1、2017-2018学年广东省惠州市惠阳高级中学高三（上）9月月考数学试卷（文科）一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）已知集合A=x|x0，B=x|1x2，则AB=（）Ax|x1Bx|x2Cx|0x2Dx|1x22（5分）函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（）A（，+）B（，1）C（，）D（，）3（5分）设复数z1=13i，z2=32i，则在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4（5分）下列命题中的假命题是（）AxR，log2x=0BxR，x20CxR，cosx=1DxR，2x05（5分）已知平面向量=（1，2），=（4，m），且，则向量
2、53=（）A（7，16）B（7，34）C（7，4）D（7，14）6（5分）函数f（x）=ex+x2的零点所在的一个区间是（）A（2，1）B（1，0）C（0，1）D（1，2）7（5分）椭圆+=1的离心率是（）ABCD8（5分）有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间10，12内的频数为（）A18B36C54D729（5分）执行如图所示的程序，则输出的i的值为（）A2B3C4D510（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A1B3C5D911（5分）已知F是双曲线C：x2=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3
3、），则APF的面积为（）ABCD12（5分）已知函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f（x），则f（x）+的解集为（）Ax|1x1Bx|x1Cx|x1或x1Dx|x1二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）= 14（5分）已知倾斜角为的直线l与直线x+2y3=0垂直，则= 15（5分）函数f（x）=x3+ax2+3x9，已知f（x）在x=3时取得极值，则a= 16（5分）若数列an的前n项和为Sn=2n2n，则数列an= 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（12分）已知向量=（2sinx，），=（cosx，cos2x），f（x）=+1，（）求
4、的值（）求f（x）的最小正周期及单调递增区间18（12分）某志愿者到某山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班40名学生进行了一次幸福指数的调查问卷，并用茎叶图表示如图（注：图中幸福指数低于70，说明孩子幸福感弱；幸福指数不低于70，说明孩子幸福感强）（）根据茎叶图中的数据完成22列联表，并判断能否有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否是留守儿童有关？幸福感强幸福感弱总计留守儿童非留守儿童总计（）从15个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样，共抽取5人，又在这5人中随机抽取2人进行家访，求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率附：22列联表随机变量P（K2k）与k对应值表：P（K2k）0
5、.150.100.050.0250.0100.005k2.0722.7063.8415.0246.6357.87919（12分）已知an是等差数列，Sn数列an的前n项和，且a2+a3=5，S5=15，bn是各项均为正数的等比数列，b1=a1，b3=a4（）求数列an，bn的通项公式；（）设cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn20（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+c2=b2+ac（1）求B的大小；（2）求cosA+cosC的最大值21（12分）已知函数f（x）=lnx（aR，a0）（1）当a=1时，讨论f（x）在定义域上的单调性；（2）若f（x）在区间1，
6、e上的最小值是，求实数a的值选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：=4cos（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，求|PQ|的值2017-2018学年广东省惠州市惠阳高级中学高三（上）9月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）已知集合A=x|x0，B=x|1x2，则AB=（）Ax|x1Bx|x2Cx|0x2Dx|1x2【分析】根据并集的求法，做出数轴，求解即可【
7、解答】解：根据题意，作图可得，则AB=x|x1，故选A【点评】本题考查集合的运算，要结合数轴发现集合间的关系，进而求解2（5分）函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（）A（，+）B（，1）C（，）D（，）【分析】依题意可知要使函数有意义需要1x0且3x+10，进而可求得x的范围【解答】解：要使函数有意义需，解得x1故选B【点评】本题主要考查了对数函数的定义域属基础题3（5分）设复数z1=13i，z2=32i，则在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】根据复数的除法将化成a+bi的形式然后再利用复数与坐标平面的点的对应可知有序数对（a，b）即为在复平面内对应
8、的点【解答】解：z1=13i，z2=32i=+（）i在复平面内对应的点为（，）且此点为第四象限故选D【点评】本题主要考察了复数的除法运算，属常考题，较易解题的关键是熟记复数的除法运算法则即分子分母同时除以分母的共轭复数，同时此题也考察了复数与坐标平面的点的对应！4（5分）下列命题中的假命题是（）AxR，log2x=0BxR，x20CxR，cosx=1DxR，2x0【分析】根据取特殊值以及函数的性质分别判断即可【解答】解：对于A，令x=1，成立，对于B，x=0时，不成立，对于C，令x=0，成立，对于D，根据指数函数的性质，成立，故选：B【点评】本题考查了特称命题和全称命题，考查常见函数的性质，是
9、一道基础题5（5分）已知平面向量=（1，2），=（4，m），且，则向量53=（）A（7，16）B（7，34）C（7，4）D（7，14）【分析】利用向量垂直与数量积的关系即可得出【解答】解：，解得m=2，=（5，10）（12，6）=（7，16）故选A【点评】熟练掌握向量垂直与数量积的关系是解题的关键6（5分）函数f（x）=ex+x2的零点所在的一个区间是（）A（2，1）B（1，0）C（0，1）D（1，2）【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）f（b）0（a，b为区间两端点）的为答案【解答】解：因为f（0）=10，f（1）=e10，所以零点在区间（0，1）上，故选C【点评】本题考
10、查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解7（5分）椭圆+=1的离心率是（）ABCD【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可【解答】解：椭圆+=1，可得a=3，b=2，则c=，所以椭圆的离心率为：=故选：B【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力8（5分）有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间10，12内的频数为（）A18B36C54D72【分析】从直方图得出数据落在10，12）外的频率后，再根据所求频率和为1求出落在10，12）外的频率，再由频率=，计算频数
11、即得【解答】解：观察直方图易得数据落在10，12）的频率=（0.02+0.05+0.15+0.19）2=0.82；数据落在10，12）外的频率=10.82=0.18；样本数落在10，12）内的频数为2000.18=36，故选：B【点评】本题考查读频率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，同时考查频率、频数的关系：频率=9（5分）执行如图所示的程序，则输出的i的值为（）A2B3C4D5【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=0时满足条件S1，退出循环，输出i的值为4【解答】解：模拟执行程序，可得S=10，i=0执行一次循环体后，i=1，S=9不满足条件S1，再次执
12、行循环体后，i=2，S=7不满足条件S1，再次执行循环体后，i=3，S=4不满足条件S1，再次执行循环体后，i=4，S=0满足条件S1，退出循环，输出i的值为4故选：C【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题10（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A1B3C5D9【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可【解答】解：x，y满足的可行域如图：由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由，可得A（3，3），目标函数的最大值为：3+23=9故选：D【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域
13、判断目标函数的最优解是解题的关键11（5分）已知F是双曲线C：x2=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则APF的面积为（）ABCD【分析】由题意求得双曲线的右焦点F（2，0），由PF与x轴垂直，代入即可求得P点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得APF的面积【解答】解：由双曲线C：x2=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y0，则y=3，则P（2，3），APPF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，APF的面积S=丨AP丨丨PF丨=，同理当y0时，则APF的面积S=，故选D【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，考查数形结合思想，属于基础题12（5分
14、）已知函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f（x），则f（x）+的解集为（）Ax|1x1Bx|x1Cx|x1或x1Dx|x1【分析】先把不等式移项并设（x）=f（x），然后求出导函数（x）又因为函数，所以（x）0即（x）是减函数由f（1）=1求出（1）=0，根据函数是减函数得到的解集即可【解答】解：，则，（x）在R上是减函数，的解集为x|x1故选D【点评】此题考查了导数的运算，函数单调性的应用，以及利用导数研究函数的增减性二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）=【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值，即可得到所求式子的值【解
15、答】解：cos2sin2=cos（2）=cos=故答案为：【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键14（5分）已知倾斜角为的直线l与直线x+2y3=0垂直，则=【分析】由直线垂直的性质求出tan=2，由此利用同角三角函数关系式能求出的值【解答】解：倾斜角为的直线l与直线x+2y3=0垂直，tan=2，=故答案为：【点评】本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用15（5分）函数f（x）=x3+ax2+3x9，已知f（x）在x=3时取得极值，则a=5【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）在x=3时取得极值
16、，可以得到f（3）=0，代入求a值【解答】解：对函数求导可得，f（x）=3x2+2ax+3f（x）在x=3时取得极值 f（3）=027+6a+3=0a=5，验证知，符合题意故答案为：5【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的性质属基础题比较容易，要求考生只要熟练掌握基本概念，即可解决问题16（5分）若数列an的前n项和为Sn=2n2n，则数列an=4n3【分析】由已知条件通过an=SnSn1，由此能求出数列的通项公式【解答】解：数列an的前n项和Sn=2n2n，a1=S1=21=1，当n2时，SnSn1=（2n2n）2（n1）2（n1）=4n3，当n=1时，4n3=1=S1，an=4n3故答案
17、为：4n3【点评】本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（12分）已知向量=（2sinx，），=（cosx，cos2x），f（x）=+1，（）求的值（）求f（x）的最小正周期及单调递增区间【分析】（）利用平面向量的数量积的坐标运算及三角函数中的恒等变换应用可求得f（x）=2sin（2x+）+1，代值计算即可，（）根据正弦函数的性质即可求出【解答】解：（）f（x）=+1=2sinxcosx+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，f（）=2sin（2+）+1=2sin
18、+1=1，（）T=，当+2k2x+2k时，kZ时，函数单调递增，解得+kx+k，kZ，单调递增区间为+k，+k，kZ【点评】本题考查平面向量的数量积的坐标运算及三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的图象与性质，属于中档题18（12分）某志愿者到某山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班40名学生进行了一次幸福指数的调查问卷，并用茎叶图表示如图（注：图中幸福指数低于70，说明孩子幸福感弱；幸福指数不低于70，说明孩子幸福感强）（）根据茎叶图中的数据完成22列联表，并判断能否有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否是留守儿童有关？幸福感强幸福感弱总计留守儿童非留守儿童总计（）从15
19、个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样，共抽取5人，又在这5人中随机抽取2人进行家访，求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率附：22列联表随机变量P（K2k）与k对应值表：P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.005k2.0722.7063.8415.0246.6357.879【分析】（）根据题意，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（）按分层抽样法抽出数据，利用列表法求出基本事件数，计算所求的概率值【解答】解：（）根据题意，填写列联表如下：幸福感强幸福感弱总计留守儿童6915非留守儿童18725总计241640（2分）计算，（4分）有95%的把握认为孩子的幸福感强与
20、是否是留守儿童有关（6分）（）按分层抽样的方法可抽出幸福感强的孩子2人，记作：a1，a2；幸福感弱的孩子3人，记作：b1，b2，b3（8分）“抽取2人”包含的基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共10个； （9分）事件A：“恰有一人幸福感强”包含的基本事件有（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3）共6个； （10分）故所求的概率为（12分）【点评】本题考查了列联表与独立性检验问题，也考查了列举法求古典概型的概率
21、问题，是基础题19（12分）已知an是等差数列，Sn数列an的前n项和，且a2+a3=5，S5=15，bn是各项均为正数的等比数列，b1=a1，b3=a4（）求数列an，bn的通项公式；（）设cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn【分析】（）利用已知条件求出等差数列的公差等比数列的公比，然后求解通项公式（）利用错位相减法求解数列的和即可【解答】解：（）设数列an的公差为d，数列bn的公比为q，且a2+a3=5，S5=15，依题意得解得d=1，a1=1，所以 an=1+（n1）=n，（3分）又b1=1，b3=b1q2=q2=4，因为 q0，所以q=2，（6分）（）由（）知，则322+n2n1（
22、7分）2Tn=121+222+（n1）2n1+n2n（8分）得：+12n1n2n（10分）=（1n）2n1（12分）所以【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力20（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+c2=b2+ac（1）求B的大小；（2）求cosA+cosC的最大值【分析】（1）利用余弦定理即可求出（2）利用三角形内角和定理结合三角函数的有界限求解最大值【解答】解：（1）由题意，a2+c2=b2+ac余弦定理：cosB=0BB=，（2）A+B+C=，B=，则C=那么：cosA+cosC=cosA+cos（）=sin（A+）A+当
23、A=时，取得最大值为1即cosA+cosC的最大值1【点评】本题考查了三角函数性质的运用和余弦定理，三角形内角和定理的计算21（12分）已知函数f（x）=lnx（aR，a0）（1）当a=1时，讨论f（x）在定义域上的单调性；（2）若f（x）在区间1，e上的最小值是，求实数a的值【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数f（x），在函数的定义域内解不等式f（x）0和f（x）0；（2）这是一道求函数的最值的逆向思维问题本题的关键是比较极值和端点处的函数值的大小，列表解题一目了然，从而确定出a的值【解答】解：（1）当a=1时，x0，f（x）在区间（0，1）上递减，在区间（1，+）上递增（6分）（2）
24、由已知，当a1时，而x1，x+aa+10，f（x）在1，e上递增，于是，有不成立（8分）当ae时，而xe，x+ae+a0，f（x）在1，e上递减，于是，有不成立（10分）当ea1时，在区间1，a上，a+1x+a0，则f（x）0，f（x）递减，在区间（a，e上，0x+aa+e，则f（x）0，f（x）递增，（12分）综上所述得：实数【点评】本题考查了利用导数就函数的单调区间，以及求函数的最值的逆向思维问题选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：=4cos（1）写出曲线C的直角坐
25、标方程和直线l的普通方程；（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，求|PQ|的值【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的对于关系即可得出曲线C的方程；对直线l的参数方程消参数可得直线l的普通方程；（2）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得出关于参数t的一元二次方程，利用参数的几何意义和根与系数的关系计算|PQ|【解答】解：（1）=4cos2=4cos，2=x2+y2，cos=x，x2+y2=4x，所以曲线C的直角坐标方程为（x2）2+y2=4，由（t为参数）消去t得：所以直线l的普通方程为（2）把代入x2+y2=4x得：t23t+5=0设其两根分别为t1，t2，则t1+t2=3，t1t2=5所以|PQ|=|t1t2|=【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于中档题
