1、5.2 平面向量基本定理及坐标表示1平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量a，_一对实数1，2，使a_ 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.不共线有且只有1e12e22平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个_的向量，叫做把向量正交分解.3平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 互相垂直4平面向量共线的坐标表示 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_.x1y2x2y10【思考辨析】判 断 下 列 结 论 是 否 正 确(请 在 括 号 中 打“”
2、或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(4)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可表示成x1x2y1y2.()(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()1如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()Ae1与e1e2 Be12e2与e12e2 Ce1e2与e1e2De13e2与6e22e1
3、【解析】选项 A 中，设 e1e2e1，则1，10无解；选项 B 中，设 e12e2(e12e2)，则1，22无解；选项 C 中，设 e1e2(e1e2)，则1，1无解；选项 D 中，e13e212(6e22e1)，所以两向量是共线向量【答案】D 2(教材改编)已知向量a(2，4)，b(1，1)，则2ab等于()A(5，7)B(5，9)C(3，7)D(3，9)【解析】2ab2(2，4)(1，1)(3，9)，故选D.【答案】D 3已知点 A(0，1)，B(3，2)，向量AC(4，3)，则向量BC等于()A(7，4)B(7，4)C(1，4)D(1，4)【解析】AB(3，1)，AC(4，3)，BCA
4、CAB(4，3)(3，1)(7，4)【答案】A 4(2017山东高考)已知向量a(2，6)，b(1，)，若ab，则_【解析】ab，26(1)0，解得3.【答案】3题型一 平面向量基本定理的应用【例 1】在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F.若ACa，BD b，则AF等于()A.14a12b B.12a14bC.23a13bD.13a23b【解析】ACa，BD b，AD AO OD 12AC12BD 12a12b.E 是 OD 的中点，DEEB13，DF13AB.DF 13AB13(OB OA)1312BD 12AC
5、16AC16BD 16a16b，AFAD DF 12a12b16a16b 23a13b，故选 C.【答案】C【思维升华】平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决 跟踪训练 1 如图，在ABC 中，AN13NC，P 是 BN 上的一点，若APmAB 211AC，则实数 m 的值为_【解析】设BPkBN，kR.因为APABBPABkBN ABk(AN AB)ABk14ACAB (1k)A
6、Bk4AC，且APmAB 211AC，所以 1km，k4 211，解得 k 811，m 311.【答案】311题型二 平面向量的坐标运算【例 2】(1)已知 a(5，2)，b(4，3)，若 a2b3c0，则 c 等于()A.1，83B.133，83C.133，43D.133，43(2)已知向量a(1，2)，b(m，4)，且ab，则2ab等于()A(4，0)B(0，4)C(4，8)D(4，8)【解析】(1)由已知 3ca2b(5，2)(8，6)(13，4)所以 c133，43.(2)因为向量 a(1，2)，b(m，4)，且 ab，所以 142m0，即 m2，所以 2ab2(1，2)(2，4)(4
7、，8)【答案】(1)D(2)C【思维升华】向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则 跟踪训练 2(1)(2018东城模拟)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 cab(，R)，则 _(2)已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，2)，B(1，2)，C(3，1)，且BC2AD，则顶点 D 的坐标为()A.2，72B.2，12C(3，2)D(1，3)【解析】(1)以向量 a 和 b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为 1)，则 A(1，1)，B(
8、6，2)，C(5，1)，aAO(1，1)，bOB(6，2)，cBC(1，3)cab，(1，3)(1，1)(6，2)，即61，23，解得 2，12，4.(2)设 D(x，y)，AD(x，y2)，BC(4，3)，又BC2AD，42x，32（y2），x2，y72，故选 A.【答案】(1)4(2)A 题型三 向量共线的坐标表示 角度一 利用向量共线求向量或点的坐标【例3】已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为_【解析】方法一 由 O，P，B 三点共线，可设OP OB(4，4)，则APOP OA(44，4)又ACOC OA(2，6)，由AP与AC共线，得(44)64
9、(2)0，解得 34，所以OP 34OB(3，3)，所以点 P 的坐标为(3，3)方法二 设点 P(x，y)，则OP(x，y)，因为OB(4，4)，且OP与OB 共线，所以x4y4，即 xy.又AP(x4，y)，AC(2，6)，且AP与AC共线，所以(x4)6y(2)0，解得 xy3，所以点 P 的坐标为(3，3)【答案】(3，3)角度二 利用向量共线求参数【例 4】(2018郑州月考)已知向量 a(1sin ，1)，b12，1sin ，若 ab，则锐角 _【解析】由 ab，得(1sin)(1sin)12，所以 cos212，cos 22 或 cos 22，又 为锐角，45.【答案】45【思维
10、升华】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便(2)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量 跟踪训练 3(1)已知梯形 ABCD，其中 ABCD，且 DC2AB，三个顶点 A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点 D 的坐标为_(2)设OA(2，4)，OB(a，2)，OC(b，0)，a0，b0，O为坐标原
11、点，若A，B，C三点共线，则1a1b的最小值为_【解析】(1)在梯形 ABCD 中，ABCD，DC2AB，DC 2AB.设点 D 的坐标为(x，y)，则DC(4，2)(x，y)(4x，2y)，AB(2，1)(1，2)(1，1)，(4x，2y)2(1，1)，即(4x，2y)(2，2)，4x2，2y2，解得x2，y4，故点 D 的坐标为(2，4)(2)由已知得AB(a2，2)，AC(b2，4)，又ABAC，所以(a2，2)(b2，4)，即a2（b2），24，整理得 2ab2，所以1a1b12(2ab)1a1b 1232ab ba 1232 2ab ba32 22(当且仅当 b 2a 时，等号成立)【答案】(1)(2，4)(2)32 22
