1、9.3 向量基本定理及坐标表示 9.3.1 平面向量基本定理 第9章 平面向量 学 习 任 务核 心 素 养 1理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义(重点)2在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量(重点)3会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题(难点)通过平面向量基本定理的推导与应用，培养逻辑推理与数学运算素养 情境导学探新知 NO.1知识点1知识点2 火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度，在力的分解的平行四边形法则中，我们看到一个力可以分解为两个不共线方向的力的和 问题：平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢？
2、知识点 1 平面向量基本定理(1)定理：如果 e1，e2 是同一平面内两个_的向量，那么对于这一平面内的_向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a_(2)基底：两个_的向量 e1，e2 叫作这个平面的一组_ 不共线任一1e12e2不共线基底如果 e1，e2 是两个不共线的确定向量，那么与 e1，e2 在同一平面内的任一向量 a 能否用 e1，e2 表示？依据是什么？提示 能依据是数乘向量和平行四边形法则 1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)同一平面内只有不共线的两个向量可以作为基底()(2)0 能与另外一个向量 a 构成基底()(3)平面向量的基底不是唯一的()提示 平面内任意一对
3、不共线的向量都可以作为基底，故(2)是错误的(1)，(3)正确 答案(1)(2)(3)2已知向量 a 与 b 是一组基底，实数 x，y 满足(3x4y)a(2x3y)b6a3b，则 xy_ 3 由原式可得3x4y6，2x3y3，解得x6，y3，所以 xy3 知识点 2 平面向量的正交分解 由平面向量基本定理知，平面内任一向量 a 可以用一组基底 e1，e2 表示成 a1e12e2 的形式我们称 1e12e2 为向量 a 的分解当e1，e2 所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量 a 的正交分解 3如图，若|e1|e2|1，且 e1e20 则 a_，b_(用向量 e1，e2 表示)答案 e112
4、e2 e13e2合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 对向量基底的理解【例 1】如果 e1，e2 是平面 内所有向量的一组基底，则下列说法正确的是()A若实数 1，2，使 1e12e20，则 120 B空间任一向量 a 可以表示为 a1e12e2，这里 1，2 为实数 C对实数 1，2，1e12e2 不一定在该平面内 D对平面内任一向量 a，使 a1e12e2 的实数 1，2 有无数对 A 平面 内任一向量都可写成 e1 与 e2 的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故 B 不正确；对任意实数 1，2，向量 1e12e2一定在平面 内，故 C 不正确；而对平面 内的任一向
5、量 a，实数 1，2 是唯一的，故 D 不正确 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来跟进训练 1若向量 a，b 不共线，且 c2ab，d3a2b，试判断 c，d能否作为基底 解 设存在实数 使得 cd，则 2ab(3a2b)，即(23)a(21)b0 由于 a，b 不共线，从而 23210，这样的 是不存在的，从而 c，d 不共线，故 c，d 能作为基底 类型 2 用基底表示向量【例 2】如图所示，在ABC 中，点 M 是 AB 的中点，且AN12NC，BN 与 CM 相交于点 E，设ABa
6、，ACb，试用基底 a，b 表示向量AE 解 法一：由已知，在ABC 中，AM MB，且AN12NC，已知 BN 与 CM 交于点 E，过 N 作 AB 的平行线，交 CM 于 D，如图所示 在ACM 中，CNCANDAM23，所以NDMBNEEBDEEM23，所以NE25NB，AEANNE13AC25NB 13AC25(NAAB)13AC2513ACAB 25AB15AC25a15b 法二：易得AN13AC13b，AM 12AB12a，由 N，E，B 三点共线知存在实数 m，满足 AEmAN(1m)AB13mb(1m)a 由 C，E，M 三点共线知存在实数 n，满足 AEnAM(1n)AC1
7、2na(1n)b 所以13mb(1m)a12na(1n)b 因为 a，b 为基底，所以1m12n，13m1n，解得m35，n45，所以AE25a15b 将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直到用基底表示为止；另一种是通过列向量方程，利用基底表示向量的唯一性求解.跟进训练 2如图所示，已知ABCD 的边 BC，CD 上的中点分别为 K，L，且AKe1，ALe2，试用 e1，e2 表示BC，CD 解 设ABa，AD b，则 由ALAD DL，AKABBK，得e2b12a，e1a12b，a232e1e2，b232e2e1，ABC
8、D 23(2e1e2)，CD 23e243e1；BCAD 43e223e1 类型 3 平面向量基本定理与向量共线定理的应用【例 3】如图，在ABC 中，点 M 是 BC 的中点，N 在 AC 上且 AN2NC，AM 与 BN 交于点 P，求 APPM 的值 解 设ABa，ACb，则AM 12(ab)，BNa23b A，P，M 共线，设APAM，AP2(ab)同理设BPBN，BPa23b ABAPPB，a2(ab)a23b，12 a223 b a 与 b 不共线，21，223，45，35，AP45AM，BP35BN，APPM41 1充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注意方程思想的
9、应用2用基底表示向量也是用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握 跟进训练 3如图，平行四边形 ABCD 中，H 为 CD 的中点，且 AH 与 BD交于 I，求 AIIH 的值 解 设ABa，AD b，则AH 12ab，DB ab 设AIAH，DIDB，AI12ab 2ab，又AIAD DIb(ab)a(1)b，故2，1，321，23 AIIH21 当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 1下列关于基底的说法正确的是()平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；基底中的向量可以是零向量；平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的 A B C D
10、A 零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故错，正确 1 2 3 4 5 2(多选题)设 e1，e2 是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的是()Ae1e2 和 e1e2B3e14e2 和 6e18e2 Ce12e2 和 2e1e2De1 和 e1e2 ACD B 中，6e18e22(3e14e2)，(6e18e2)(3e14e2)，3e14e2 和 6e18e2 不能作为基底故选 ACD 1 2 3 4 5 3如图，在矩形 ABCD 中，若BC5e1，DC 3e2，则OC()A12(5e13e2)B12(5e13e2)C12(3e25e1)D12(5e23e
11、1)1 2 3 4 5 A 法一：BC5e1，DC 3e2，OC OB 5e1OD 3e2 OC 12(5e13e2)，故选 A 法二：ACAD DC BCDC 5e13e2，又AC2OC，OC 12(5e13e2)，故选 A 1 2 3 4 5 4设一直线上三点 A，B，P 满足APmPB(m1)，O 是直线所在平面内一点，则OP 用OA，OB 表示为_ OP 1m1OA m1mOB 由APmPB，得OP OA m(OB OP)，OP mOP OA mOB，OP OA mOB1m1m1OA m1m OB 5 1 2 3 4 5在AOB 中，AC15AB，D 为 OB 的中点，若DC OA O
12、B，则 的值为_ 625 因为AC15AB，所以AC15(OB OA)，因为 D 为 OB 的中点，所以OD 12OB，5 1 2 3 4 所以DC DO OC 12OB(OA AC)12OB OA 15(OBOA)45OA 310OB，所以 45，310，则 的值为 625 回顾本节知识，自我完成以下问题：1平面内的任一向量都可以表示成两个不共线向量的线性组合吗？提示 是的 2若 e1，e2 不共线，且 e1e20，则，满足什么关系？提示 0 3一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力 G，可分解为使物体沿斜面下滑的力 F1 和使物体垂直作用于斜面的力 F2类比力的分解，平面内任一向量能否用互相垂直的两向量表示？提示 能，互相垂直的两向量可以作为一组基底 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
