1、第8讲 选修4系列 第1课时 坐标系与参数方程 题型2 解答题 规范踩点 多得分考情分析 坐标系与参数方程是高考选考内容之一，要求考查：一是直线与圆的极坐标方程，以及极坐标与直角坐标的互化；二是直线、圆与圆锥曲线的参数方程，以及参数方程与普通方程的互化1 热点题型分析 PART ONE 热点 1 极坐标方程1圆的极坐标方程若圆心为 M(0，0)，半径为 r，则圆的极坐标方程为 220cos(0)20r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为 r 时，r；(2)当圆心为 M(a,0)，半径为 a 时，2acos；(3)当圆心为 Ma，2，半径为 a 时，2asin.2直线
2、的极坐标方程若直线过点 M(0，0)，且极轴与此直线所成的角为，则此直线的极坐标方程为 sin()0sin(0)几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：0 和 0；(2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：cosa；(3)直线过点 Mb，2，且平行于极轴：sinb.(2019全国卷)在极坐标系中，O 为极点，点 M(0，0)(00)在曲线 C：4sin 上，直线 l 过点 A(4,0)且与 OM 垂直，垂足为 P.(1)当 03时，求 0 及 l 的极坐标方程；(2)当 M 在曲线 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程解(1)因为 M(0，0)在曲线 C
3、上，当 03时，04sin32 3.由已知，得|OP|OA|cos32.设 Q(，)为 l 上除 P 外的任意一点在 RtOPQ 中，cos3|OP|2.经检验，点 P2，3 在曲线 cos3 2 上，所以 l 的极坐标方程为 cos3 2.(2)设 P(，)，在 RtOAP 中，|OP|OA|cos4cos，即 4cos.因为 P 在线段 OM 上，且 APOM，所以 的取值范围是4，2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为 4cos，4，2.1直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式 xcos 和 ysin直接带入并化简即可2极坐标方程化为直角坐标时常通过变形，构造形如 cos，sin，2的形式
4、，进行整体代换其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意变形过程的检验(2018江苏高考)在极坐标系中，直线 l 的方程为 sin6 2，曲线 C的方程为 4cos，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长解 因为曲线 C 的极坐标方程为 4cos，所以曲线 C 是以直角坐标(2,0)为圆心，直径为 4 的圆因为直线 l 的极坐标方程为sin6 2，则直线 l 过 A(4,0)(直角坐标)，倾斜角为6，所以 A 为直线l 与圆 C 的一个交点设另一个交点为 B，则OAB6.连接 OB，因为 OA为直径，从而OBA2，所以 AB4cos6
5、2 3.因此，直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 2 3.热点 2 参数方程1直线的参数方程经过点 P0(x0，y0)，且倾斜角为 的直线的参数方程为xx0tcos，yy0tsin(t为参数)t 的几何意义是直线上的点 P 到点 P0(x0，y0)的数量，即|t|PP0|(t可正、可负、可零)若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则|M1M2|t1t2|；线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为t1t22.2圆的参数方程圆(xa)2(yb)2r2 的参数方程为xarcos，ybrsin(为参数)3椭圆的参数方程椭圆x2a2y2b21(ab0)的参数方程为xacos，
6、ybsin(为参数)；椭圆y2a2x2b21(ab0)的参数方程为xbcos，yasin(为参数)(2018全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中，O 的参数方程为xcos，ysin(为参数)，过点(0，2)且倾斜角为 的直线 l 与O 交于 A，B 两点(1)求 的取值范围；(2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程解(1)O 的直角坐标方程为 x2y21.当 2时，l 与O 交于两点当 2时，记 tank，则 l 的方程为 ykx 2.l 与O 交于两点当且仅当21k2 1，解得 k1，即 4，2 或 2，34.综上，的取值范围是4，34.(2)l 的参数方程为xtcos，y 2tsint为
7、参数，434.设 A，B，P 对应的参数分别为 tA，tB，tP，则 tPtAtB2，且 tA，tB 满足 t22 2tsin10.于是 tAtB2 2sin，tP 2sin.又点 P 的坐标(x，y)满足xtPcos，y 2tPsin，所以点 P 的轨迹的参数方程是x 22 sin2，y 22 22 cos2为参数，434.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有：(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法；(2)三角恒等消参法：利用 sin2cos21 消去参数，圆和椭圆的参数方程都是运用三角恒等消参法；(3)常见的消参关系
8、式：t1t1；t1t2t1t24；2t1t2 21t21t221.(2019 全 国 卷 )在 直 角 坐 标 系 xOy 中，曲 线 C 的 参 数 方 程 为x1t21t2，y 4t1t2(t 为参数)以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2cos 3sin110.(1)求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程；(2)求曲线 C 上的点到直线 l 距离的最小值解(1)因为11t21t21，且 x2y221t21t224t21t221，所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2y241(x1)，直线 l 的直角坐标方程为 2x 3y110.(2)由(1)
9、可设曲线 C 的参数方程为xcos，y2sin(为参数，)曲线 C 上的点到直线 l 的距离为|2cos2 3sin11|74cos3 117.当 23 时，4cos3 11 取得最小值 7，故曲线 C 上的点到直线 l 距离的最小值为 7.热点 3 极坐标与参数方程的综合应用解决极坐标与参数方程的综合应用问题的一般思路：(1)在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决转化时要注意两坐标系的关系，注意，的取值范围，取值范围不同对应的曲线不同；(2)解答参数方程的有关问题时，首先要弄清参数是谁
10、，代表的几何意义是什么；其次要认真观察方程的表现形式，以便于寻找最佳化简途径(2016 全 国 卷 )在 直 角 坐 标 系 xOy 中，曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 x 3cos，ysin(为参数)以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 sin4 2 2.(1)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；(2)设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标解(1)C1 的普通方程为x23y21，C2 的直角坐标方程为 xy40.(2)由题意，可设点 P 的直角坐标为(3cos，sin)因为 C2
11、 是直线，所以|PQ|的最小值即为 P 到 C2 的距离 d()的最小值，d()|3cossin4|2 2sin3 2.当且仅当 2k6(kZ)时，d()取得最小值，最小值为 2，此时 P 的直角坐标为32，12.解决极坐标、参数方程的综合问题时应注意下面三点：(1)在对于参数方程或极坐标方程的应用不够熟练的情况下，可以先化成普通方程或直角坐标方程，这样思路可能更加清晰；(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷如利用直线参数方程中参数的几何意义解决与距离有关的问题；利用圆或椭圆参数方程中的参数，转化为三角函数处理有关最值的问题；(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的
12、限制条件和隐含条件以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知直线 l 的参数方程为xtcos，y2tsin(t 为参数，0)，曲线 C 的极坐标方程为 cos28sin.(1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，当 变化时，求|AB|的最小值解(1)由xtcos，y2tsin，消去 t，得 xsinycos2cos0，所以直线 l 的普通方程为 xsinycos2cos0.由 cos28sin，得(cos)28sin，把 xcos，ysin 代入上式，得 x28y，所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2
13、8y.(2)将直线 l 的参数方程代入 x28y，得 t2cos28tsin160，设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2，则 t1t28sincos2，t1t2 16cos2，所以|AB|t1t2|t1t224t1t264sin2cos4 64cos28cos2.当 0 时，|AB|的最小值为 8.2 专题作业 PART TWO 1(2019南昌模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为x2cos，y2sin2(为参数)，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线 C 的极坐标方程；(2)若直线 l1，l2 的极坐标方程分别为 6(R)，23(R)，
14、设直线l1，l2 与曲线 C 的交点为 O，M，N，求OMN 的面积解(1)由曲线 C 的参数方程x2cos，y2sin2(为参数)，得 C 的普通方程为 x2(y2)24，所以曲线 C 的极坐标方程为 2cos22sin24sin0，即 4sin.(2)不妨设直线 l1：6(R)与曲线 C 的交点为 O，M，则 M|OM|4sin62.又直线 l2：23(R)与曲线 C 的交点为 O，N，则 N|ON|4sin23 2 3.又MON2，所以 SOMN12|OM|ON|1222 32 3.2(2018全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为x2cos，y4sin(为参数)，直线
15、 l 的参数方程为x1tcos，y2tsin(t 为参数)(1)求 C 和 l 的直角坐标方程；(2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求 l 的斜率解(1)曲线 C 的直角坐标方程为x24y2161.当 cos0 时，l 的直角坐标方程为 ytanx2tan，当 cos0 时，l 的直角坐标方程为 x1.(2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程(13cos2)t24(2cossin)t80.因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内，所以有两个解，设为 t1，t2，所以 x1x2(1t1cos)(1t2cos)2，所以(
16、t1t2)cos0，又cos0，所以 t1t20.又由得 t1t242cossin13cos2，故 2cossin0，所以 tan2，于是直线 l 的斜率 ktan2.3(2017全国卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为 x2t，ykt(t 为参数)，直线 l2 的参数方程为x2m，ymk(m 为参数)设l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C.(1)写出 C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3：(cossin)20，M 为 l3 与 C 的交点，求 M 的极径解(1)消去参数 t，得 l1 的普通方程 l1
17、：yk(x2)；消去参数 m，得 l2 的普通方程 l2：y1k(x2)设 P(x，y)，由题设，得ykx2，y1kx2，消去 k，得 x2y24(y0)，所以 C 的普通方程为 x2y24(y0)(2)C 的极坐标方程为 2(cos2sin2)4(02，)，联立2cos2sin24，cossin 20，得 cossin2(cossin)故 tan13，从而 cos2 910，sin2 110.代入 2(cos2sin2)4，得 25，所以交点 M 的极径为 5.4(2019郑州第二次质量检测)在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点 A 的极坐标为2
18、，4，直线 l 的极坐标方程为 cos4 a，且 l 过点 A，曲线 C1 的参数方程为x2cos，y 3sin(为参数)(1)求曲线 C1 上的点到直线 l 的距离的最大值；(2)过点 B(1,1)且与直线 l 平行的直线 l1 与曲线 C1 交于 M，N 两点，求|BM|BN|的值解(1)由直线 l 过点 A 可得 2cos44 a，故 a 2，则易得直线 l 的直角坐标方程为 xy20.根据点到直线的距离公式可得曲线 C1 上的点到直线 l 的距离d|2cos 3sin2|2|7sin2|2，其中 sin2 77，cos 217，所以 dmax 722 142 22.即曲线 C1 上的点到直线 l 的距离的最大值为 142 22.(2)由(1)知直线 l 的倾斜角为34，则直线 l1 的参数方程为x1tcos34，y1tsin34(t 为参数)易知曲线 C1 的普通方程为x24y231.把直线 l1 的参数方程代入曲线 C1 的普通方程可得72t27 2t50，设 M，N 两点对应的参数分别为 t1，t2，所以 t1t2107，根据参数 t 的几何意义可知|BM|BN|t1t2|107.本课结束
