1、第2讲 三角函数 题型2 解答题 规范踩点 多得分考情分析 高考中，三角函数的核心考点是三角函数的图象和性质与解三角形高考在该部分一般有两个试题，如果在解答题部分没有涉及到正、余弦定理的考查，会有一个与正、余弦定理有关的小题；如果在解答题中涉及到了正、余弦定理，可能还会有一个和解答题相互补充的三角函数图象、性质、恒等变换的小题.1 热点题型分析 PART ONE 热点 1 三角函数的图象和性质三角函数的单调性及周期性的求法：(1)三角函数单调性的求法求形如 yAsin(x)或 yAcos(x)(A，为常数，A0，0)的单调性的一般思路是令 xz，则 yAsinz(或 yAcosz)，然后由复合
2、函数的单调性求解(2)三角函数周期性的求法函数 yAsin(x)或 yAcos(x)的最小正周期 T2|.应特别注意 y|Asin(x)|的最小正周期为 T|.(2019浙江高考)设函数 f(x)sinx，xR.(1)已知 0,2)，函数 f(x)是偶函数，求 的值；(2)求函数 yfx 122fx42 的值域解(1)因为 f(x)sin(x)是偶函数，所以对任意实数 x 都有 sin(x)sin(x)，即 sinxcoscosxsinsinxcoscosxsin，故 2sinxcos0，所以 cos0.又 0,2)，因此 2或 32.(2)yfx 122fx42sin2x 12 sin2x4
3、1cos2x621cos2x2211232 cos2x32sin2x1 32 cos2x3.因此，所求函数的值域是1 32，1 32.求三角函数的值域，一般可化为 yAsin(x)k 或 yAcos(x)k 的形式，在转化的过程中经常要用到诱导公式、两角差(和)正(余)弦公式、二倍角公式、辅助角公式等1(2017江苏高考)已知向量 a(cosx，sinx)，b(3，3)，x0，(1)若 ab，求 x 的值；(2)记 f(x)ab，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值解(1)因为 a(cosx，sinx)，b(3，3)，ab，所以 3cosx3sinx.若 cosx0，则 sinx0
4、，与 sin2xcos2x1 矛盾，故 cosx0.于是 tanx 33.又 x0，所以 x56.(2)f(x)ab(cosx，sinx)(3，3)3cosx 3sinx2 3cosx6.因为 x0，所以 x66，76，从而1cosx6 32.于是，当 x66，即 x0 时，f(x)取到最大值 3；当 x6，即 x56 时，f(x)取到最小值2 3.2.如图，已知函数 f(x)Asin(x)A0，0，|2 在一个周期内的图象经过 B6，0，C23，0，D512，2 三点(1)写出 A，的值；(2)若 512，23，且 f()1，求 cos2 的值解(1)由题意，知 A2，2，3.(2)由(1)
5、，得 f(x)2sin2x3.因为 f()1，所以 sin23 12.因为 512，23，所以 232，.则 2356，所以 276，则 cos2cos76 32.热点 2 解三角形解三角形的一般方法：(1)已知两角和一边，如已知 A，B 和 c，由 ABC 求 C，由正弦定理求 a，b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知 a，b 和 C，应先用余弦定理求 c，再应用正弦定理求较短边所对的角，然后利用 ABC 求另一角(3)已知两边和其中一边的对角，如已知 a，b 和 A，应先用正弦定理求 B，由 ABC 求 C，再由正弦定理或余弦定理求 c，要注意解可能有多种情况(4)已知三边 a，b，c
6、，可应用余弦定理求 A，B，C(2019全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.设(sinBsinC)2sin2AsinBsinC(1)求 A；(2)若 2ab2c，求 sinC解(1)由已知得 sin2Bsin2Csin2AsinBsinC，故由正弦定理得 b2c2a2bc.由余弦定理得 cosAb2c2a22bc12.因为 0A180，所以 A60.(2)由(1)知 B120C，由题设及正弦定理得 2sinAsin(120C)2sinC，即 62 32 cosC12sinC2sinC，可得 cos(C60)22.因为 0C120，所以 sin(C60)22，故 sin
7、Csin(C6060)sin(C60)cos60cos(C60)sin60 6 24.解三角形问题主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形的面积公式、同角三角函数关系等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边化角”“角化边”，另外要注意 ac，ac，a2c2 三者的关系1(2019全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知asinAC2bsinA(1)求 B；(2)若ABC 为锐角三角形，且 c1，求ABC 面积的取值范围解(1)由题设及正弦定理得 sinAsinAC2sinBsinA因为 sinA0，所以 sinAC2sinB由 ABC180，可得
8、sinAC2cosB2，故 cosB22sinB2cosB2.因为 cosB20，所以 sinB212，所以B230，所以 B60.(2)由题设及(1)知ABC 的面积 SABC 34 a.由(1)知 AC120，由正弦定理得 acsinAsinC sin120CsinC32tanC12.由于ABC 为锐角三角形，故 0A90，0C90.结合 AC120，得 30C90，所以12a2，从而 38 SABC 32.因此，ABC 面积的取值范围是38，32.2(2018天津高考)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 bsinAacosB6.(1)求角 B 的大小；(2)
9、设 a2，c3，求 b 和 sin(2AB)的值解(1)在ABC 中，由正弦定理 asinA bsinB，可得bsinAasinB，又由 bsinAacosB6，得 asinBacosB6，即 sinBcosB6，可得 tanB 3.又因为 B(0，)，可得 B3.(2)在ABC 中，由余弦定理及 a2，c3，B3，有 b2a2c22accosB7，故 b 7.由 bsinAacosB6，可得 sinA 37.因为 ac，故 cosA 27.因此 sin2A2sinAcosA4 37，cos2A2cos2A117.所以，sin(2AB)sin2AcosBcos2AsinB4 37 1217 3
10、2 3 314.2 专题作业 PART TWO 1(2019北京高考)在ABC 中，a3，bc2，cosB12.(1)求 b，c 的值；(2)求 sin(BC)的值解(1)由余弦定理 b2a2c22accosB，得 b232c223c12.因为 bc2，所以(c2)232c223c12.解得 c5.所以 b7.(2)由 cosB12，得 sinB 32.由正弦定理，得 sinAabsinB3 314.在ABC 中，BCA，所以 sin(BC)sinA3 314.2已知函数 f(x)2cos2xsinxcosx1 1.(1)求 f(x)的定义域及最小正周期；(2)求 f(x)的单调递减区间解(1
11、)由 cosx0，得 x2k(kZ)，所以 f(x)的定义域为xx2k，kZ.因为 f(x)2sinxcosx1 cos2x12sinxcosx2cos2x1sin2xcos2x 2sin2x4.所以 f(x)的最小正周期为 T22.(2)由22k2x432 2k，得8kx58 k，所以 f(x)的单调递减区间为8k，2k，2k，58 k(kZ)3(2019天津高考)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 bc2a,3csinB4asinC(1)求 cosB 的值；(2)求 sin2B6 的值解(1)在ABC 中，由正弦定理 bsinB csinC，得 bsinCcs
12、inB由 3csinB4asinC，得 3bsinC4asinC，即 3b4a.因为 bc2a，所以 b43a，c23a.由余弦定理可得cosBa2c2b22aca249a2169 a22a23a14.(2)由(1)可得 sinB 1cos2B 154，从而 sin2B2sinBcosB 158，cos2Bcos2Bsin2B78，故 sin2B6 sin2Bcos6cos2Bsin6 158 32 78123 5716.4(2018北京高考)在ABC 中，a7，b8，cosB17.(1)求角 A；(2)求 AC 边上的高解(1)在ABC 中，cosB17，B2，sinB 1cos2B4 37.由正弦定理，得 asinA bsinB 7sinA 84 37，sinA 32.B2，A0，2，A3.(2)在ABC 中，sinCsin(AB)sinAcosBsinBcosA 32 17 4 37 123 314.如图所示，在ABC 中，sinC hBC，hBCsinC73 314 3 32，AC 边上的高为3 32.本课结束
