1、特训样题 第三编 讲应试 先易后难就是先做简单题，再做综合题应根据自己的实际，果断跳过啃不动的题目，从易到难，也要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，伤害解题情绪可采取缺步解答、跳步解答、退步解答、辅助解答等多种方式，力争多得分 先熟后生通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处对后者，不要惊慌失措，应想到试题偏难对所有考生也难通过这种暗示，确保情绪稳定对全卷整体把握之后，就可实施先熟后生的策略，即先做那些内容掌握比较完整、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目这样，在拿下熟题的同时，可以使思维流畅、心情愉悦，超常发挥，达到拿下中、高档题目的目的 先同后异
2、就是说，可考虑先做同学科同类型的题目这样思考比较集中，知识或方法的沟通比较容易，有利于提高单位时间的效益一般说来，考试解题必须进行“兴奋灶”转移，思考必须进行代数学科与几何学科的相互换位，必须进行从这一章节到那一章节的跳跃，但“先同后异”可以避免“兴奋灶”过急、过频和过陡的跳跃，从而减轻大脑负担，保持有效精力 先小后大小题一般是信息量少、运算量小，易于把握，不要轻易放过，应争取在大题之前尽快解决，从而为解决大题赢得时间，创造一个宽松的心理气氛 先点后面近年的高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，而前面问题的解决又为后面问题准备了思维基础和解题条件
3、，所以要步步为营，由点到面 先局部后整体对一个疑难问题，确实啃不动时，一个明智的解题策略是：将它划分为一个个子问题或一系列的步骤，先解决问题的一部分，即能解决到什么程度就解决到什么程度，能演算几步就写几步，每进行一步就可得到这一步的分数如从最初的把文字语言译成符号语言，把条件和目标译成数学表达式，设应用题的未知数，设轨迹题的动点坐标，依题意正确画出图形等，都能得分还有像完成分类讨论，反证法的简单情形等，都能得分而且可以在上述处理中，从感性到理性，从特殊到一般，从局部到整体，产生顿悟，形成思路，从而获得解题成功 先面后点解决应用性问题，首先要全面审查题意，迅速接受概念，此为“面”；透过冗长叙述，
4、抓住重点词句，提出重点数据，此为“点”；综合联系，提炼关系，依靠数学方法，建立数学模型，此为“线”如此将应用性问题转化为纯数学问题当然，求解过程和结果都不能离开实际背景 先高(分)后低(分)这里主要是指在考试的后半段时要特别注重时间效益，如两道题都会做，先做高分题，后做低分题，以使时间不足时少失分；到了最后十分钟，也应对那些拿不下来的题目就高分题“分段得分”，以增加在时间不足前提下的得分建议教师组织专门特训，向学生说明特训的目的，在考试时应使用的思想方法、解题方法、应试技巧等，进行有针对性使用！在讲评时，教师也应重点讲评应试技巧在每一题中是怎样使用的！为方便您理解，我们特意命制了一套样题供您参
5、考 本套试卷知识点覆盖全面，试题常规，难度中等，着重考查基础知识、基本方法与基本技能，着重考查数学的四大思想和选、填题的特殊技法，着重考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力、空间想象能力、数据处理能力和分析问题、解决问题的能力特训样题本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分共 150 分，考试时间 120 分钟第卷(选择题，共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 My|y2x1，xR，MNN，则集合 N 不可能是()ABMC.xx13 1D1,2命题意图 本题考查集合的概念和运算，考查转化与化
6、归的数学思想答案 D解析 My|y1，因为 MNN，所以 NM，所以集合 N 有可能是或 M.所以选项 A，B 均可能；因为x|x13 1(1，)，所以选项 C 也可能，而选项 D 不可能2设复数 z 满足 z|z|2i，则 z()A34i B.34iC34i D.34i命题意图 本题考查复数的运算，考查函数与方程思想的应用答案 B解析 设 zabi(a，bR)，由已知得 abi a2b22i，由复数相等可得a a2b22，b1.a34，b1，故 z34i，选 B.3等比数列an的各项均为正数，a11，a1a2a37，则 a3a4a5()A14 B21 C28 D63命题意图 本题需要将问题转
7、化为基本量(首项和公比)的运算，另外还需注意数列中不同两项之间的关系式的灵活应用，以减少计算量答案 C解析 设等比数列an的公比为 q，a11，a1a2a37，a1(1qq2)1qq27，即 q2q60，解得 q2 或 q3，又 an0，q2，a3a4a5q2(a1a2a3)4728.故选 C.4若 x，y 满足约束条件x0，xy30，x2y0，则 zx2y 的取值范围是()A0,6 B0,4C6，)D4，)命题意图 本题考查线性规划，意在考查考生的数形结合能力、运算求解能力答案 D解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示由题意可知，当直线 y12xz2过点 A(2,1)时，z 取
8、得最小值，即 zmin2214.所以 zx2y 的取值范围是4，)故选 D.5如图，CD，BE 分别是边长为 4 的等边ABC 的中线，圆 O 是ABC的内切圆，线段 OB 与圆 O 交于点 F.在ABC 中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是()A.354 B.18 C.327 D.3108命题意图 本题考查运用平面几何知识求几何概型的概率答案 A解析 在BOD 中，ODB90，OBD30，因为 BD12AB2，所以 OD2tan302 33，即圆 O 的半径为2 33，由此可得图中阴影部分的面积等于162 33229，因为ABC 的面积为 4 3，故所求概率 P294 3 354.故
9、选 A.6已知等边三角形 ABC 的边长为 2，其重心为 G，则BG CG()A2 B14 C23 D3命题意图 本题考查了向量的线性运算和数量积，考查了向量坐标法和数形结合思想答案 C解析 如图，建立平面直角坐标系，则 A(0，3)，B(1,0)，C(1,0)，得重心 G0，33，则BG 1，33，CG 1，33，所以BG CG 11 33 33 23，故选 C.7“十一”黄金周来临，甲、乙、丙三个大学生决定出去旅游，已知一人去泰山，一人去西藏，一人去云南回来后，三人对自己的去向，作如下陈述：甲：“我去了泰山，乙去了西藏”乙：“甲去了西藏，丙去了泰山”丙：“甲去了云南，乙去了泰山”事实是甲、
10、乙、丙三人的陈述都只对了一半根据如上信息，可判断下面正确的是()A甲去了西藏B乙去了泰山C丙去了西藏D甲去了云南命题意图 本题考查学生的逻辑推理能力，解题时常将反证法与分析法综合使用答案 D解析 若甲的陈述“我去了泰山”正确，则“乙去了西藏”错误，则乙去了云南，丙去了西藏，则乙、丙的陈述都错误；若甲的陈述“我去了泰山”错误，则“乙去了西藏”正确，则甲去了云南，丙去了泰山，验证乙、丙的陈述，都说对了一半，符合题意，故选 D.8已知数列an中，a11，且对任意的 m，nN*，都有 amnamanmn，则2019i11ai()A.20181010 B.20191010 C.20192018 D.20
11、202019命题意图 本题考查数列的递推公式、累加法、裂项求和等知识，考查赋值法和转化与化归的能力答案 B解析 令 m1，则 an1a1ann，又 a11，所以 an1ann1，即 an1ann1，所以 a2a12，a3a23，anan1n(n2)，把以上 n1 个式子相加，得 ana123n，所以 an123nnn12，当 n1 时，上式也成立，所以 annn12，所以 1an2nn121n 1n1，所 以 2019i11ai 2112 1213 12019 1202021 12020 20191010.故选 B.9已知 f(x)sinx 1sinxax2，若 f2 2，则 f2()A2 B
12、2 C2 D命题意图 本题主要考查函数求值问题，根据题意先求出参数再求出结果或运用函数的奇偶性压缩思维来求解答案 B解析 解法一：因为 f(x)sinx 1sinxax2，f2 2，所以 f2 112a4 2，因此2a4，故 a4.所以 f2 11424 2.故选 B.解法二：因为 f(x)sinx 1sinxax2，所以 f(x)sinx 1sinxax2，所以 f(x)f(x)2sinx 1sinx，因为 f2 2，所以 f2 f2 2sin2 1sin22.故选 B.10已知函数 f(x)|x3|1，x0，x22，x0，函数 g(x)mx，若函数 yf(x)2g(x)恰有三个零点，则实数
13、 m 的取值范围是()A.16，12B.13，1C.16，D.，12命题意图 本题考查了数形结合的解题方法：画出需要的函数图象，将函数的零点个数问题化归为同一坐标系内两个不同函数图象的交点个数的问题，进一步求出参数的取值范围答案 A解析 由题意，画出函数 f(x)|x3|1，x0，x22，x0的图象如图所示，yf(x)2g(x)恰有三个零点，即 yf(x)，y2mx 的图象有三个不同交点，由图象可知，当直线 y2mx的斜率在区间(kOA，kOB)时，yf(x)，y2mx 的图象有三个不同交点，即 kOA2mkOB，所以132m1，可得16m12，故选 A.11如图，直角梯形 ABCD，ABC9
14、0，CD2，ABBC1，E 是边 CD 的中点，ADE 沿 AE 翻折成四棱锥 DABCE，则点 C 到平面 ABD距离的最大值为()A.12 B.22 C.63 D1命题意图 本题综合考查立体几何中的线、面的位置关系和点到平面距离的计算，解题的方法之一是根据线面平行的性质，将所求点到平面的距离转化为另外一个特殊点到同一平面的距离另外在求得点到平面距离的表达式后再运用基本不等式求最大值时，需要注意验证等号成立的条件答案 B解析 由翻折过程可得，在如图所示的四棱锥 DABCE中，底面 ABCE为边长是 1 的正方形，在侧面 DEA 中，DEAE，且 DEAE1.AEDE，AECE，DECEE，A
15、E平面 DCE.作 DMCE 于 M，作 MNAB 于 N，连接 DN，则由 AE平面 DCE，可得 DMAE，DM平面 ABCE.又 AB平面 ABCE，DMAB.MNAB，DMMNM，AB平面 DMN.在DMN 中，作 MHDN 于 H，则 MH平面 ABD.又由题意可得 CE平面 ABD，MH 的长即为点 C 到平面 ABD的距离在 RtDMN 中，DMMN，MN1，设 DMx，则 0 xDE1，DN 1x2.由 DMMNDNMH，得 x 1x2MH，MHx1x2111x2 22，当 x1 时等号成立，此时 DE平面 ABCE，综上可得点 C 到平面 ABD距离的最大值为 22.故选 B
16、.12已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，设函数 f(x)的导函数为 f(x)，若对任意 x0 都有 2f(x)xf(x)0 成立，则()A4f(2)9f(3)B4f(2)9f(3)C2f(3)3f(2)D3f(3)2f(2)命题意图 本题借助于导数构造新的函数来解题，考查了学生转化与化归的能力答案 A解析 根据题意，令 g(x)x2f(x)，其导数 g(x)2xf(x)x2f(x)，又对任意x0都有2f(x)xf(x)0成立，则当x0时，有g(x)x2f(x)xf(x)0 恒成立，即函数 g(x)在(0，)上为增函数，又由函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，则 f(x)f(x)，
17、则有 g(x)(x)2f(x)x2f(x)g(x)，即函数g(x)也为偶函数，则有 g(2)g(2)，且 g(2)g(3)，则有 g(2)g(3)，即有4f(2)9f(3)故选 A.第卷(非选择题，共 90 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知函数 f(x)log34x，x3，3x2，x3，则 f(log336)f(1)_.命题意图 本题考查分段函数与基本初等函数的计算答案 5解析 由题意，函数 f(x)log34x，x3，3x2，x3，可得 f(log336)3log3362369 4，f(1)log3(41)1，所以 f(log336)f(1)415.1
18、4已知 sin223，则 tan 1tan_.命题意图 本题考查三角恒等变换，考查学生的转化能力答案 3解析 由 sin22sincos，可得 2sincossin2cos223，2tantan2123，即 tan23tan10.可得 tan 1tan3.15如图，点 F 是抛物线 C：x24y 的焦点，点 A，B 分别在抛物线 C和圆 x2(y1)24 的实线部分上运动，且 AB 总是平行于 y 轴，则AFB 周长的取值范围是_命题意图 本题考查抛物线的定义与圆的标准方程及其性质，考查推理能力与计算能力答案(4,6)解析 抛物线 x24y 的焦点为(0,1)，准线方程为 y1，圆 x2(y1
19、)24 的圆心为(0,1)，与抛物线的焦点重合，且半径 r2，|FB|2，|AF|yA1，|AB|yByA，三角形 ABF 的周长2yA1yByAyB3，1yB3，三角形 ABF 周长的取值范围是(4,6)16已知在三棱锥 ABCD 中，底面BCD 是边长为 3 的等边三角形，且 ACAD 13，若 AB2，则三棱锥 ABCD 外接球的表面积是_命题意图 本题利用构造法解决多面体和球的问题，考查学生的空间想象力和转化能力答案 16解析 AB2BC2AC2，AB2BD2AD2，ABBC，ABBD.又 BCBDB，AB平面 BCD，因而可以将三棱锥 ABCD 补形成三棱柱 AEFBCD(如图所示)
20、，则上、下底面正三角形的中心 O1 与 O2 连线的中点 O 为三棱锥 ABCD外接球的球心易知，BO2 3，O2O1，BO BO22O2O22，三棱锥 ABCD 外接球的表面积 S42216.三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：共 60 分17(本小题满分 12 分)进入 11 月份，香港大学自主招生开始报名，“五校联盟”统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有参加测试的学生中随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图：(1)估计五校学生综合素质
21、成绩的平均值；(2)某校决定从本校综合素质成绩排名前 6 名同学中，推荐 3 人参加自主招生考试，其中每人被推荐的可能性相同，若已知 6 名同学中有 4 名理科生，2 名文科生，试求这 3 人中含文科生的概率命题意图 本题根据频率分布直方图估计平均值，利用定义法求解古典概型，而求解基本事件空间与所求事件包含的基本事件个数是关键，一般用列举法解 (1)依 题 意 可 知，550.12 650.18 750.40 850.22 950.0874.6，(3 分)所以五校学生综合素质成绩的平均值为 74.6.(5 分)(2)设这 6 名同学分别为 a，b，c，d,1,2，其中设 1,2 为文科生，从
22、6 人中选出 3 人，所有可能的结果为(a，b，c)，(a，b，d)，(a，b,1)，(a，b,2)，(b，c，d)，(b，c,1)，(b，c,2)，(c，d,1)，(c，d,2)，(d,1,2)，(a，c，d)，(a，c,1)，(a，c,2)，(a，d,1)，(a，d,2)，(b，d,1)，(b，d,2)，(c,1,2)，(a,1,2)，(b,1,2)，共 20 种，(9 分)其中含有文科学生的有(a，b,1)，(a，b,2)，(b，c,1)，(b，c,2)，(c，d,1)，(c，d,2)，(d,1,2)，(a，c,1)，(a，c,2)，(a，d,1)，(a，d,2)，(b，d,1)，(b，
23、d,2)，(c,1,2)，(a,1,2)，(b,1,2)，共 16 种所以这 3 人中含文科生的概率为162045.(12 分)18(本小题满分 12 分)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.(1)若 23cos2Acos2A0，且ABC 为锐角三角形，a7，c6，求 b的值；(2)若 a 3，A3，求 bc 的取值范围命题意图 本题考查三角恒等变换和解三角形考查学生的函数与方程思想和转化与化归的能力解(1)23cos2Acos2A23cos2A2cos2A10，cos2A 125，又 A 为锐角，cosA15，而 a2b2c22bccosA，即 b2125 b130，解得
24、 b5 或 b135(舍去)，b5.(5 分)(2)解法一：由正弦定理可得 bc2(sinBsinC)2sinBsin23 B 2 3sinB6，0B23，6B656，12sin(B6)1，bc(3，2 3(12 分)解法二：由余弦定理 a2b2c22bccosA 可得b2c23bc，即(bc)233bc34(bc)2，当且仅当 bc 时取等号，bc2 3，又由两边之和大于第三边可得 bc 3，bc(3，2 3(12 分)19(本小题满分 12 分)如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，P 在平面 ABCD 上的射影为 G，且 G 在 AD 上，且 AG13GD，BGGC
25、，GBGC2，E 是 BC 的中点，四面体 PBCG 的体积为83.(1)求异面直线 GE 与 PC 所成角的余弦值；(2)求点 D 到平面 PBG 的距离；(3)若点 F 是棱 PC 上一点，且 DFGC，求PFFC的值命题意图 本题考查异面直线所成角的余弦，点到面的距离，考查学生的空间想象能力和转化能力解(1)由已知 VPBGC13SBCGPG1312BGGCPG83，PG4.在平面 ABCD 内，过点 C 作 CHEG 交 AD 于点 H，连接 PH，则PCH(或其补角)就是异面直线 GE 与 PC 所成的角在PCH 中，CH 2，PC2 5，PH3 2，由余弦定理得，cosPCHPC2
26、CH2PH22PCCH 1010，异面直线 GE 与 PC 所成的角的余弦值为 1010.(4 分)(2)PG平面 ABCD，PG平面 PBG，平面 PBG平面 ABCD，在平面 ABCD 内，过 D 作 DKBG，交 BG 延长线于点 K，则 DK平面 PBG，DK 的长就是点 D 到平面 PBG 的距离(6 分)BC2 2，GD34AD34BC3 22.在DKG 中，DKDGsin4532，点 D 到平面 PBG 的距离为32.(8 分)(3)在平面 ABCD 内，过 D 作 DMGC，M 为垂足，连接 MF，又因为 DFGC，DMDFD，GC平面 MFD，FM平面 MFD，GCFM.(1
27、0 分)由平面 PGC平面 ABCD，FM平面 ABCD，FMPG.由 GMMD 得，GMGDcos4532.MC23212.PFFCGMMC32123，由 DFGC 可得PFFC3.(12 分)20(本小题满分 12 分)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)经过点(0，3)，离心率为12.(1)求椭圆 E 的方程；(2)设点 A，F 分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点 F 作直线交椭圆于C，D 两点，求四边形 OCAD 面积的最大值(O 为坐标原点)命题意图 本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系，考查了函数与方程思想的应用解(1)由题设知 b 3，又ca12，所以 a2c，于是 a
28、24c2，又因为 a2b2c2，所以 b23c2，于是 c21，b23，a24，则椭圆 E 的方程为x24y231.(5 分)(2)设直线 CD 的方程为 xky1，C(x1，y1)，D(x2，y2)，与椭圆 E 的方程x24y231 联立得(3k24)y26ky90.y1y26k3k24，y1y293k24.(7 分)S 四边形 OCADSOCASODA122|y1|122|y2|y1y2|y1y224y1y212 k213k24 12t3t21 123t1t(其中 t k21，t1)(10 分)当 t1 时，y3t1t单调递增，3t1t4，S 四边形 OCAD3(当 k0 时取等号)，即四
29、边形 OCAD 面积的最大值为 3.(12 分)21(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)aln xxb(a0)(1)当 b2 时，讨论函数 f(x)的单调性；(2)当 ab0，b0 时，对任意的 x1e，e，恒有 f(x)e1 成立，求实数 b 的取值范围命题意图 本题主要利用导数研究函数的单调性问题和不等式恒成立问题考查分类讨论的思想和转化与化归的思想解(1)函数 f(x)的定义域为(0，)当 b2 时，f(x)aln xx2，所以 f(x)ax2x2x2ax.当 a0 时，f(x)0，所以函数 f(x)在(0，)上单调递增当 a0 时，令 f(x)0，解得 xa2(负值舍去)，当 0
30、 xa2时，f(x)0，所以函数 f(x)在0，a2 上单调递减；当 xa2时，f(x)0，所以函数 f(x)在a2，上单调递增(3 分)综上所述，当 b2，a0 时，函数 f(x)在(0，)上单调递增；当 b2，a0 时，函数 f(x)在0，a2 上单调递减，在a2，上单调递增(4 分)(2)因为对任意的 x1e，e，恒有 f(x)e1 成立，所以当 x1e，e时，f(x)maxe1.(5 分)当 ab0，b0 时，f(x)bln xxb，f(x)bx bxb1bxb1x.令 f(x)0，得 0 x1；令 f(x)0，得 x1.所以函数 f(x)在1e，1 上单调递减，在(1，e上单调递增，
31、f(x)max 为 f1e beb 与 f(e)beb 中的较大者(7 分)f(e)f1e ebeb2b，令 g(m)emem2m，则当 m0 时，g(m)emem22 emem20，所以 g(m)在(0，)上单调递增，故 g(m)g(0)0，所以 f(e)f1e，从而 f(x)maxf(e)beb.(9 分)所以bebe1，即 ebbe10.设(t)ette1(t0)，则(t)et10，所以(t)在(0，)上单调递增又(1)0，所以 ebbe10 的解集为(0,1所以 b 的取值范围为(0,1(12 分)(二)选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第
32、一题计分22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程已知曲线 C 的参数方程为xcos，ysin(为参数)，A(2,0)，P 为曲线 C 上的一动点(1)求动点 P 对应的参数从3变动到23 时，线段 AP 所扫过的图形面积；(2)若直线 AP 与曲线 C 的另一个交点为 Q，是否存在点 P，使得 P 为线段 AQ 的中点？若存在，求出点 P 坐标；若不存在，说明理由命题意图 本题第一问是考查圆的参数方程中参数的几何意义，即为一个旋转角，再运用平面几何知识进行计算；第二问是将圆的参数方程转化为普通方程，再运用圆的参数方程设出动点的坐标，最后代入圆的普通方程进行计算解(1)设 3时对
33、应的点为 M，23 时对应的点为 N，由题意，得 MNx 轴，则线段 AP 扫过的面积SAMNS 弓形SOMNS 弓形S 扇形 OMN121236.(5 分)(2)设 P(cos，sin)，A(2,0)，P 为线段 AQ 的中点，Q(2cos2,2sin)，Q 在曲线 C 上，曲线 C 的直角坐标方程为 x2y21，(2cos2)2(2sin)21，整理，得 8cos7，cos78，sin 1cos2 158，存在点 P 满足题意，且点的坐标为 P78，158.(10 分)23(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)2x2，g(x)|xa|.(1)若 a1，解不等式 f
34、(x)g(x)3；(2)若不等式 f(x)g(x)至少有一个负数解，求实数 a 的取值范围命题意图 本题考查绝对值不等式的相关计算，考查分类讨论思想、数形结合思想解(1)若 a1，则不等式 f(x)g(x)3 化为 2x2|x1|3.当 x1 时，2x2x13，即 x2x20，x122740 不成立；当 x1 时，2x2x13，即 x2x0，解得1x0.综上，不等式 f(x)g(x)3 的解集为x|1x0(5 分)(2)作出 yf(x)的图象如图所示，当 a0 时，g(x)的图象如折线所示，由yxa，y2x2得 x2xa20，若相切，则 14(a2)0，得a94，由数形结合，知当 a94时，不等式无负数解，则94a0.当 a0 时，满足 f(x)g(x)至少有一个负数解当 a0 时，g(x)的图象如折线所示，此时当 a2 时恰好无负数解，由数形结合，知当 a2 时，不等式无负数解，则 0a2.综上所述，若不等式 f(x)g(x)至少有一个负数解，则实数 a 的取值范围是94，2.(10 分)本课结束
