1、空间向量的运算2）两个向量的数量积 注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积等于零。babababababababaaaOAaOA,cos,cos,即记作：的数量积，叫做向量，则已知空间两个向量记作：的长度或模的长度叫做向量则有向线段设3）射影 eaeaABBAelABBABlBAlAllelaAB,cos,111111射影。方向上的正射影，简称或在上的在轴叫做向量，则上的射影在作点上的射影在点同方向的单位向量。作上与是，和轴已知向量B A leA1 B1 注意：是轴l上的正射影A1B1是一个可正可负的实数，它的符号代表向量 与l的方向的相对关系，大小代表 在l上射影
2、的长度。ABAB4)空间向量的数量积性质 aaababaeaaea2)30)2,cos)1注意：性质2）是证明两向量垂直的依据；性质3）是求向量的长度（模）的依据；对于非零向量 ，有：,a b5)空间向量的数量积满足的运算律 注意：分配律）交换律）()(3()2)()()1cabacbaabbababa数量积不满足结合律)()cbacba（A D F C B E 2.11(2)(3)(4)ABCDEFABADEF BAEF BDEF DCEF AC例 如图：已知空间四边形的每条边和对角线长都等于，点、分别是、的中点。计算：（）例2 已知在平行六面体 中，,求对角线 的长。ABCDA B C D
3、 4AB 3,5,90,60ADAABADBAADAA ACDCBDABCA解：ACABADAA22222222|()|2()4352(0107.5)85ACABADAAABADAAAB ADAB AAAD AA|85AC2.已知空间四边形 的每条边和对角线的长都等于 ，点 分别是边 的中点。求证：。ABCDaMN、ABCD、,MNABMNCDNMABDC证明：因为 MNMAADDN所以 222()1110244AB MNAB MAADDNAB MAAB ADAB DNaaa MNAB同理，MNCD3.已知空间四边形 ，求证：。,OABCOBOCAOBAOC OABCOACB证明：()|cos|cos|cos|cos0OA BCOA OCOBOA OCOA OBOAOCOAOBOAOBOAOBOABC
