1、13.2 基本图形位置关系 13.2.4 平面与平面的位置关系 第2课时 两平面垂直 第13章 立体几何初步 学 习 任 务核 心 素 养 1了解二面角的概念，能在常见空间图形中度量二面角(难点)2理解并掌握面面垂直的判定定理(难点、重点)3掌握面面垂直的性质定理及其应用方法(难点、重点)1通过对二面角和平面与平面垂直定义的理解，培养数学抽象素养 2通过应用平面与平面垂直的判定定理和性质定理，培养逻辑推理素养 情境导学探新知 NO.1知识点1知识点2知识点3 1970 年 4 月 24 日，我国用自制“长征一号”运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功地发射了第一颗人造地球卫星“东方红一号”，这标志着
2、我国在征服太空的道路上迈出了巨大的一步，跻身于世界航天先进国家之列同学们，你知道吗？“东方红一号”轨道的倾斜角是68.5，也就是卫星轨道平面与地球赤道平面所成的二面角是 68.5那么二面角是如何刻画的呢？研究二面角又有何重要作用呢？知识点 1 与二面角有关的概念(1)平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都 叫 作 半 平 面 一 般 地，一 条 直 线 和 由 这 条 直 线 出 发 的_叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面角的面棱为 AB，面为，的二面角，记作_ 两个半平面所组成的图形二面角-AB-(2)一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作
3、_于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的_(3)二面角的大小可以用它的平面角来度量，_是多少度，就说这个二面角是多少度我们约定，二面角 的大小范围是_平面角是直角的二面角叫作直二面角一般地，如果两个平面所成的二面角是_，那么就说这两个平面互相垂直 垂直平面角二面角的平面角0180直二面角1下列命题：两个相交平面组成的图形叫作二面角；异面直线 a，b 分别和一个二面角的两个面垂直，则 a，b 组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 其中正确的是_ 答案 知识点 2 平面与平面
4、垂直的判定定理 自然语言如果一个平面过_，那么这两个平面垂直 符号语言l，l 图形语言 另一个平面的垂线2思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)两平面相交，如果所成的二面角是直角，则这两个平面垂直()(2)一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面一定垂直()(3)一条直线与两个平面中的一个平行，与另一个垂直，则这两个平面垂直()(4)一个平面与两平行平面中的一个垂直，则与另一个平面也垂直()答案(1)(2)(3)(4)知识点 3 平面与平面垂直的性质定理 自然语言两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言，l，_，_a 图形
5、语言 aal3设平面 平面，在平面 内的一条直线 a 垂直于平面 内的一条直线 b，则()A直线 a 必垂直于平面 B直线 b 必垂直于平面 C直线 a 不一定垂直于平面 D过 a 的平面与过 b 的平面垂直 C 当 b 时，必有 a；当 b 不是 与 的交线时，直线 a 不一定垂直于平面 合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 面面垂直的判定定理的应用【例 1】已知四边形 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，PAAD，M，N 分别是 AB，PC 的中点求证：平面 MND平面 PCD 证明 如图，取 PD 的中点 E，连接 AE，NE E，N 分别是 PD，PC 的中点，E
6、N12CD 又 ABCD，AM12AB，ENAM，四边形 AMNE 是平行四边形，MNAE PA平面 ABCD，PACD 又 CDAD，PAADA，CD平面 PAD，CDAE 在等腰直角三角形 PAD 中，AE 是斜边 PD 上的中线，AEPD又 CDPDD，AE平面 PCD 又 MNAE，MN平面 PCD MN平面 MND，平面 MND平面 PCD 面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直.跟进训练 1如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，侧棱垂直于底面，ACB90，AA12AC，D 是棱 AA1 的中点
7、求证：平面 BDC1平面 BDC 证明 由题设知 BCCC1，BCAC，CC1ACC，BC平面 ACC1A1 又DC1平面 ACC1A1，DC1BC 由题设知A1DC1ADC45，CDC190，即 DC1DC 又DCBCC，DC1平面 BDC，DC1平面 BDC1，平面 BDC1平面 BDC 类型 2 面面垂直性质的应用【例 2】如图，在三棱锥 S-ABC 中，平面 SAB平面 SBC，ABBC，ASAB过 A 作 AFSB，垂足为 F，点 E，G 分别是棱SA，SC 的中点求证：(1)平面 EFG平面 ABC；(2)BCSA 证明(1)因为 ASAB，AFSB，垂足为 F，所以 F 是 SB
8、 的中点 又因为 E 是 SA 的中点，所以 EFAB 因为 EF平面 ABC，AB平面 ABC，所以 EF平面 ABC 同理 EG平面 ABC又 EFEGE，所以平面 EFG平面 ABC(2)因为平面 SAB平面 SBC，且交线为 SB 又 AF平面 SAB，AFSB，所以 AF平面 SBC 因为 BC平面 SBC，所以 AFBC 又因为 ABBC，AFABA，AF平面 SAB，AB平面 SAB，所以 BC平面 SAB 因为 SA平面 SAB，所以 BCSA 1证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理 2
9、利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线 跟进训练 2如图，在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面 PAD底面 ABCD，PAAD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点求证：(1)PA底面 ABCD；(2)平面 BEF平面 PCD 证明(1)因为平面 PAD底面 ABCD，且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD，所以 PA底面 ABCD(2)因为 ABAD，而且 ABED 为平行四边形，所以 BECD，ADCD 由(1)知 PA底面 ABCD，所以 PACD
10、又 PAADA，所以 CD平面 PAD，所以 CDPD 因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，所以 PDEF，所以 CDEF，又 EFBEE，所以 CD平面 BEF 因为 CD平面 PCD，所以平面 BEF平面 PCD 类型 3 求二面角的大小【例 3】如图所示，PA平面 ABC，ACBC，AB2，BC 2，PB 6，求二面角 P-BC-A 的大小 先利用二面角的平面角的定义找平面角，再通过解三角形求解.解 PA平面 ABC，BC平面 ABC，PABC 又ACBC，PAACA，PA平面 PAC，AC平面 PAC，BC平面 PAC 又PC平面 PAC，BCPC 又BCAC PCA 为
11、二面角 P-BC-A 的平面角 在 RtPBC 中，PB 6，BC 2，PC2 在 RtABC 中，AC AB2BC2 2，在 RtPAC 中，cosPCAACPC 22，PCA45，即二面角 P-BC-A 的大小为 45 解决二面角问题的策略跟进训练 3如图(1)所示，在平面四边形 ABCD 中，ABBCCDa，B90，BCD135沿对角线 AC 将四边形折成直二面角，如图(2)所示(1)(2)(1)求证：平面 ABD平面 BCD；(2)求二面角 B-AD-C 的大小 解(1)证明：如图，ACD1354590，CDAC由已知二面角 B-AC-D 是直二面角，过 B 作 BOAC，垂足为 O，
12、由 ABBC 知 O 为 AC 中点，作 OEAC 交 AD 于 E，则BOE90，BOOE 而 OEACO，BO平面 ACD 又CD平面 ACD，BOCD 又 ACBOO，CD平面 ABC AB平面 ABC，ABCD，由已知ABC90，ABBC而 BCCDC，AB平面 BCD 又AB平面 ABD，平面 ABD平面 BCD(2)由(1)知 BO平面 ACD，BOAD 作 OFAD，连接 BF，则 OFAD 又 BOOFO，AD平面 BOF，ADBF，BFO 为二面角 B-AD-C 的平面角 ABBCa，AC 2a，BO 22 a CDa，OEa2，AE 32 a，OFAOOEAE22 aa23
13、2 a 66 a，BF BO2OF222 a266 a2 63 a，cosBFOOFBF12，BFO60，即二面角 B-AD-C 的大小为 60当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 1对于直线 m，n 和平面，能得出 的一个条件是()Amn，m，nBmn，m，n Cmn，n，mDmn，m，n C n，mn，m，又 m，由面面垂直的判定定理得 1 2 3 4 5 2若平面 平面，平面 平面，则()AB C 与 相交但不垂直D以上都有可能 D 两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故 A，B，C 都有可能 1 2 3 4 5 3如图，已知 PA矩形 ABCD 所在的平
14、面，则图中互相垂直的平面有()A1 对 B2 对C3 对 D5 对 1 2 3 4 5 D 四边形 ABCD 是矩形，DAAB 又 PA矩形 ABCD，PADA 又 ABPAA，DA平面 PAB 1 2 3 4 5 同理 BC平面 PAB 又易证 AB平面 PAD，DC平面 PAD，平面 PAD平面 AC，平面 PAB平面 AC，平面 PBC平面PAB，平面 PAB平面 PAD，平面 PDC平面 PAD，共 5 对 1 2 3 4 5 4已知 l，则过 l 与 垂直的平面有_个 无数 由面面垂直的判定定理知，凡过 l 的平面都垂直于平面，这样的平面有无数个 5 1 2 3 4 5已知三棱锥 D
15、-ABC 的三个侧面与底面全等，且 ABAC 3，BC2，则二面角 D-BC-A 的大小为_ 5 1 2 3 4 90 如图，由题意知 ABACBDCD 3，BCAD2 取 BC 的中点 E，连接 DE，AE，则 AEBC，DEBC，所以DEA 为所求二面角的平面角易得 AEDE 2，又 AD2，AD2AE2DE2，所以DEA90 回顾本节知识，自我完成以下问题：1若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角的大小关系如何？提示 关系无法确定如图所示，平面EFDG平面 ABC，当平面 HDG 绕 DG 转动时，平面 HDG 始终与平面 BCD 垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角 H-DG-F 的大小不确定 2判断两个平面垂直的方式有哪些？提示(1)二面角为直角；(2)aa 3三种垂直关系间存在怎样的内在联系？提示 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
