1、2015-2016学年山东省济南市商河二中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题1在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于（）A11B12C13D142在等差数列an中，a5=33，a45=153，则201是该数列的第（）项A60B61C62D633已知an是等差数列，且a2+a5+a8+a11=48，则a6+a7=（）A12B16C20D244在ABC中，则ABC一定是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形5设ab，cd，则下列不等式恒成立的是（）AacbdBacbdCDb+da+c6在一个ABC中，若a=2，b=2，A=30，那么B等于（）A6
2、0B60或 120C30D30或1507在ABC中，a=80，b=100，A=45，则此三角形解的情况是（）A一解B两解C一解或两解D无解8在ABC中，若（a+c）（ac）=b（b+c），则A=（）A90B60C120D1509一个等比数列an的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A63B108C75D8310数列an的通项公式an=，则该数列的前（）项之和等于9A98B99C96D97二、填空题11已知ABC中，AB=6，A=30，B=120，则ABC的面积为12已知x1，函数y=+x的最小值是13若数列an的前n项和Sn=2n2n，则其通项公式an=14首项为24的等差数列
3、，从第10项开始为正，则公差d的取值范围是15已知三角形ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，设B=2A，则的取值范围是三、解答题16已知x，y均为正数，且=1，求x+y的最小值及取得最小值时x，y的值17已知等比数列an中，a2=2，a5=128（1）求通项an；（2）若bn=log2an，数列bn的前n项和为Sn，且Sn=360，求n的值18在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosCccos（A+C）=3acosB（1）求cosB的值；（2）若=2，且a=，求b的值19海中有A岛，已知A岛四周8海里内有暗礁，现一货轮由西向东航行，在B处望见A岛在北偏东75，
4、再航行海里到C后，见A岛在北偏东30，如货轮不改变航向继续航行，有无触礁的危险？20数列an满足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），nN*（）证明：数列是等差数列；（）设bn=3n，求数列bn的前n项和Sn21已知数列an满足an=2an1+2n1（nN，N2），且a4=81（1）求数列的前三项a1、a2、a3的值；（2）是否存在一个实数，使得数列 为等差数列？若存在，求出值；若不存在，说明理由；求数列an 通项公式；（3）试求数列an的前n项和Sn2015-2016学年山东省济南市商河二中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1在数列1，1，2，3，
5、5，8，x，21，34，55中，x等于（）A11B12C13D14【考点】数列的概念及简单表示法【专题】计算题【分析】从已知数列观察出特点：从第三项开始每一项是前两项的和即可求解【解答】解：数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55 设数列为anan=an1+an2 （n3）x=a7=a5+a6=5+8=13故选C【点评】本题考查了数列的概念及简单表示法，是斐波那契数列，属于基础题2在等差数列an中，a5=33，a45=153，则201是该数列的第（）项A60B61C62D63【考点】等差数列的通项公式【专题】计算题【分析】由已知中等差数列an中，a5=33，a45=153，我们易求出数
6、列的公差，进而得到数列的通项公式，根据an=201，构造关于n的方程，解方程即可得到答案【解答】解：数列an为等差数列又a5=33，a45=153，d=3则an=a45+3（n45）当an=153+3（n45）=201时n=61故选B【点评】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，其中根据已知条件求出等差数列的通项公式，是解答本题的关键3已知an是等差数列，且a2+a5+a8+a11=48，则a6+a7=（）A12B16C20D24【考点】等差数列；等差数列的通项公式【专题】计算题【分析】由等差数列的性质可得：a2+a11=a5+a8=a6+a7，代入已知可得答案【解答】解：由等差数列的性质可得
7、：a2+a11=a5+a8=a6+a7，因为a2+a5+a8+a11=48，所以2（a6+a7）=48，故a6+a7=24，故选D【点评】本题考查等差数列的性质，属基础题4在ABC中，则ABC一定是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用【专题】解三角形【分析】把已知的等式利用正弦定理化简，再利用同角三角函数间的基本关系得到tanA与tanB相等，根据A和B都为三角形的内角，得到A与B相等，根据等角对等边得到a=b，即三角形ABC为等腰三角形【解答】解：根据正弦定理： =化简已知等式得：=，即tanA=tanB，由A和B都为三角形的内角
8、，得到A=B，则ABC一定为等腰三角形故选A【点评】此题考查了三角函数中的恒等变换应用，以及正弦定理学生做题时注意角度A和B都为三角形的内角这个条件5设ab，cd，则下列不等式恒成立的是（）AacbdBacbdCDb+da+c【考点】不等关系与不等式【专题】计算题【分析】本题是选择题，可采用逐一检验，利用特殊值法进行检验，很快问题得以解决【解答】解：ab，cd设a=1，b=1，c=2，d=5选项A，1（2）1（5），不成立选项B，1（2）（1）（5），不成立取选项C，不成立故选D【点评】本题主要考查了基本不等式，基本不等式在考纲中是C级要求，本题属于基础题6在一个ABC中，若a=2，b=2，A
9、=30，那么B等于（）A60B60或 120C30D30或150【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】将已知代入正弦定理即可直接求值【解答】解：由正弦定理可得：sinB=0B180，B=60或 120，故选：B【点评】本题主要考查了正弦定理的简单应用，属于基本知识的考查7在ABC中，a=80，b=100，A=45，则此三角形解的情况是（）A一解B两解C一解或两解D无解【考点】正弦定理【专题】计算题【分析】由a，b及sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，发现B的值有两种情况，即得到此三角形有两解【解答】解：由正弦定理得： =，即sinB=，则B=arcsin或arcsin，即此三角形
10、解的情况是两解故选B【点评】此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，掌握正弦函数的图象与性质，是一道基础题8在ABC中，若（a+c）（ac）=b（b+c），则A=（）A90B60C120D150【考点】余弦定理【专题】计算题【分析】把已知的等式左边利用平方差公式化简，右边去括号化简，变形后得到a，b及c的关系式，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式代入即可求出cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数【解答】解：由（a+c）（ac）=b（b+c）变形得：a2c2=b2+bc，即a2=c2+b2+bc根据余弦定理得cosA=，因为A为三角形的内角，所以A=120故
11、选C【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理的结构特点是解本题的关键9一个等比数列an的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A63B108C75D83【考点】等比数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】根据等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列，进而根据等比等比数列的第一个n项的和和第二个n项的和，求得第三个n项的和，进而把前2n项的和加上第三个n项的和，即可求得答案【解答】解：由等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列则等比数列的第一个n项的和为48，第二个n项的和为6048=12，第三个n项的和为： =3，前3n项的
12、和为60+3=63故选：A【点评】本题主要考查了等比数列的前n项的和解题的关键是利用等比数列每k项的和也成等比数列的性质10数列an的通项公式an=，则该数列的前（）项之和等于9A98B99C96D97【考点】数列的求和【分析】先将分母有理化，再利用叠加法可求和，进而可得结论【解答】解：an=，an=，n=99故选B【点评】本题的考点是数列求和，解题的关键是对通项的化简，进而利用叠加法二、填空题11已知ABC中，AB=6，A=30，B=120，则ABC的面积为【考点】三角形中的几何计算【专题】计算题【分析】先根据三角形内角和，得到C=180AB=30，从而A=C，所以BC=AB=6，最后用正弦
13、定理关于面积的公式，可得ABC的面积为BCABsinB=，得到正确答案【解答】解：ABC中，A=30，B=120，C=18030120=30A=CBC=AB=6由面积正弦定理公式，得SABC=BCABsinB=66sin120=即ABC的面积为故答案为：【点评】本题以求三角形的面积为例，着重考查了正弦定理、三角形面积公式和三角形内角和等知识点，属于基础题12已知x1，函数y=+x的最小值是5【考点】函数的最值及其几何意义【专题】不等式的解法及应用【分析】把式子变形为y=+x=+x1+1，利用均值定理可得： +x1+12+1=5，当x=3时，等号成立【解答】解：因为x1，所以y=+x=+x1+1
14、2+1=5，当x=3时，等号成立，故最小值为5【点评】考查了均值不等式的应用，难点是对式子合理变形，使得式子积为定值13若数列an的前n项和Sn=2n2n，则其通项公式an=an=4n3（nN*）【考点】数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】利用当n=1时，a1=S1当n2时，an=SnSn1即可得出【解答】解：当n=1时，a1=S1=21=1当n2时，an=SnSn1=2n2n2（n1）2（n1）=4n3当n=1时，上式也成立因此an=4n3（nN*）故答案为：an=4n3（nN*）【点评】本题考查了利用“当n=1时，a1=S1当n2时，an=SnSn1”求数列的通项公式的方法，考查了
15、计算能力，属于基础题14首项为24的等差数列，从第10项开始为正，则公差d的取值范围是【考点】等差数列的通项公式【专题】计算题【分析】利用等差数列的通项公式求出第10项和第9项，据题意知底10项大于0，第9项小于等于0，列出不等式解得【解答】解：设公差为d则a10=24+9d0，a9=24+8d0解得故答案为【点评】本题考查等差数列的通项公式、利用通项公式求特殊项、解不等式15已知三角形ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，设B=2A，则的取值范围是（1，2）【考点】正弦定理【专题】计算题【分析】先由正弦定理把换成角的正弦，利用二倍角公式化简求得=2cosA，进而B=2A和三角形
16、的内角和求得A的范围，进而根据余弦函数的单调性求得的取值范围【解答】解：由正弦定理可知=2cosAA+B+C=180，B=2A3A+C=180，A=60600A60cosA1则12故答案为：（1，2）【点评】本题主要考查了正弦定理的应用解题的思路就是通过把边的问题转化成角的问题，然后利用三角函数的基本性质来解决问题三、解答题16已知x，y均为正数，且=1，求x+y的最小值及取得最小值时x，y的值【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：x，y均为正数，且，x+y=10+=16，当且仅当x=4时，等号成立，即（x+y）min=16【点
17、评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题17已知等比数列an中，a2=2，a5=128（1）求通项an；（2）若bn=log2an，数列bn的前n项和为Sn，且Sn=360，求n的值【考点】等差数列与等比数列的综合【专题】计算题【分析】（1）根据等比数列an，设公比为q，根据a2=2，a5=128求出公比，然后根据an=a2qn2可求出所求；（2）结合（1）求出数列bn的通项公式，然后利用等差数列的求和公式求出Sn，根据Sn=360建立等式，解关于n的一元二次方程即可【解答】解：（1）设公比为q，由a2=2，a5=128及a5=a2q3得 128=2q3，q=4an=a2qn2=
18、24n2=22n3（2）bn=log222n3=2n3，数列bn是以1为首项，2为公差的等差数列Sn=n（1）+=n22n令n22n=360得 n1=20，n2=18（舍）故n=20为所求【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列的综合，同时考查了计算能力，属于中档题18在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosCccos（A+C）=3acosB（1）求cosB的值；（2）若=2，且a=，求b的值【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理【专题】解三角形；平面向量及应用【分析】（1）利用三角形内角和定理、诱导公式、正弦定理即可得出；（2）利用数量积运算、余弦定理即可得出【解答】解：（
19、1）在ABC中，cos（A+C）=cos（B）=cosB，bcosCccos（A+C）=3acosB可化为bcosCccosB=3acosB由正弦定理可得：sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，故cosB=（2）由，可得【点评】本题综合考查了三角形内角和定理、诱导公式、正弦余弦定理、数量积运算等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题19海中有A岛，已知A岛四周8海里内有暗礁，现一货轮由西向东航行，在B处望见A岛在北偏东75，再航行海里到C后，见A岛在北偏东30，如货轮不改变航向继续航行，有无触礁的危险？【考点】解三角形的实际应用【专题】应用题【分析】先根
20、据题意画出示意图，由已知的方位角确定三角形中的边长和角的度数，最后利用正弦定理求AC长，进而在直角三角形中计算船与A岛的最近距离AD长即可判断有无触礁危险【解答】解：如图所示，在B处望见A岛在北偏东75，ABC=15在C处见A岛在北偏东30，ACD=60BAC=45在ABC中，BC=，由正弦定理得：在直角三角形ACD中 从而可知船不改变航向没有触礁的危险【点评】本题考查了将实际问题转化为数学问题的能力，利用解三角形知识解决实际问题的能力，正弦定理的应用，理解题意实现转化是解决本题的关键20数列an满足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），nN*（）证明：数列是等差数列；（）设bn
21、=3n，求数列bn的前n项和Sn【考点】数列的求和；等比关系的确定【分析】（）将nan+1=（n+1）an+n（n+1）的两边同除以n（n+1）得，由等差数列的定义得证（）由（）求出bn=3n=n3n，利用错位相减求出数列bn的前n项和Sn【解答】证明（）nan+1=（n+1）an+n（n+1），数列是以1为首项，以1为公差的等差数列；（）由（）知，bn=3n=n3n，3n1+n3n3n+n3n+1得3nn3n+1=【点评】本题考查利用等差数列的定义证明数列是等差数列；考查数列求和的方法：错位相减法求和的关键是求出通项选方法21已知数列an满足an=2an1+2n1（nN，N2），且a4=81
22、（1）求数列的前三项a1、a2、a3的值；（2）是否存在一个实数，使得数列 为等差数列？若存在，求出值；若不存在，说明理由；求数列an 通项公式；（3）试求数列an的前n项和Sn【考点】数列的求和；等差数列的性质【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）由an=2an1+2n1（nN，N2），且a4=81，分别令n=4，3，2即可得出（2）假设存在一个实数，使得数列 为等差数列，可得=， =， =，利用2=+，解得=1可得=2+（n1）=n+1，代入an=2an1+2n1（nN，N2），验证即可（3）由（2）可得：an=（n+1）2n+1，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出【解答
23、】解：（1）an=2an1+2n1（nN，N2），且a4=81，1=81，解得a3=33，同理可得：a2=13，a1=5（2）假设存在一个实数，使得数列 为等差数列，则=， =， =，2=+，即2=+，解得=1=2， =3， =4，则=2+（n1）=n+1，可得an=（n+1）2n+1，代入an=2an1+2n1（nN，N2），可得右边=2n2n1+1+2n1=（n+1）2n+1=左边，因此假设成立an=（n+1）2n+1，（3）由（2）可得：an=（n+1）2n+1，设数列（n+1）2n的前n项和为Tn，则Tn=22+322+423+（n+1）2n，2Tn=223+324+n2n+（n+1）2n+1，Tn=4+22+23+2n+（n+1）2n+1=2+（n+1）2n+1=n2n+12，Tn=n2n+1+2数列an的前n项和Sn=n2n+1+2+n【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
