1、广西钦州市2019-2020学年高二数学下学期期末考试教学质量监测试题 理（含解析）（考试时间：120分钟：赋分：150分）第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合题目要求的.（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效.）1. 是虚数单位，复数（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接由复数的除法运算可得解.【详解】复数，故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，属于基础题.2. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则极坐标为的点对应的直角坐标为（ ）A. B. C. （D.
2、 【答案】B【解析】【分析】直接利用极坐标和直角坐标之间转换求出结果【详解】，极坐标为的点对应的直角坐标为故选：B【点睛】本题考查直角坐标和极坐标之间的转换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型3. 用反证法证明命题“，若，则，至少有一个大于0”，证明的第一步的正确表述是（ ）A. 假设，全都大于0B. 假设，至少有一个小于或等于0C. 假设，全都小于或等于0D. 假设，至多有一个大于0【答案】C【解析】【分析】利用反证法的定义分析判断得解.【详解】用反证法证明命题“，若，则，至少有一个大于0”时，假设的内容应该是对结论的否定，即：假设，全都小于或等于0.故选：C.【点睛】
3、本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.4. 某次抽奖活动中，参与者每次抽中奖的概率均为，现甲参加3次抽奖，则甲恰好有一次中奖的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题根据独立重复试验直接计算概率即可.【详解】因为参与者每次抽中奖的概率均为，则甲参加3次抽奖，甲恰好有一次中奖的概率为.故选:C.【点睛】本题考查独立重复试验求概率的问题，是基础题.5. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ）A. 2B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】求出，再利用即可求解.【详解】由，则，解得.故选：D【点睛】本题考查了导数的几何意义，解
4、题的关键是求出导函数，考查了基本运算能力，属于基础题.6. 项展开式中的常数项为（ ）A. 120B. 120C. 160D. 160【答案】C【解析】【分析】先求出二项展开的通项公式，令的指数为0，即可得常数项.【详解】展开式的通项公式为：，令，解得，所以常数项为.故选：C.【点睛】本题主要考查了二项式展开的通项公式，牢记公式是解题的关键，属于基础题.7. 在一次共有10000名考生参加的毕业水平测试中，这些学生的数学成绩服从正态分布，且，若此次测试成绩大于或等于90分的定为“等级”成绩，据此估计，此次测试中获得“等级”成绩的学生人数为（ ）A. 1000人B. 2000人C. 3000人D
5、. 4000人【答案】B【解析】【分析】利用正态分布的对称性即可求解.【详解】依题意，根据正态分布的对称性，所以“等级”成绩的学生人数为：.故选：B【点睛】本题考查了正态分布的性质，考查了基本运算能力，属于基础题.8. 为研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：天数（天）3456繁殖个数（千个）2.5344.5由最小二乘法得与的线性回归方程为，则样本在（4，3）处的残差为（ ）A. 0.15B. 0.15C. 0.25D. 0.25【答案】A【解析】【分析】求出样本中心，进而求出，最后根据残差的定义进行求解即可.【详解】因为，所以有，当时，所以样本在（4，3）处的残差为
6、：.故选：A【点睛】本题考查了样本残差的求法，属于基础题.9. 是直线上的动点，是曲线C：（为参数）上的动点，则的最小值是（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设点，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由曲线C：（为参数）消去参数，设点，则点到直线的距离为，当时，.故选：C.【点睛】本题主要考查曲线的参数方程，点到直线的距离公式，以及三角函数的恒等变换和余弦函数的性质的应用，着重考查运算与求解能力，以及转换能力，属于基础题.10. 为提高市区的防疫意识，某医院从3名男医生和4名女医生中选派3名医生组成防控宣传组，要求男女医生各占至少一名，则不同的方案共
7、有（ ）A. 24种B. 30种C. 32种D. 36种【答案】B【解析】【分析】分情况：男女或男女，再利用组合即可求解.【详解】根据题意可知男女医生各占至少一名，有两种情况：男女，共有，男女，共有，所以不同的方案共有：，故选：B【点睛】本题考查了计数原理、组合数的应用，属于基础题.11. 不等式恒成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. ）【答案】A【解析】【分析】利用绝对值三角不等式求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，进而可解得实数的取值范围.【详解】由绝对值三角不等式可得，当时等号成立，由于不等式恒成立，则，解得.因此，实数的取值范围是.故选：A.【点睛】本题考查利用绝对值
8、不等式恒成立求参数，考查了绝对值三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.12. 设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则正确的是（ ）A. 的极大值为，极小值为B. 的极大值为，极小值为C. 的极大值为，极小值为D. 的极大值为，极小值为【答案】C【解析】【分析】由的图象可以得出在各区间的正负，然后可得在各区间的单调性，进而可得极值.【详解】由图象可知：当和时，则；当时，则；当时，则；当时，则；当时，则.所以在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减.所以的极小值为，极大值为.故选C.【点睛】本题考查导数与函数单调性的关系，解题的突破点是由已知函数的图象得出的正负性.第卷二、填空
9、题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】根据绝对值定义化简求解，即得结果.详解】，不等式的解集为.故答案为：.【点睛】本题考查解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.14. 已知为虚数单位，复数满足，则_.【答案】【解析】【分析】根据复数模的运算公式，求得.【详解】依题意，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查复数模的计算，属于基础题.15. 在一个暗箱中装有5个形状大小完全一样的小球，其中有个红球，其余的全为黑球，若从暗箱中任取2个小球，两个小球不同颜色的概率为，则的值为_.【答案】或；【解析】【分析】所有的取法共有种,而取出的两
10、个球颜色不同的取法有种,由此求得取出的两个球颜色不同的概率,即可得出的值.【详解】从暗箱中任取2个小球，两个小球不同颜色的概率为：，解得：或3，故答案为：或.【点睛】本题主要考查古典概率及其计算公式的应用，属于基础题.16. 如图，现有一个圆锥形的铁质毛坯材料，底面半径为6，高为8.某工厂拟将此材料切割加工成一个圆柱形构件，并要求此材料的底面加工成构件的一个底面，则可加工出该圆柱形构件的最大体积为_.【答案】【解析】【分析】利用几何体的轴截面进行计算，结合导数求得圆柱形构件的最大体积.【详解】画出圆锥及圆柱的轴截面如下图所示.其中，四边形为矩形.设圆柱的底面半径为，即，则，即.所以圆柱的体积为
11、，.，由于，所以在区间上，单调递增；区间上，单调递减.所以在处取得极大值也即是最大值为：.故答案为：【点睛】本小题主要考查圆锥的最大内接圆柱有关计算，考查利用导数求最值，属于中档题.三、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 证明：【答案】证明见解析.【解析】【分析】利用题意，由分析法，原问题等价于，结合题意进行计算即可证得结论.【详解】证明：要证只需证只需证只需证只需证因为成立,所以.【点睛】本题考查分析法证明不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题.18. 为了预防新型冠状病毒疫病.某生物疫苗研究所加紧对疫苗进行研究，将某一型号的疫苗用在动物小白
12、鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗20注射疫苗30总计5050100现从所有感染病毒的小白鼠中随机抽取一只，抽到“注射疫苗”小白鼠的概率为（1）完成如图的22列联表：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗20注射疫苗30总计5050100（2）能否有99%把握认为注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效？已知，0.050.010.0053.8416.6357.879【答案】（1）填表见解析；（2）有把握认为注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效.【解析】【分析】（1）由题意可得，则，然后依次求出，由此可得列联表；（2）根据公式求得，再与比较大小即可求出答案【详解】解：
13、（1）所有感染病毒的小白鼠共有50只，其中注射疫苗的共有只，列联表如下：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗204060注射疫苗301040总计5050100（2），有把握认为注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，属于基础题19. 某加工厂为了检查一条产品生产流水线的生产情况，随即抽取该流水线上生产的20件产品作为样本，测量它们的尺寸（单位：）统计如下表：尺寸（单位：）样本频率（200，2050.15（205，2100.20（210，2150.35（215，2200.25（220，2250.05根据产品尺寸，规定尺寸超过且不超过的产品为“一等品”，其余尺寸为“非一
14、等品”.（1）在抽取的样本产品中，求产品为“一等品”的数量.（2）流水线生产的产品较多，将样本频率视为总体概率，现从该流水线上任取5件产品，求恰有3件产品为“非一等品”的概率.【答案】（1）12（件）；（2）.【解析】【分析】（1）由表格可求得样本产品为“一等品”的频率，计算即可得出产品为“一等品”的数量.（2）设5件产品中取到“非一等品”的件数为，由题意可得，根据公式计算即可得出结果.【详解】解：（1）由题意，样本产品为“一等品”的频率为，所以样本产品为“一等品”的数量为（件）.（2）由题意，流水线上任取件产品为“非一等品”的概率为.设取到“非一等品”的件数为由已知，故，恰有件产品为“非一等
15、品”的概率.【点睛】本题考查概率的计算，考查独立重复试验二项分布的概率的计算，考查运算求解能力，属于基础题.20. 在直角坐标系中，直线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求极坐标方程；（2）若圆的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，设、分别为与、的交点，且、与原点不重合，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用可得解；（2）将代入两个曲线的极坐标方程，可得，由可得解.【详解】（1），的极坐标方程为.（2）直线的极坐标方程为，.【点睛】本题主要考查了极坐标方程求长度问题，属于基础题.21. 已知函数.（1）当时，求不等式的解集：（2）当时，恒成立，求的取值范围.
16、【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据绝对值不等式的解法，分当，三类情况讨论即可得答案；（2）当时，故恒成立转化为恒成立，再根据恒成立求解即可.【详解】解：（1）当时，.当时，原不等式可化为解得；当时，原不等式可化为解得；当时，不等式可化为解得；综上，原不等式的解集为（2）当时，由恒成立得恒成立， ，解得， 的取值范围为.【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式，不等式恒成立问题求参数范围，是中档题.22. 已知函数，其中（1）当时，求曲线在点处的切线方程：（2）若函数存在最小值为，且恒成立，求取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出切点以及切点处的导数，再利用导数的几何意义即可求解.（2）求出，讨论或，判断函数的的单调性，利用单调性求出函数的最小值，再利用导数求出的最大值即可.【详解】解：（1）时，切线斜率曲线在点处的切线方程为：，曲线在点处的切线方程为（2）当时，恒成立在单调递增，无最小值当时，由得或（舍）时，在单调递减时，在单调递增所以存在最小值，由得，易知在单调递增，在单调递减所以的最大值为又恒成立，取值范围为.【点睛】本题考查了导数的几何意义、利用导数求函数的最值，利用导数研究不等式恒成立问题，属于难题.