1、2.2 直线及其方程2.2.1 直线的倾斜角与斜率必备知识自主学习1.直线的倾斜角(1)定义：给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的_记为，则称为这条直线的倾斜角(2)特例：若直线与x轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为_，与x轴垂直的直线，倾斜角为_(3)范围：0180.最小正角090【思考】(1)如图：直线l的倾斜角是30吗？提示：不是，直线l的倾斜角为150.(2)倾斜角相等的直线的倾斜程度是否相同？提示：倾斜角相等的直线的倾斜程度相同2斜率的概念(1)定义：一条直线的倾斜角的正切值(2)特例：倾斜角是90的直线
2、没有斜率(3)记法：ktan.【思考】(1)为什么倾斜角为90时，直线没有斜率？提示：当90时，tan 不存在，由斜率的定义，可知此时直线斜率不存在(2)斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？提示：当ktan 0时，倾斜角是钝角；当ktan 0时，倾斜角是锐角；当ktan 0时，倾斜角是0.3.经过两个点的直线的斜率公式经过两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率：k_2121yyxx【思考】利用过两点的直线的斜率公式能求任意一条直线的斜率吗？为什么？提示：不能，当直线与x轴垂直时，k无意义2121yyxx4直线的方向向量(1)如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l
3、_，则称向量a为直线l的一个方向向量，记为al；(2)如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数0，向量a都是l的一个方向向量，而且直线l的_两个方向向量一定共线；平行或重合任意(3)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则(_)是直线l的一个方向向量；(4)如果已知a(u，v)为直线l的一个方向向量，则当u0时，显然直线l的斜率不存在，倾斜角为_；当u0时，直线l的斜率是存在的，而且此时(1，k)与a(u，v)都是直线l的一个方向向量，且有vku，即k，即tan.ABx2x1，y2y190vuvu5直线的法向量如果表示非零向量v的有向线段所在的直线与直线l_，则
4、称向量v为直线l的一个法向量，记作vl.垂直1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)下图中标的 都不是对应直线的倾斜角()(2)任一直线都有倾斜角，都存在斜率()(3)倾斜角为 135的直线的斜率为 1.()(4)若直线的倾斜角为，则它的斜率为 ktan.()(5)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反()提示：(1).x 轴的正向与直线向上的方向之间所成的角是直线的倾斜角，所以图中的四个 都不是对应直线的倾斜角(2).倾斜角为 90的直线不存在斜率(3).倾斜角为 135的直线的斜率为1.(4).倾斜角 不等于 90时，它的斜率才是 ktan.(5).若两条直线平行，则它们的方向
5、向量也平行，故它们的方向向量的方向相同或相反2如图所示，直线 l 与 y 轴的夹角为 45，则 l 的倾斜角为()A45 B135 C0 D无法计算【解析】选 B.根据倾斜角的定义知，l 的倾斜角为 135.3(教材二次开发：例题改编)已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于 1，则 m 的值是()A5 B8 C132 D7【解析】选 C.由斜率公式可得8mm5 1，解得 m132.4已知直线 l 的倾斜角为 30，则直线 l 的斜率为()A 33 B 3 C1 D 22【解析】选 A.由题意可知直线 l 的斜率 ktan 30 33.5已知直线 l 经过两点 P(1，2)，Q(2，
6、1)，那么直线 l 的一个方向向量为_；一个法向量为_；斜率为_【解析】由已知可得PQ(2，1)(1，2)(3，1)是直线 l 的一个方向向量则(1，3)是直线 l 的一个法向量，直线 l 的斜率 k211（2）13.答案：(3，1)(答案不唯一)(1，3)(答案不唯一)13关键能力合作学习类型一 直线的倾斜角、斜率的概念(数学抽象)1设直线 l 过坐标原点，它的倾斜角为，如果将 l 绕坐标原点按逆时针方向旋转 45，得到直线 l1，那么 l1 的倾斜角为()A45B135C135D当 0135时，倾斜角为 45；当 135180时，倾斜角为 1352一条直线 l 与 x 轴相交，其向上的方向
7、与 y 轴正方向所成的角为(090)，则其倾斜角为()A B180C180 或 90 D90 或 903已知点 A 的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点 B，若 kAB4，则点 B 的坐标为()A(2，0)或(0，4)B(2，0)或(0，8)C(2，0)D(0，8)【解析】1.选 D.因为 0180，显然 A，B，C 未分类讨论，均不全面，不合题意通过画图(如图所示)可知：当 0135时，l1 的倾斜角为 45；当 135180时，l1 的倾斜角为 45180135.2选 D.如图，当 l 向上方向的部分在 y 轴左侧时，倾斜角为 90；当 l 向上方向的部分在 y 轴右侧时，倾斜角为 90.
8、3选 B.设 B(x，0)或(0，y)，因为 kAB 43x 或 kAB4y3，所以 43x 4 或4y34，所以 x2，y8，所以点 B 的坐标为(2，0)或(0，8).1求直线的倾斜角的方法及两点注意事项(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角(2)两点注意事项：当直线与 x 轴平行或重合时，倾斜角为 0，当直线与 x 轴垂直时，倾斜角为 90.注意直线倾斜角的取值范围是 0180.2解决斜率问题的方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式 ktan(90)解决(2)由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式 ky2y1x2x1(x1x2)求解(3)涉及直线与线段有交
9、点问题常利用数形结合求解【补偿训练】已知直线 l 经过点 A(1，2)，且不经过第四象限，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是()A(1，0 B0，1C1，2 D0，2【解析】选 D.由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线 l 的斜率满足 0k2.类型二 直线的倾斜角、斜率的计算(数学运算)1若 A(1，0)，B(3，m)，直线 AB 的斜率为12，则 m()A8 B2 C2 D82若直线过点 C(1，3)，D(4，3 3)，则此直线的一个方向向量为_；倾斜角为_3已知点 M(0，b)与点 N(3，1)连成直线的倾斜角为 120，则 b_【解析】1.选 C.A(1，0
10、)，B(3，m)，直线 AB 的斜率为12，所以12 m031，解得：m2.2直线过点 C(1，3)，D(4，3 3)，得CD(4，3 3)(1，3)(3，3)是直线 l 的一个方向向量，则直线的斜率 k3 3341 33，所以此直线的倾斜角是6.答案：(3，3)(答案不唯一)63k b10 3 tan 120，解得 b2.答案：2 利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项(1)运用公式的前提条件是“x1x2”，即直线不与 x 轴垂直，因为当直线与 x 轴垂直时，斜率是不存在的；(2)斜率公式与两点 P1，P2 的先后顺序无关，也就是说公式中的 x1 与 x2，y1 与 y2可以同时交换位置(3)
11、在 00，解得 m2.即当 m2 时，直线 MN 的倾斜角为锐角(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于 0，即 k2m51m3（m2）2m450，解得 m2.即当 m2 时，直线 MN 的倾斜角为钝角(3)当直线 MN 垂直于 x 轴时，直线的倾斜角为直角，此时 m3m2，此方程无解，故直线 MN 的倾斜角不可能为直角课堂检测素养达标1已知一条直线过点(3，2)与点(1，2)，则这条直线的倾斜角 是()A0 B45 C60 D90【解析】选 A.因为 k04 0，所以 0.2若过两点 A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角为 45，则 y 等于()A 32 B 32 C1 D1【解析】选 C.kA
12、By342 tan 451，即y321，所以 y1.3(教材二次开发：练习改编)已知直线 AB 与直线 AC 有相同的斜率，且 A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)，则实数 a 的值是_.【解析】依题意：kABkAC，即a021 10a1，解得 a1 52.答案：1 524已知倾斜角为 45的直线经过点 A(2m，3)，B(2，3)，则 m 的值为_；直线的方向向量为_【解析】由题意可得 tan 45kAB3322m 1，解得 m4.所以AB(2，3)(8，3)(6，6)是直线的一个方向向量答案：4(6，6)(答案不唯一)5已知 A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)，D(1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率 k 及 a，b 的值【解析】由题意可知 kAB5131 2，kAC71a1 6a1，kAD b111 b12，所以 k2 6a1 b12，解得 a4，b3，所以直线的斜率 k2，a4，b3.