1、2022届山东平邑一中高三普通班开学考试高考数学模拟题一选择题（共8小题）1已知全集UR，集合Ax|x25x60时，Bx|ylg，则如图所示的Venn图中阴影部分表示的集合为（）A（3，1B（1，3C（1，3D3，62已知a为实数，复数z（a2）+ai（ i为虚数单位），复数z的共轭复数为，若z20，则1（）A12iB1+2iC2+iD2i3要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A，B，C三个班中，要求每个班至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为（）A6B12C24D364展开式中x的系数为（）A10B10C5D55如图，在平行四边形ABCD中，若，则+（）AB1CD6某地区为落实乡村振兴战略，帮助
2、农民脱贫致富，引入一种特色农产品种植，该农产品上市时间仅能维持5个月，预测上市初期和后期会因产品供应不足使价格持续上涨，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌经研究其价格模拟函数为f（t）t（t3）2+n，（0t5，其中t0表示5月1日，t1表示6月1日，以此类推），若f（2）6，为保护农户的经济效益，当地政府计划在价格下跌时积极拓宽外销，请你预测该农产品价格下跌的月份为（）A5月和6月B6月和7月C7月和8月D8月和9月7若exalnx+a对一切正实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）AB（，1C（，2D（，e8记无穷数列an的前n项a1，a2，an的最大项为An，第n项之后的各项an+1，a
3、n+2，的最小项为Bn，令bnAnBn，若数列an的通项公式为an2n27n+6，则数列bn的前10项和为（）A169B134C103D78二多选题（共4小题）9已知x，yR，且xy0，则下列说法错误的是（）A0Bsinxsiny0C（）x（）y0Dxlnxylny10已知函数f（x）2sinxsin2x，则下列结论正确的是（）Af（x）的周期为2Byf（x）的图象关于x对称Cf（x）的最大值为Df（x）在区间（）上单调递减11如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H则下列四个命题正确的是（）AAH垂直平面CB1D1BAH的延长线经过点C1C点H是
4、A1BD的垂心（三角形三条高的交点）D点H到平面A1B1C1D1的距离为12已知双曲线C：1（a0，b0）与双曲线：1有相同的渐近线，且过点P（6，4），F1，F2为双曲线C的左、右焦点，则下列说法正确的是（）A若双曲线C上一点M到它的焦点F1的距离等于16，则点M到另一个焦点F2的距离为10B过点（3，0）的直线l与双曲线C有唯一公共点，则直线l的方程为4x3y120C若N是双曲线C左支上的点，且|NF1|NF2|32，则F1NF2的面积为16D过点Q（2，2）的直线与双曲线1相交于A，B两点，且Q（2，2）为弦AB的中点，则直线AB的方程为4xy60三填空题（共4小题）13若函数f（x）有
5、最小值，则m的一个正整数取值可以为 14已知等差数列an的通项公式为an31tn（tZ），当且仅当n10时，数列an的前n项和Sn最大则当Sk10时，k 15已知函数，则f（x）+f（x） ；满足不等式f（a）+f（12a）4的实数a的取值范围为 16已知椭圆C：1（ab0）的左，右焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆上，且满足0，则椭圆C的离心率为 四解答题（共6小题）17在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是AC上的点，BM平分ABC，ABM的面积是BCM面积的2倍（1）求；（2）若cosB，b2，求ABC的面积18如图1，在ABV中，ACBCCV1，ACVB于C现将ABV
6、沿AC折叠，使VACB为直二面角（如图2），D是棱AB的中点，连接CD、VB、VD（1）证明：平面VAB平面VCD；（2）若棱AB上有一点E满足，求二面角CVEA的余弦值19某机构为研究考生物理成绩与数学成绩之间的关系，从一次考试中随机抽取11名考生的数据，统计如表：数学成绩x4665798999109110116123134140物理成绩y505460636668070737680（1）由表中数据可知，有一位考生因物理缺考导致数据出现异常，剔除该组数据后发现，考生物理成绩y与数学成绩x之间具有线性相关关系，请根据这10组数据建立y关于x的回归直线方程，并估计缺考考生如果参加物理考试可能取得的
7、成绩；（2）已知参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布N（，2），用剔除异常数据后的样本平均值作为的估计值，用剔除异常数据后的样本标准差作为的估计值，估计物理成绩不低于75分的人数Y的期望附：参考数据： 11106606858612042647700.31上表中的xi表示样本中第i名考生的数学成绩，yi表示样本中第i名考生的物理成绩，参考公式：对于一组数据：u1，u2，un，其方差：s2对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（un，vn），其回归直线u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，随机变量服从N（，2），则P（+）0.683，P（2+2）0.955，P（3+3）0.9
8、9720已知函数f（x），g（x）ax2lnxa （aR，e为自然对数的底数）（1）求f（x）的极值；（2）在区间（0，e上，对于任意的x0，总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）g（x2）f（x0），求a的取值范围21已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2且斜率不为0的直线与椭圆交于A，B两点，F1AF2的周长为（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，求的取值范围22已知等差数列an满足：a1+3，a3，a4成等差数列，且a1，a3，a8成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）在任意相邻两项ak与ak+1（k1，2，）之间插入2k个2，使它们和原数列的项构成一个新
9、的数列bn记Sn为数列bn的前n项和，求满足Sn500的n的最大值参考答案与试题解析一选择题（共8小题）1已知全集UR，集合Ax|x25x60时，Bx|ylg，则如图所示的Venn图中阴影部分表示的集合为（）A（3，1B（1，3C（1，3D3，6解：x25x60，1x6，A1，6，ylg，0，3x3，B（3，3），AB1，3），阴影部分表示的集合为3，6故选：D2已知a为实数，复数z（a2）+ai（ i为虚数单位），复数z的共轭复数为，若z20，则1（）A12iB1+2iC2+iD2i解：z20，则（a2）2a2+2a（a2）i0，即44a+2a（a2）i0，44a0，2a（a2）0，解得a2
10、z2i，则11（2i）1+2i，故选：B3要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A，B，C三个班中，要求每个班至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为（）A6B12C24D36解：根据题意，分2步进行分析：将甲、乙、丙、丁4名同学分为3组，有C426种分组方法，将甲所在的组分到A班，剩下2组安排到B、C班，有A222种情况，则有6212种分法，故选：B4展开式中x的系数为（）A10B10C5D5解：展开式中x的系数 5，故选：C5如图，在平行四边形ABCD中，若，则+（）AB1CD解：因为，所以，若，则+故选：D6某地区为落实乡村振兴战略，帮助农民脱贫致富，引入一种特色农产品种植，该农产品上市时间仅能
11、维持5个月，预测上市初期和后期会因产品供应不足使价格持续上涨，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌经研究其价格模拟函数为f（t）t（t3）2+n，（0t5，其中t0表示5月1日，t1表示6月1日，以此类推），若f（2）6，为保护农户的经济效益，当地政府计划在价格下跌时积极拓宽外销，请你预测该农产品价格下跌的月份为（）A5月和6月B6月和7月C7月和8月D8月和9月解：f（t）t（t3）2+n，f（2）6，f（2）2+n6，n4，f（t）t（t3）2+4，f（t）（t3）2+2t（t3）3（t1）（t3），令f（t）0得：1t3，f（t）在（1，3）上单调递减，t1表示6月1日，t2表示7月1日
12、，t3表示8月1日，该农产品价格下跌的月份为6月和7月，故选：B7若exalnx+a对一切正实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）AB（，1C（，2D（，e解：设f（x）exalnxa（x0），则f（x）0对一切正实数x恒成立，即f（x）min0，由，令，则恒成立，所以h（x）在（0，+）上为增函数，当x0时，h（x），当x+时，h（x）+，则在（0，+）上，存在x0使得h（x0）0，当0xx0时，h（x）0，当xx0时，h（x）0，故函数f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增，所以函数f（x）在xx0处取得最小值为f（x0），因为，即x0alnx0，所以恒成立，即，又，当
13、且仅当x0，即x01时取等号，故2a2，所以a1故选：B8记无穷数列an的前n项a1，a2，an的最大项为An，第n项之后的各项an+1，an+2，的最小项为Bn，令bnAnBn，若数列an的通项公式为an2n27n+6，则数列bn的前10项和为（）A169B134C103D78解：因为数列an的通项公式为an2n27n+6，所以an+1an2（n+1）27（n+1）+6（2n27n+6）4n5，当n2时，an+1an，所以数列an为单调递增；且a11，a20，即a1a2由题意知：b1A1B1101；b2A2B21a3；b3A3B3a3a4；b4A4B4a4a5；b5A5B5a5a6；b10A
14、10B10a10a11；所以数列bn的前10项和为：b1+b2+b3+b101+1a3+a3a4+a4a5+a5a6+a10a112a112（2112711+6）2171169故选：A二多选题（共4小题）9已知x，yR，且xy0，则下列说法错误的是（）A0Bsinxsiny0C（）x（）y0Dxlnxylny解：A选项，所以，A选项错误B选项，取x2，y，此时sinxsiny，B选项错误C选项，因为函数单调递减，所以，C选项正确D选项，设f（x）xlnx，则f（x）lnx+1，所以当时，f（x）单调递减，若，则xlnxylny，D选项错误故选：ABD10已知函数f（x）2sinxsin2x，则
15、下列结论正确的是（）Af（x）的周期为2Byf（x）的图象关于x对称Cf（x）的最大值为Df（x）在区间（）上单调递减解：对于A，f（x+2）2sin（x+2）sin2（x+2）2sinxsin2xf（x），选项A正确；对于B，f（x）2sin（x）sin2（x）2sinx+sin2xf（x），选项B错误；对于C，2为f（x）的一个周期，要求f（x）最大值，只需考虑x0，2的情况，f（x）2cosx2cos2x2（cosx2cos2x+1）2（2cosx+1）（cosx1），当x（0，）时，f（x）0，f（x）在x（0，）上单调递增，当x（）时，f（x）0，f（x）在x（）上单调递减，当x（）
16、时，f（x）0，f（x）在x（）上单调递增，又f（）2sinsin，f（2）2sin2sin40，f（x）的最大值为，选项C正确；对于D，当x（）时，f（x）0，f（x）在x（）上单调递减，选项D正确故选：ACD11如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H则下列四个命题正确的是（）AAH垂直平面CB1D1BAH的延长线经过点C1C点H是A1BD的垂心（三角形三条高的交点）D点H到平面A1B1C1D1的距离为解：对于A，平面A1BD与平面B1CD1平行，AH平面A1BD，AH垂直平面CB1D1，故A正确；对于B，连接AC1，由三垂线定理及线面垂直的判
17、定可得AC1面A1DB，再由过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条可得AH与AC1重合，可得B正确；对于C，ABAA1AD，BA1BDA1D，三棱锥 ABA1D为正三棱锥，点H是A1BD的垂心，故C正确；对于D，可得AC1平面A1BD，点H是AC1的与平面A1BD，由VV，可得AH，解得AH，则点H到平面A1B1C1D1的距离为，故D错故选：ABC12已知双曲线C：1（a0，b0）与双曲线：1有相同的渐近线，且过点P（6，4），F1，F2为双曲线C的左、右焦点，则下列说法正确的是（）A若双曲线C上一点M到它的焦点F1的距离等于16，则点M到另一个焦点F2的距离为10B过点（3，0）的直线l与双
18、曲线C有唯一公共点，则直线l的方程为4x3y120C若N是双曲线C左支上的点，且|NF1|NF2|32，则F1NF2的面积为16D过点Q（2，2）的直线与双曲线1相交于A，B两点，且Q（2，2）为弦AB的中点，则直线AB的方程为4xy60解：由题意设双曲线C的方程为，则（k0），将点P（6，）代入得（k0），解得k，双曲线C的方程为，则a3，b4，c5对于A，由双曲线的定义知，|MF1|MF2|2a，即|16|MF2|6，解得|MF2|10或22，故A错误；对于B，点（3，0）为双曲线的右顶点，过点（3，0）与双曲线C相切时，直线l与双曲线C有唯一公共点，直线l的方程为x3；当直线l与双曲线C
19、的渐近线平行时，直线与双曲线C有唯一公共点，此时直线l的斜率为，直线l的方程为y（x3），即4x3y120或4x+3y120，故B错误；对于C，N是双曲线C左支上的点，则|NF2|NF1|6，则，将|NF1|NF2|32代入，可得，即，可得F1NF2为直角三角形，故C正确；对于D，由题意得双曲线为，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式作差可得：，即，Q（2，2）为弦AB的中点，x1+x24，y1+y24，且直线AB的斜率存在，得直线AB的斜率，则直线AB的方程为4xy60，故D正确故选：CD三填空题（共4小题）13若函数f（x）有最小值，则m的一个正整数取值可以为 4（答案不唯一）解
20、：y2x22m在（，1）上单调递增，y2x22m2m；当x1时，y2x36x2，此时y6x212x6x（x2），y2x36x2在（1，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，y2x36x2在1，+）上的最小值为8若f（x）有最小值，则2m8，即m4即m的一个正整数取值可以为4（答案不唯一）故答案为：4（答案不唯一）14已知等差数列an的通项公式为an31tn（tZ），当且仅当n10时，数列an的前n项和Sn最大则当Sk10时，k20解：由题意可知，解得，又tZ，则t3，所以an313n，由，得3k259k200，解得k20或（舍），故k20故答案为：2015已知函数，则f（x）+f（x）4；满
21、足不等式f（a）+f（12a）4的实数a的取值范围为（1，+）解：根据题意，函数，则f（x）（x）x，则f（x）+f（x）4，设g（x）f（x）2，则g（x）x2x1，则f（x）+f（x）4，则f（x）2+f（x）20，即g（x）+g（x）0，函数g（x）为奇函数；g（x）x1，函数y2x为增函数，则g（x）在R上为减函数，f（a）+f（12a）4f（a）2f（12a）2g（a）g（12a）g（a）g（2a1），则有a2a1，解可得a1，即a的取值范围为（1，+）；故答案为：4，（1，+）16已知椭圆C：1（ab0）的左，右焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆上，且满足0，则椭圆C的离心率为解
22、：椭圆C：1（ab0）的左，右焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆上，且满足0，设BF1x，则AF12x，AF22a2x，BF22ax，在RTBAF2中，（2ax）2（3x）2+（2a2x）2，x，AF1，AF22a2x，RTF1AF2中，（）2+（）2（2c）2，5a29c2，e，故答案为：四解答题（共6小题）17在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是AC上的点，BM平分ABC，ABM的面积是BCM面积的2倍（1）求；（2）若cosB，b2，求ABC的面积解：（1）SABMABBMsinABM，SBCMBCBMsinMBC，因为SABM2SBCM，ABMMBC，所以AB2BC
23、，由正弦定理可得2（2）由于2，可得c2a，由余弦定理b2a2+c22accosB，又cosB，b2，所以4a2+4a24a2，所以a1，c2，又因为cosB，且0B，可得sinB，所以SABCacsinB18如图1，在ABV中，ACBCCV1，ACVB于C现将ABV沿AC折叠，使VACB为直二面角（如图2），D是棱AB的中点，连接CD、VB、VD（1）证明：平面VAB平面VCD；（2）若棱AB上有一点E满足，求二面角CVEA的余弦值【解答】（1）证明：在图2中，ACBC，D是AB的中点，CDAB又VACB为直二面角，VCAC，VC底面ABC而AB平面ABC，VCAB，且VCCDC，CD平面V
24、CDVC平面VCD因此AB平面VCD又AB平面VAB，平面VAB平面VCD（2）解：以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），V（0，0，1），因为，所以，那么设平面VCE的法向量，由得，p0由得，所以同理可以求得平面VAB的一个法向量于是又二面角CVEA为锐角，所以二面角CVEA的余弦值为19某机构为研究考生物理成绩与数学成绩之间的关系，从一次考试中随机抽取11名考生的数据，统计如表：数学成绩x4665798999109110116123134140物理成绩y5054606366680707376
25、80（1）由表中数据可知，有一位考生因物理缺考导致数据出现异常，剔除该组数据后发现，考生物理成绩y与数学成绩x之间具有线性相关关系，请根据这10组数据建立y关于x的回归直线方程，并估计缺考考生如果参加物理考试可能取得的成绩；（2）已知参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布N（，2），用剔除异常数据后的样本平均值作为的估计值，用剔除异常数据后的样本标准差作为的估计值，估计物理成绩不低于75分的人数Y的期望附：参考数据： 11106606858612042647700.31上表中的xi表示样本中第i名考生的数学成绩，yi表示样本中第i名考生的物理成绩，参考公式：对于一组数据：u1，u
26、2，un，其方差：s2对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（un，vn），其回归直线u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，随机变量服从N（，2），则P（+）0.683，P（2+2）0.955，P（3+3）0.997解：（1）设根据剔除后数据建立的y关于x的回归直线方程为x，剔除异常数据后的数学平均分为，剔除异常数据后的物理平均分为，则0.31，则660.3110035，所以所求回归直线方程为0.31x+35，又物理缺考考生的数学成绩为110，所以估计其可能取得的物理成绩为0.31110+3569.1；（2）由题意可知，66，因为，所以，所以参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正
27、态分布N（66，92），则物理成绩不低于75分的概率为，由题意可知，YB（10000，0.1585），所以物理成绩不低于75分的人数Y的期望为E（Y）100000.1585158520已知函数f（x），g（x）ax2lnxa （aR，e为自然对数的底数）（1）求f（x）的极值；（2）在区间（0，e上，对于任意的x0，总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）g（x2）f（x0），求a的取值范围解：（1）因为f（x），所以f（x），（2分）令f（x）0，得x1 （3分）当x（，1）时，f（x）0，f（x）是增函数；当x（1，+）时，f（x）0，f（x）是减函数所以f（x）在x1时取得极大值f（1
28、）1，无极小值 （5分）（2）由（1）知，当x（0，1）时，f（x）单调递增；当x（1，e时，f（x）单调递减又因为f（0）0，f（1）1，f（e）ee1e0，所以当x（0，e时，函数f（x）的值域为（0，1（7分）当a0时，g（x）2lnx在（0，e上单调，不合题意； （8分）当a0时，g（x），x（0，e，故必须满足0e，所以a （10分）此时，当x 变化时，g（x），g（x）的变化情况如下：x（0，） （，eg（x）0+g（x）单调减最小值单调增所以x0，g（x）+，g（）2a2ln，g（e）a（e1）2，所以对任意给定的x0（0，e，在区间（0，e上总存在两个不同的x1，x2使得g（x
29、1）g（x2）f（x0），当且仅当a满足下列条件，即，（13分）令m（a）2a2ln，a（，+），m（a），由m（a）0，得a2当a（2，+）时，m（a）0，函数m（a）单调递减；当a（，2）时，m（a）0，函数m（a）单调递增所以，对任意a（，+）有m（a）m（2）0，即2a2ln0对任意a（，+）恒成立由a（e1）21，解得a，综上所述，当a，+）时，对于任意给定的x0（0，e，在区间（0，e上总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）g（x2）f（x0） （16分）21已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2且斜率不为0的直线与椭圆交于A，B两点，F1AF2的周长为（1）求
30、椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，求的取值范围解：（1）由题意可得,解得a2,c,又因为b2a2c2431,所以椭圆C的方程为y21（2）因为F2(,0),设直线l的方程为xmy,A(x1,y1),B(x2,y2),由,得(m2+4)y2+2my10,所以y1+y2,y1y2,所以(x1+x2,y1+y2)(my1+my2+2,y1+y2),所以|2,令t(0,则36t2+3t,因为二次函数y36t2+3t在t(0,上显然单调递增，所以y36t2+3t(0,3,因为|2(0,2,当m0时，取得最大值,综上所述，|(0,222已知等差数列an满足：a1+3，a3，a4成等差数列，且a1，a3，
31、a8成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）在任意相邻两项ak与ak+1（k1，2，）之间插入2k个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列bn记Sn为数列bn的前n项和，求满足Sn500的n的最大值解：（1）设等差数列an的公差为d，由a1+3，a3，a4成等差数列，可得2a3a1+3+a4，即为2（a1+2d）2a1+3+3d，可得d3，a1，a3，a8成等比数列，可得a32a1a8，即为（a1+6）2a1（a1+21），解得a14，所以an4+3（n1）3n+1；（2）由于任意相邻两项ak与ak+1（k1，2，）之间有2k个2，当k6时，取an中前6项，以及（2+4+8+16+32+64）126个2，可得S1326（4+19）+1262321500；当k7时，取an中前7项，以及（2+4+8+16+32+64+128）254个2，可得S2617（4+22）+2542599500所以bn中前261项去掉倒数50个2，可得S211599100499则满足Sn500的n的最大值为211
