1、章末综合提升 第13章 立体几何初步 巩固层知识整合 NO.1提升层题型探究 NO.2类型1类型2类型3类型4类型 1 空间中的平行关系 空间中的平行关系主要包括线与线的平行、线与面的平行以及面与面的平行 1证明线与线的平行的常用方法：定义；平行线的传递性，即 ab，ac，则 bc；线面平行的性质定理；线面垂直的性质定理；面面平行的性质定理等 2判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，aa)3证明面面平行的方法：(1)利用面面平行的定义；(2)利用
2、面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行；(3)垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化【例 1】如图，E，F，G，H 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱 BC，CC1，C1D1，AA1 的中点求证：(1)GE平面 BDD1B1；(2)平面 BDF平面 B1D1H 证明(1)取 B1D1 的中点 O，连接 GO，OB，易证 OG12B1C1，BE12B1C1，OGBE，四边形 BEGO 为平行四边形，OBGE OB平面 BDD1B1，GE
3、平面 BDD1B1，GE平面 BDD1B1(2)由正方体性质得 B1D1BD，B1D1平面 BDF，BD平面 BDF，B1D1平面 BDF 连接 HB，D1F，易证 HBFD1 是平行四边形，得 HD1BF HD1平面 BDF，BF平面 BDF，HD1平面 BDF B1D1HD1D1，平面 BDF平面 B1D1H 跟进训练 1如图，AB 是圆 O 的直径，C 是圆 O 上的点，P 为平面 ABC外一点设 Q 为 PA 的中点，G 为AOC 的重心求证：QG平面PBC证明 如图，连接 OG 并延长，交 AC 于点 M，连接 QM，QO由G 为AOC 的重心，得 M 为 AC 的中点 由 Q 为
4、PA 的中点，得 QMPC 又 O 为 AB 的中点，所以 OMBC 因为 QMMOM，QM平面 QMO，MO平面 QMO，BCPCC，BC平面 PBC，PC平面 PBC，所以平面 QMO平面 PBC 又 QG平面 QMO，所以 QG平面 PBC 类型 2 空间中的垂直关系 空间中的垂直关系主要包括线与线的垂直、线与面的垂直及面与面的垂直(1)判定线线垂直的方法 计算所成的角为 90(包括平面角和异面直线所成的角)；线面垂直的性质(若 a，b，则 ab)(2)判定线面垂直的方法 线面垂直的定义(一般不易验证任意性)；线面垂直的判定定理(am，an，m，n，mnAa)；平行线垂直平面的传递性质(
5、ab，ba)；面面垂直的性质定理(，l，a，ala)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(l，l)(3)面面垂直的判定方法 根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为 90)；面面垂直的判定定理(a，a)【例 2】如图所示，ABC 为正三角形，EC平面 ABC，BDCE，且 CECA2BD，M 是 EA 的中点求证：(1)DEDA；(2)平面 BDM平面 ECA；(3)平面 DEA平面 ECA 证明(1)如图所示，取 EC 的中点 F，连接 DF，易知 DFBC，ECBC，DFEC 在 RtDEF 和 RtDBA 中，EF12ECBD，FDBCAB，RtDFERtABD，故 DEDA
6、(2)取 CA 的中点 N，连接 MN，BN，则 MN12EC，MNBD，即 N 点在平面 BDM 内 EC平面 ABC，ECBN 又 CABN，ECCAC，BN平面 ECA BN 在平面 MNBD 内，平面 MNBD平面 ECA，即平面 BDM平面 ECA(3)DMBN，BN平面 ECA，DM平面 ECA 又 DM平面 DEA，平面 DEA平面 ECA 跟进训练 2如图，四棱锥 P-ABCD 的底面为平行四边形，PD平面 ABCD，M 为 PC 的中点(1)求证：AP平面 MBD；(2)若 ADPB，求证：BD平面 PAD 证明(1)如图，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OM 因为底面
7、 ABCD 是平行四边形，所以点 O 为 AC 的中点又 M为 PC 的中点，所以 OMPA 因为 OM平面 MBD，AP平面 MBD，所以 AP平面 MBD(2)因为 PD平面 ABCD，AD平面 ABCD，所以 PDAD 因为 ADPB，PDPBP，PD平面 PBD，PB平面 PBD，所以 AD平面 PBD 因为 BD平面 PBD，所以 ADBD 因为 PD平面 ABCD，BD平面 ABCD，所以 PDBD 又因为 BDAD，ADPDD，AD平面 PAD，PD平面 PAD，所以 BD平面 PAD 类型 3 空间图形的体积及表面积 柱、锥、台、球的表面积及体积的计算中，表面积的计算要注意侧面
8、展开图、轴截面等在计算中的作用，对于体积的计算，方法较多，主要涉及公式法、割补法、等体积转化法等【例 3】如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA底面 ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M 为线段 AD 上一点，AM2MD，N 为 PC 的中点(1)证明：MN平面 PAB；(2)求四面体 N-BCM 的体积 解(1)证明：由已知得 AM23AD2 如图，取 BP 的中点 T，连接 AT，TN，由 N 为 PC 中点知 TNBC，TN12BC2又 ADBC，故 TNAM，所以四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MNAT 因为 AT平面 PAB，MN平面 PAB，所以 MN平面 PAB
9、(2)因为 PA平面 ABCD，N 为 PC 的中点，所以 N 到平面 ABCD 的距离为12PA 如图，取 BC 的中点 E，连接 AE 由 ABAC3 得，AEBC，AE AB2BE2 5 由 AMBC 得 M 到 BC 的距离为 5，故 SBCM124 52 5 所以四面体 N-BCM 的体积 VN-BCM13SBCMPA2 4 53 跟进训练 3如图，在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD，且BAPCDP90(1)证明：平面 PAB平面 PAD；(2)若 PAPDABDC，APD90，且四棱锥 P-ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积 解(1)证明：由已知BAPCDP90，得 AB
10、AP，CDPD 由于 ABCD，故 ABPD，因为 APPDP，AP平面 PAD，PD平面 PAD，从而 AB平面 PAD 又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD(2)如图，在平面 PAD 内作 PEAD，垂足为 E 由(1)知，AB平面 PAD，故 ABPE，ABAD，可得 PE平面 ABCD 设 ABx，则由已知可得 AD 2x，PE 22 x 故四棱锥 P-ABCD 的体积 VP-ABCD13ABADPE13x3 由题设得13x383，故 x2 从而结合已知可得 PAPDABDC2，ADBC2 2，PBPC2 2 可得四棱锥 P-ABCD 的侧面积为12PAPD12PAAB1
11、2PDDC12BC2sin 6062 3 类型 4 平面图形的翻折问题 空间几何中的翻折问题是几何证明、求值问题中的重点和难点，在高考中经常考查(1)解决与翻折有关的问题的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口(2)在解决问题时，要综合考虑翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形【例 4】如图，在直角梯形 ABCP 中，APBC，APAB，ABBC12AP，D 是 AP 的中点，E，F 分别为 PD，PC 的中点，将PCD沿 CD 折起得到四棱锥 P-ABCD(1)G 为线段 BC
12、 上任一点，求证：平面 EFG平面 PAD；(2)当 G 为 BC 的中点时，求证：AP平面 EFG 证明(1)在直角梯形 ABCP 中，BCAP，BC12AP，D 为 AP 的中点 BCAD，又 ABAP，ABBC，四边形 ABCD 为正方形，CDAP，CDAD，CDPD 在四棱锥 P-ABCD 中，E，F 分别为 PD，PC 的中点，EFCD，EFAD，EFPD 又 PDADD，PD平面 PAD，AD平面 PAD EF平面 PAD 又 EF平面 EFG，平面 EFG平面 PAD(2)法一：G，F 分别为 BC 和 PC 的中点，GFBP GF平面 PAB，BP平面 PAB，GF平面 PAB
13、 由(1)知，EFDC，ABDC，EFAB EF平面 PAB，AB平面 PAB，EF平面 PAB EFGFF，EF平面 EFG，GF平面 EFG 平面 EFG平面 PABPA平面 PAB，PA平面 EFG 法二：取 AD 中点 H，连接 GH，HE(图略)由(1)知四边形 ABCD 为正方形 又 G，H 分别为 BC，AD 的中点，GHCD 由(1)知，EFCD，EFGH 四点 E，F，G，H 共面 E，H 分别为 PD，AD 的中点，EHPA PA平面 EFGH，EH平面 EFGH PA平面 EFGH，即 PA平面 EFG 跟进训练 4如图(1)所示，在直角梯形ABEF中(图中数字表示线段的
14、长度)，将直角梯形 DCEF 沿 CD 折起，使平面 DCEF平面 ABCD，连接部分线段后围成一个空间图形，如图(2)所示(1)(2)(1)求证：BE平面 ADF；(2)求三棱锥 F-BCE 的体积 解(1)证明：法一：取 DF 的中点 G，连接 AG，EG，CE12DF，EGCD 又ABCD，EGAB，四边形 ABEG 为平行四边形，BEAG BE平面 ADF，AG平面 ADF，BE平面 ADF 法二：由图(1)可知 BCAD，CEDF，折叠之后平行关系不变 BC平面 ADF，AD平面 ADF，BC平面 ADF 同理 CE平面 ADF BCCEC，BC，CE平面 BCE，平面 BCE平面
15、ADF BE平面 BCE，BE平面 ADF(2)法一：VF-BCEVB-CEF，由图(1)可知 BCCD 平面 DCEF平面 ABCD，平面 DCEF平面 ABCDCD，BC平面 ABCD，BC平面 DCEF 由图(1)可知 DCCE1，SCEF12CEDC12，VF-BCEVB-CEF13BCSCEF16 法二：由图(1)，可知 CDBC，CDCE，BCCEC，CD平面 BCE DFCE，点 F 到平面 BCE 的距离等于点 D 到平面 BCE 的距离为 1，由图(1)，可知 BCCE1，SBCE12BCCE12，VF-BCE13CDSBCE16 法三：过 E 作 EHFC，垂足为 H，如图
16、所示，由图(1)，可知BCCD，平面 DCEF平面 ABCD，平面 DCEF平面 ABCDCD，BC平面 ABCD，BC平面 DCEF EH平面 DCEF，BCEH，EH平面 BCF由 BCFC，FC DC2DF2 5，SBCF12BCCF 52，在CEF 中，由等面积法可得 EH 15，VF-BCEVE-BCF13EHSBCF16 体验层真题感悟 NO.3类型1类型2类型3类型41(2020全国卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A 514
17、B 512 C 514 D 512 5 1 2 3 4 C 设正四棱锥的高为 h，底面正方形的边长为 2a，斜高为 m，依题意得 h2122am，即 h2am，易知 h2a2m2，由得 m1 52a，所以m2a1 52a2a1 54故选 C 5 1 2 3 4 2(2020全国卷)已知 A，B，C 为球 O 的球面上的三个点，O1 为ABC 的外接圆若O1 的面积为 4，ABBCACOO1，则球 O 的表面积为()A64 B48 C36 D325 1 2 3 4 A 如图所示，设球 O 的半径为 R，O1的半径为 r，因为O1 的面积为 4，所以 4r2，解得 r2，又 ABBCACOO1，所
18、以ABsin 602r，解得 AB2 3，故 OO12 3，所以 R2OO21r2(2 3)22216，所以球 O 的表面积 S4R264故选 A 5 1 2 3 4 3(2020海南高考)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，M、N 分别为 BB1、AB 的中点，则三棱锥 A-NMD1 的体积为_ 5 1 2 3 4 13 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，M、N 分别为BB1、AB 的中点，SANM121112，VA-NMD1VD1-AMN1312213 5 1 2 3 4 4(2020浙江高考)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为 2，且它的侧面展开图
19、是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是_ 5 1 2 3 4 1 法一：设该圆锥的母线长为 l，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，其面积为 2，所以12l22，解得 l2，所以该半圆的弧长为 2设该圆锥的底面半径为 R，则 2R2，解得 R1 5 1 2 3 4 法二：设该圆锥的底面半径为 R，则该圆锥侧面展开图中的圆弧的弧长为 2R因为侧面展开图是一个半圆，设该半圆的半径为 r，则 r2R，即 r2R，所以侧面展开图的面积为122R2R2R22，解得 R1 5 1 2 3 4 5(2020江苏高考)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ABAC，B1C平面 ABC，E，F 分别是 AC，B1C 的中点(1)求证：EF平面 AB1C1；(2)求证：平面 AB1C平面 ABB1 5 1 2 3 4 解(1)证明：E，F 分别是 AC，B1C 的中点 所以 EFAB1，因为 EF平面 AB1C1，AB1平面 AB1C1，所以 EF平面 AB1C1 5 1 2 3 4(2)因为 B1C平面 ABC，AB平面 ABC，所以 B1CAB，又因为 ABAC，ACB1CC，AC平面 AB1C，B1C平面 AB1C，所以 AB平面 AB1C，因为 AB平面 ABB1，所以平面 AB1C平面 ABB1 5 1 2 3 4 点击右图进入 章 末 综 合 测 评 谢谢观看 THANK YOU!
