1、课后限时集训(五十三)直线与椭圆建议用时：40分钟一、选择题1直线yx2与椭圆1有两个公共点，则m的取值范围是()A(1，)B(1,3)(3，)C(3，)D(0,3)(3，)B由得(3m)x24mxm0，由题意可知解得又m0，且m3，m1且m3.故选B.2过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B. C. D.B由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y2x2.联立 解得交点坐标为(0，2)，不妨设A点的纵坐标yA2，B点的纵坐标yB，SOAB|OF|yAyB|1.3(2020沙坪坝区校级模拟)已知椭圆C：1，过点P
2、(2,1)的直线交椭圆于A，B两点，若P为线段AB中点，则|AB|()A. B. C. D.D设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，x1x24，y1y22，由两式相减得：0，化简得：1，直线AB的斜率为1，又直线AB过点P(2,1)，直线AB的方程为：y1(x2)，即yx3，联立方程消去y得3x212x100，x1x24，x1x2，|AB|，故选D.4已知椭圆C：1(ab0)与直线yx3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1B将直线方程yx3代入C的方程并整理得(a2b2)x26a2x9a2a2b20，由椭圆与直线只有一个公共点得，(6a2)24
3、(a2b2)(9a2a2b2)0，化简得a2b29，则，解得a25，b24，所以椭圆的方程为1.5直线l过椭圆y21的左焦点F，且与椭圆交于P，Q两点，M为PQ的中点，O为原点，若FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为()A.B C DB由y21，得a22，b21，所以c2a2b2211，则c1，则左焦点F(1,0)由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，设直线l的方程为ykxk.设l与椭圆交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得(2k21)x24k2x2k220.则PQ的中点M的横坐标为.因为FMO是以OF为底边的等腰三角形，所以，解得k.6倾斜角为的直线经过椭圆1(ab
4、0)的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且2，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.B由题意可知，直线的方程为yxc，与椭圆方程联立得(b2a2)y22b2cyb40，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又2，(cx1，y1)2(x2c，y2)，y12y2，可得，e，故选B.二、填空题7过椭圆C：1的左焦点F作倾斜角为60的直线l与椭圆C交于A，B两点，则等于_由题意可知F(1,0)，故l的方程为y(x1)由得5x28x0，x0或.A(0，)，B.又F(1,0)，|AF|2，|BF|，.8(2020碑林区一模)在平面直角坐标系中，动点P在
5、椭圆C：1上运动，则点P到直线xy50的距离的最大值为_5设P(4cos ，3sin )，02，点P到直线xy50的距离为d，所以dmax5.9已知椭圆1(ab0)的一条弦所在的直线方程是xy50，弦的中点坐标是M(4,1)，则椭圆的离心率为_设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yMxM，代入k1，M(4，1)，解得，e.三、解答题10设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求椭圆C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1
6、N|，求a，b的值解(1)易知M，由得2b23ac，故2(a2c2)3ac，解得，2(舍去). 故椭圆的离心率为.(2)由题意，原点O为F1F2的中点， MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点故4，即b24a.由|MN|5|F1N|，得|DF1|2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y10，则即代入C的方程，得1.将及c代入得1.解得a7，b24a28.故a7，b2.11(2020汨罗市一模)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：ykxm(k0)与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点(1,
7、0)，求实数k的取值范围解(1)由题意可知解得故椭圆C的标准方程为y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将ykxm代入椭圆方程，消去y得(14k2)x28kmx4m240，所以(8km)24(14k2)(4m24)0，即m24k21，由根与系数关系得x1x2，则y1y2， 所以线段MN的中点P的坐标为.又线段MN的垂直平分线l的方程为y(x1)，由点P在直线l上，得，即4k23km10，所以m(4k21)，由得4k21，4k210，4k219k2，所以k2，即k或k，所以实数k的取值范围是.1.(2020襄阳模拟)如图，已知椭圆C：1(ab0)，斜率为1的直线与椭圆C相交于A，B
8、两点，平行四边形OAMB(O为坐标原点)的对角线OM的斜率为，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.B设lAB方程yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，由得(a2b2)x22ma2xa2m2a2b20，又由平行四边形OAMB可知：x0x1x2，y0，故kOM，所以离心率e，故选B.2已知椭圆C：x21，直线l：yxm，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是()A. B.C. D.C设椭圆x21上存在关于直线yxm对称的两点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，根据对称性可知线段MN被直线yxm垂直平分，且MN的中点T(x0，y0)在直线yxm上，且kMN
9、1，故可设直线MN的方程为yxn，联立整理可得3x22nxn220，所以x1x2，y1y22n(x1x2)2n，由4n212(n22)0，可得n，所以x0，y0，因为MN的中点T(x0，y0)在直线yxm上，所以m，m，m，故选C.3已知椭圆C的两个焦点为F1(1，0)，F2(1,0)，且经过点E.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若2，求直线l的斜率k的值解(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，由解得所以椭圆C的标准方程为1.(2)由题意得直线l的方程为yk(x1)(k0)，联立整理得y2y90，则1440，设A(x1，y1)，B(x2，
10、y2)，则y1y2，y1y2，又2，所以y12y2，所以y1y22(y1y2)2，则34k28，解得k，又k0，所以k.1(2020湖州模拟)已知直线xmy2(mR)与椭圆1相交于A，B两点，则|AB|的最小值为_；若|AB|，则实数m的值是_1易知直线xmy2恒过点(2,0)，而点(2,0)恰为椭圆1的右焦点，则|AB|的最小值即为通径长，联立，消去x得，(5m29)y220my250，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，则|AB|，解得m1.2已知椭圆C：1(ab0)过点P(2，)，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形(1)求椭圆C的方程；(2)过(0，
11、1)的直线l交椭圆于A，B两点，试问：是否存在一个定点T，使得以线段AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由解(1)因为椭圆C的两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以ab.所以椭圆C的方程为1.又椭圆C经过点P(2，)，代入椭圆方程得b3.所以a3.故所求椭圆方程为1.(2)由已知动直线l过(0，1)点当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程为x2(y1)216；当l与y轴重合时，以AB为直径的圆的方程为x2y29.所以两圆相切于点(0,3)，即两圆只有一个公共点因此，所求点T如果存在，只能是点(0,3)以下证明以AB为直径的圆恒过点T(0,3)当l与x轴垂直时，以AB为直径的圆过点T(0,3)当l与x轴不垂直时，设l：ykx1.由得(2k21)x24kx160.由(0，1)在椭圆内部知0成立设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.又(x1，y13)，(x2，y23)，所以x1x2(y13)(y23)x1x2(kx14)(kx24)(1k2)x1x24k(x1x2)16(1k2)4k160.所以TATB，即以AB为直径的圆恒过点T(0,3)所以存在一个定点T(0,3)满足条件.
