）与平面区域 分析：先把不等式x2y20转化为二元一次不等式组，再画出其表示的平面区域即可解答：解：由x2y20得（x+y）（xy）0，即或所以点（x，y）的集合的阴影为选项B故选B点评：本题主要考查由二元一次不等式组画出其表示的平面区域10（5分）在等比数列an中，a9+a10=a（a0），a19+a20=b，则a99+a100等于（）ABCD考点：等比数列的性
11、质 专题：计算题分析：a9+a10，a19+a20，a29+a30，a39+a40，成等比数列，公比为 =，由 a99+a100=（a9+a10 ） 求得结果解答：解：由等比数列的性质可得a9+a10，a19+a20，a29+a30，a39+a40，成等比数列，公比为 =，a99+a100=（a9+a10 ）=a=，故选 A点评：本题考查等比数列的定义和性质，判断a9+a10，a19+a20，a29+a30，a39+a40，成等比数列，公比为=，是解题的关键，属于中档题二、填空题：（每小题5分，共20分）11（5分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则A=考点：正弦定理的应
12、用 专题：计算题分析：通过正弦定理求出sinA的值，进而求出角A，再根据角A的范围得出结果解答：解：由正弦定理得A=或ac故答案为：点评：本题主要考查正弦定理的应用正弦定理是实现三角形中边角互化的常用方法12（5分）已知实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x+3y的最大值为4考点：简单线性规划 专题：计算题分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件 的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=x+3y的最大值解答：解：约束条件 的可行域如下图示：由图易得目标函数z=x+3y在（1，1）处取得最大值4，故答案为：4点评：点评：在解决线性
13、规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解13（5分）若x+2y=1，则2x+4y的最小值是2；考点：基本不等式 专题：计算题分析：由题意知2x+4y=由此可知2x+4y的最小值是解答：解：由题意知2x+4y=2x+4y的最小值是2点评：本题考查不等式的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答14（5分）不等式（a2）x2+2（a2）x40对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是（2，2考点：函数恒成立问题；二次函数的性质 专题：计算题分析：当a2=0，a=2时不等式即为40，对一切xR恒成立，当a2时 利用二次函
14、数的性质列出a满足的条件并计算，最后两部分的合并即为所求范围解答：解：当a2=0，a=2时不等式即为40，对一切xR恒成立 当a2时，则须 即2a2 由得实数a的取值范围是（2，2故答案为：（2，2点评：本题考查不等式恒成立的参数取值范围，考查二次函数的性质注意对二次项系数是否为0进行讨论三、解答题：（本题共6小题，共80分）15（12分）已知a、b、c分别是ABC的三个内角A、B、C的对边（1）若ABC面积SABC=，c=2，A=60，求a、b的值；（2）若a=ccosB，且b=csinA，试判断ABC的形状考点：余弦定理；三角形的形状判断 专题：计算题分析：（1）由A的度数求出sinA和c
15、osA的值，再由c及三角形的面积，利用三角形的面积公式求出b的值，然后由b，c及cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值；（2）由三角形的三边a，b及c，利用余弦定理表示出cosB，代入已知的a=ccosB，化简可得出a2+b2=c2，利用勾股定理的逆定理即可判断出三角形为直角三角形，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，代入b=csinA，化简可得b=a，从而得到三角形ABC为等腰直角三角形解答：解：（1），得b=1，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA=12+22212cos60=3，所以（2）由余弦定理得：，a2+b2=c2，所以C=90；在RtABC中，所以
16、，所以ABC是等腰直角三角形点评：此题考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，以及特殊角的三角函数值，考查了勾股定理的逆定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握定理及公式是解本题的关键16（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x（xR）（1）求f（x）的最小正周期和最大值；（2）若为锐角，且，求tan2的值考点：三角函数的周期性及其求法；三角函数的恒等变换及化简求值 专题：计算题分析：（1）利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）通过为锐角，且，求出cos2的值，sin2的值，然后求tan2的值解答：（
17、1）解：f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x（2分）=（3分）=（4分）f（x）的最小正周期为，最大值为（6分）（2）解：，（7分）（8分）为锐角，即，02（10分）（12分）点评：本小题主要考查三角函数性质，同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力17（14分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，BAD=60（1）求证：OM平面PAB；（2）求证：平面PBD平面PAC；（3）当四棱锥PABCD的体积等于时，求PB的长考点：平面与平面垂直
18、的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行；（2）先证明BD平面PAC，即可证明平面PBD平面PAC；（3）利用四棱锥PABCD的体积等于时，求出四棱锥PABCD的高为PA，利用PAAB，即可求PB的长解答：（1）证明：在PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，OM是PBD的中位线，OMPB，（1分）OM平面PAB，PB平面PAB，（3分）OM平面PAB（4分）（2）证明：底面ABCD是菱形，BDAC，（5分）PA平面ABCD，BD平面ABCD，BDPA（6分）AC平面PAC，PA平面
19、PAC，ACPA=A，BD平面PAC，（8分）BD平面PBD，平面PBD平面PAC（10分）（3）解：底面ABCD是菱形，AB=2，BAD=60，菱形ABCD的面积为，（11分）四棱锥PABCD的高为PA，得（12分）PA平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB（13分）在RtPAB中，（14分）点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力18（14分）已知数列an满足（）证明数列an+1是等比数列，并求数列an的通项公式；（）若，求数列bn的前n项和Sn考点：数列递推式；等比数列的通项公式；数列的求
20、和 专题：等差数列与等比数列分析：（I）由数列an满足，变形为an+1+1=2（an+1），即可证明数列an+1是等比数列，利用通项公式即可得出；（II）利用“错位相减法”即可得出解答：（I）证明：数列an满足，an+1+1=2（an+1），数列an+1是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列，（II）解：由（I）可知：=n2n1+（n1）2n2+n2n1，2Sn=12+222+（n1）2n1+n2n，Sn=1+2+22+2n1n2n=2n1n2n=（1n）2n1点评：本题考查了变形转化为等比数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”等基础知识与基本技能方法，属于难题19（14
21、分）为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，去年冬天，某水利工程队在河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为10 000m2的矩形鱼塘，其四周都留有宽2m的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小考点：根据实际问题选择函数类型 专题：计算题；函数的性质及应用分析：设矩形鱼塘长为am，宽为bm，面积ab=10000m2，由所选农田的长为（a+4）m，宽为（b+4）m，农田面积（a+4）（b+4）=10016+4（a+b）（m2），由此利用均值不等式能求出农田的长为104米，宽为104米时，才能使占有农田的面积最小解答：解：设矩形鱼塘
22、长为am，宽为bm，面积ab=10000m2，由所选农田的长为（a+4）m，宽为（b+4）m，农田面积（a+4）（b+4）=10016+4（a+b）（m2），由不等式a+b2，知当且仅当a=b时，a+b最小，即农田面积最小，ab=10000 所以a=b=100m所以农田的长为104米，宽为104米时，才能使占有农田的面积最小点评：本题考查函数在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用20（14分）数列an满足a1=1，（nN*）（1）求证是等差数列；（要指出首项与公差）；（2）求数列an的通项公式；（3）若Tn=a1a2+a2a3+anan+1，求证：考点：数列与不等式的综合 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由，得：，由此能证明数列是以首项，公差d=2的等差数列（2）由（1）得，由此能求出数列an的通项公式（3）由，利用裂项求和法能证明解答：（1）解：由，得：，又a1=1，=1，数列是以首项，公差d=2的等差数列（2）解：由（1）得：（3）证明：，Tn=点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用
