1、高二下学期学业水平考试数学（理）试题（测试时间120分钟，满分150分）注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号，用钢笔或签字笔填写在答题卡密封线内. 2非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1复数A B C D2设集合是小于5的正整数，则= A3，4，5 B3，4 C0，1，3，4 D0，3，4，5 3将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图
2、（1）示，则该几何体的正视图为4执行图（2）所示的程序框图，若输入的值为，则输出的的值为A2 B-2 C D5“”是“方程表示圆”的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件6下列函数是偶函数，且在上单调递增的是A B C D7已知，则的值为 A B C D 8已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最大值为A B C8 D63二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上.9. 函数的最小正周期为 ，值域为 .10. 图（3）是甲，乙两名同学次综合测评成绩的茎叶图，则乙的成绩的中位数是 ，甲乙两人中成绩较为稳定的是 .11
3、. 设，则与的夹角为 . 12在的展开式中，的系数为 . 13已知函数，点P()在函数图象上，那么的最小值是 14已知不等式组表示的三角形区域为M，过该区域三顶点的圆内部记为N,在N中随机取一点，则该点取自区域M的概率为 . 三解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.（本小题满分12分） 在中，角的对边分别为，且，（1）求角的大小；（2）若， ，求边的长和的面积.16（本小题满分12分）某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于公里和公里之间，将统计结果分成组：，并绘制成
4、图（4）所示的频率分布直方图（1）求直方图中的值；（2）求续驶里程在的车辆数； （3）若从续驶里程在的车辆中随机抽取2辆车，记表示续驶里程在的车辆数，求的分布列和数学期望.17（本小题满分13分）如图（5），已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAB是正三角形，且平面PAB平面ABCD，E是PA的中点，AC与BD的交点为M.（1）求证：PC/平面EBD；（2）求证：平面BED平面AED；图（5）18.（本小题满分13分）已知点,点关于y轴的对称点为，直线AM，BM相交于点M，且两直线的斜率、满足. （1）求点M的轨迹C的方程；（2）设轨迹C与y轴的交点为T，是否存在平行于AT的直线，使得直
5、线与轨迹C有公共点，且直线AT与的距离等于？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由.19.（本小题满分15分） 已知等差数列的前项和为，等比数列的各项均为正数，公比为，且满足：.（1）求与；（2）设，记数列的前项和为. 若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.20（本小题满分15分）已知函数，且. （1）试用含的代数式表示； （2）求函数的单调区间；w.w.w.k. （3）当时，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点.揭阳市20132014学年度高中二年级学业水平考试数学（理科）参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试
6、题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分三解答题：15.解：（1），由正弦定理得-2分-4分，-5分-6分（2），由余弦定理得：-8分，-9分. -10分 -12分-10分故的分布列为012-11分的数学期望：. -12分17.（1）证明：连结，-2分 四边形ABCD是矩形，为的中点-3分 E是的中点，是三角形的中位线，-4分-5分其它解法请参照给分.18.解：（1）依题意可得点，-1分设点，显然
7、，由得，-3分整理得，即点M的轨迹C的方程为.() -5分(2) 在方程中令得，即点,-6分则,假设存在符合题意的直线，其方程为，-7分由消去y得，-8分直线与轨迹C有公共点 方程的根判别式，即，-10分又由直线AT与的距离等于得，解得或，-12分,而，满足题意的直线存在，其方程为：.-13分19.解：（1）设数列的公差为，（2）由得-8分-10分对于任意的，恒成立 对任意的恒成立-11分，-12分而，当且仅当即时等号成立-13分 -14分 即实数的取值范围是-15分20.解：（1）依题意，得由得-1分（2）由（1）得故-3分令，得或当时，当变化时，与的变化情况如下表：+单调递增单调递减单调递
8、增 -5分由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为-6分当时，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为；-7分当时，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为；-8分综上得：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为-9分（3）解法一：当时，,由，解得,-10分由（2）知函数的单调增区间为和，单调减区间为函数在处取得极值, -11分故直线的方程为-12分由消去y得：, w-13分令易得，-14分而的图象在内是一条连续不断的曲线，故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点.- -15分【解法二：当时，得,由，得,-10分由（2）得的单调增区间为和，单调减区间为所以函数在处取得极值, -11分故所以直线的方程为-12分由消去y得：,-13分 w.w.w.k.s.5. 解得或或，即线段与曲线有异于的公共点】.- -15分】
