1、2015-2016学年四川省遂宁市射洪中学高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1若直线经过A（0，1），B（3，4）两点，则直线AB的倾斜角为（）A30B45C60D1202下列判断，正确的是（）A平行于同一平面的两直线平行B垂直于同一直线的两直线平行C垂直于同一平面的两平面平行D垂直于同一平面的两直线平行3若双曲线方程为=1，则双曲线渐近线方程为（）ABCy=4xDy=x4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC与A1D所在直线所成的角等于（）A30B45C60D905已知F1、F2为椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点若|
2、F2A|+|F2B|=30，则|AB|=（）A16B18C22D206方程kx2+4y2=4k表示焦点在x轴的椭圆，则实数k的取值范围是（）Ak4Bk=4Ck4D0k47设a1，则双曲线的离心率e的取值范围是（）ABC（2，5）D8已知双曲线=1（a0，b0）的一个焦点与抛物线y2=4的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）Ax2=1Bx2y2=15C =1Dx2y2=99已知对kR，直线ykx1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是（）A（0，1）B（0，5）C1，5）（5，+）D1，5）10设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周
3、上任一点线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（）ABCD11已知点P是椭圆=1（xy0）上的动点，F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，O为原点，若M是F1PF2的角平分线上的一点，且F1MMP，则OM的长度取值范围（）A0，3）BCD0，4）12如图所示，A，B，C是双曲线=1（a0，b0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BFAC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（）ABCD3二、选择题（共4小题，每小题5分，共20分）13过点（1，2）的抛物线的标准方程是14某几何体的三视图如图所示，它的体积为15已知抛物线y=x2上存在两个不同的点M，N关于直线
4、l：y=kx+对称，求k的取值范围16如图，已知椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上任意一点，过F2作F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为点Q，过点Q作y轴的垂线，垂足为N，线段QN的中点为M，则点M的轨迹方程为三、解答题（共6小题，共70分）17如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱VA底面ABCD，点E为VA的中点（）求证：VC平面BED；（）求证：平面VAC平面BED18盒中有5只灯泡，其中2只次品，3只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：（1）取到的2只中正品、次品各一只；（2）取到的2只中至少有一只正品19经过点M（2，2）作直线L交双曲线x2
5、=1于A，B两点，且M为AB中点（1）求直线L的方程；（2）求线段AB的长20如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BC=2BB1，ABC=90，D为BC的中点（）求证：A1B平面ADC1；（）求二面角CADC1的余弦值；（）若E为A1B1的中点，求AE与DC1所成的角21设椭圆E：过，两点，O为坐标原点（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A、B，且？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由22设直线l（斜率存在）交抛物线y2=2px（p0，且p是常数）于两个不同点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，且满足=x1x
6、2+2（y1+y2）（1）若y1+y2=1，求直线l的斜率与p之间的关系；（2）求证：直线l过定点；（3）设（1）中的定点为P，若点M在射线PA上，满足，求点M的轨迹方程2015-2016学年四川省遂宁市射洪中学高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1若直线经过A（0，1），B（3，4）两点，则直线AB的倾斜角为（）A30B45C60D120【考点】直线的倾斜角【分析】由直线经过A（0，1），B（3，4）两点，能求出直线AB的斜率，从而能求出直线AB的倾斜角【解答】解：直线经过A（0，1），B（3，4）两点，直线AB的斜率k=1，直
7、线AB的倾斜角=45故选B2下列判断，正确的是（）A平行于同一平面的两直线平行B垂直于同一直线的两直线平行C垂直于同一平面的两平面平行D垂直于同一平面的两直线平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论【解答】解：平行于同一平面的两直线平行，相交、异面，故A不正确；垂直于同一直线的两直线平行平行，相交、异面，故B不正确；垂直于同一平面的两平面平行平行，相交，故C不正确；垂直于同一平面的两直线平行，故D正确；故选：D3若双曲线方程为=1，则双曲线渐近线方程为（）ABCy=4xDy=x【考点】双曲线的简单性质【分析】由双曲线方程与渐近线方程的关系，只要将双
8、曲线方程中的“1”换为“0”，化简整理，可得渐近线方程【解答】解：由双曲线方程与渐近线方程的关系，将双曲线方程中的“1”换为“0”，有=0，即为y=x故选：B4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC与A1D所在直线所成的角等于（）A30B45C60D90【考点】异面直线及其所成的角【分析】首先通过做平行线把异面直线知识转化为平面知识，进一步解三角形求出结果【解答】解：设正方体的边长为1连结：A1C1、C1D，在A1DC1中，利用边长求得：A1DC1为等边三角形AC与A1D所在直线所成的角60故选：C5已知F1、F2为椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点若|F2A|+|F
9、2B|=30，则|AB|=（）A16B18C22D20【考点】椭圆的简单性质【分析】由椭圆的定义得，则|AB|+|AF2|+|BF2|=52，由此可求出|AB|的长【解答】解：由椭圆的定义得，两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=52，又|F2A|+|F2B|=30，|AB|+30=52，|AB|=22故选：C6方程kx2+4y2=4k表示焦点在x轴的椭圆，则实数k的取值范围是（）Ak4Bk=4Ck4D0k4【考点】椭圆的简单性质【分析】直接利用椭圆的简单性质考查不等式求解即可【解答】解：方程kx2+4y2=4k表示焦点在x轴的椭圆，即方程表示焦点在x轴的椭圆，可得4k0故选：D7设a1
10、，则双曲线的离心率e的取值范围是（）ABC（2，5）D【考点】双曲线的简单性质【分析】根据题设条件可知：，然后由实数a的取值范围可以求出离心率e的取值范围【解答】解：，因为是减函数，所以当a1时，所以2e25，即，故选B8已知双曲线=1（a0，b0）的一个焦点与抛物线y2=4的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）Ax2=1Bx2y2=15C =1Dx2y2=9【考点】双曲线的简单性质【分析】根据抛物线的焦点坐标，双曲线的离心率等于，确定双曲线中的几何量，从而可得双曲线方程【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（，0）双曲线=1（a0，b0）的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点
11、重合，c=双曲线的离心率等于，a=3b2=c2a2=1双曲线的方程为=1故选：C9已知对kR，直线ykx1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是（）A（0，1）B（0，5）C1，5）（5，+）D1，5）【考点】椭圆的简单性质；恒过定点的直线【分析】要使直线ykx1=0恒过点（0，1），需点（0，1）在椭圆上或椭圆内，进而求得m的范围【解答】解：直线ykx1=0恒过点（0，1），仅当点（0，1）在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点，而点（0，1）在y轴上，所以，1且m0，得m1，而根据椭圆的方程中有m5，故m的范围是1，5）（5，+），故本题应选C10设圆（x+1）2+y2=2
12、5的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（）ABCD【考点】圆锥曲线的轨迹问题【分析】根据线段中垂线的性质可得，|MA|=|MQ|，又|MQ|+|MC|=半径5，故有|MC|+|MA|=5|AC|，根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出a、b值，即得椭圆的标准方程【解答】解：由圆的方程可知，圆心C（1，0），半径等于5，设点M的坐标为（x，y ），AQ的垂直平分线交CQ于M，|MA|=|MQ| 又|MQ|+|MC|=半径5，|MC|+|MA|=5|AC|依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以 A、C 为焦点的椭圆，且 2a=5，c
13、=1，b=，故椭圆方程为 =1，即 故选D11已知点P是椭圆=1（xy0）上的动点，F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，O为原点，若M是F1PF2的角平分线上的一点，且F1MMP，则OM的长度取值范围（）A0，3）BCD0，4）【考点】椭圆的简单性质【分析】延长PF2、F1M，交与N点，连接OM，利用等腰三角形的性质、三角形中位线定理和椭圆的定义，证出|OM|=|PF1|PF2|再利用圆锥曲线的统一定义，化简得|PF1|PF2|=|x0|，利用椭圆上点横坐标的范围结合已知数据即可算出OM的长度取值范围【解答】解：如图，延长PF2、F1M，交与N点，连接OM，PM是F1PF2平分线，F1MMP，|
14、PN|=|PF1|，M为F1F2中点，O为F1F2中点，M为F1N中点|OM|=|F2N|=|PN|PF2|=|PF1|PF2|设P点坐标为（x0，y0），在椭圆=1中，离心率e=，由圆锥曲线的第二定义，得|PF1|=a+ex0，|PF2|=aex0，|PF1|PF2|=|a+ex0a+ex0|=|2ex0|=|x0|P点在椭圆=1上，|x0|0，4，又x0，y0，可得|x0|（0，4），|OM|（0，2），OM的长度取值范围是（0，2）故答案选：B12如图所示，A，B，C是双曲线=1（a0，b0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BFAC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率
15、是（）ABCD3【考点】双曲线的简单性质【分析】运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，求得A的坐标，由对称得B的坐标，由于BFAC且|BF|=|CF|，求得C的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，化简整理成离心率e的方程，代入选项即可得到答案【解答】解：由题意可得在直角三角形ABF中，OF为斜边AB上的中线，即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c，设A（m，n），则m2+n2=c2，又=1，解得m=，n=，即有A（，），B（，），又F（c，0），由于BFAC且|BF|=|CF|，可设C（x，y），即有=1，又（c+）2+（）2=（xc）2+y2，可得x=，y=，将C（
16、，）代入双曲线方程，可得=1，化简可得（b2a2）=a3，由b2=c2a2，e=，可得（2e21）（e22）2=1，对照选项，代入检验可得e=成立故选：A二、选择题（共4小题，每小题5分，共20分）13过点（1，2）的抛物线的标准方程是y2=4x或x2=y【考点】抛物线的简单性质【分析】先设出抛物线的标准方程，把点P坐标代入，即可求得p，则抛物线方程可得【解答】解：设抛物线方程为y2=2px或x2=2py（p0），抛物线过点（1，2），2p1=4或2p（2）=1，2p=4或，抛物线的标准方程为y2=4x或x2=y，故答案为：y2=4x或x2=y14某几何体的三视图如图所示，它的体积为57【考点
17、】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：原几何体是由上下两部分组成，其中下面是一个底面半径为3，高为5的圆柱；上面是一个与圆柱的上底面重合、母线长为5的圆锥据此可计算出答案【解答】解：由三视图可知：原几何体是由上下两部分组成：下面是一个底面半径为3，高为5的圆柱；上面是一个与圆柱的上底面重合、母线长为5的圆锥圆锥的高h=4V=57故答案为5715已知抛物线y=x2上存在两个不同的点M，N关于直线l：y=kx+对称，求k的取值范围（，）（，+）【考点】抛物线的简单性质【分析】设出M、N的中点P的坐标，根据P在抛物线内，建立不等式，即可求出k的取值范围【解答】解：设抛物线上y=x2存在两个不同
18、的点M、N关于y=kx+对称，MN的中点为P（x0，y0）（x00），kMN=x1+x2=2x0=，x0=，Pl，y0=kx0+，y0=4，P在抛物线内，y0x02，即4（）2，16k210，解得：k（，）（，+）故答案为：（，）（，+）16如图，已知椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上任意一点，过F2作F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为点Q，过点Q作y轴的垂线，垂足为N，线段QN的中点为M，则点M的轨迹方程为【考点】圆锥曲线的轨迹问题【分析】点F2关于F1PF2的外角平分线PQ的对称点Q在直线F1P的延长线上，故|F1Q|=|PF1|+|PF2|=2a（椭圆长轴长），又OQ是F2F1Q的中
19、位线，故|OQ|=a，由此可以求点M的轨迹方程【解答】解：点F2关于F1PF2的外角平分线PQ的对称点Q在直线F1P的延长线上，故|F1Q|=|PF1|+|PF2|=2a（椭圆长轴长），又OQ是F2F1Q的中位线，故|OQ|=2，设M（x，y），则Q（2x，y），所以有4x2+y2=4，故答案为三、解答题（共6小题，共70分）17如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱VA底面ABCD，点E为VA的中点（）求证：VC平面BED；（）求证：平面VAC平面BED【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】（）连结OE，证明：OEVC，利用线面平行的判定定理证明VC平面B
20、ED；（）证明BD平面VAC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面VAC平面BED【解答】证明：（）连结OE底面ABCD是正方形，O为AC的中点又E为VA的中点，OEVC又VC平面BED，OE平面BED，VC平面BED（）VA平面ABCD，VABD又 ACBD，ACVA=A，BD平面VACBD平面BED，平面VAC平面BED18盒中有5只灯泡，其中2只次品，3只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：（1）取到的2只中正品、次品各一只；（2）取到的2只中至少有一只正品【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（1）从5只灯泡中有放回地任取两只，共有52种不同取法由
21、于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能，第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品，根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率，得到结果（2）取到的两只中至少有一只正品是取到的两只都是次品的对立事件，先做出两只都是次品的概率，再根据对立事件的概率公式，得到概率【解答】解：从5只灯泡中有放回地任取两只，共有52=25种不同取法（1）由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品所求概率为P=；（2）由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件所求概率为P=1=即取到的2只中正品、
22、次品各一只的概率为；取到的2只中至少有一只正品的概率为19经过点M（2，2）作直线L交双曲线x2=1于A，B两点，且M为AB中点（1）求直线L的方程；（2）求线段AB的长【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）可先设A（x1，Y1），B（X2，Y2），再分别代入双曲线方程，作差即可求出直线斜率，进而可求直线方程（2）把（1）中所求直线方程代入双曲线方程，利用根与系数关系，求x1+x2和x1x2，再利用弦长公式求线段AB的长【解答】解（1）设A（x1，Y1），B（X2，Y2），则x1+x2=4，y1+y2=4，由，得（x1+x2）（x1x2）（y1+y2）（y1y2）=0所以kAB=4直线
23、L的方程为y=4x6（2）把y=4x6代入x2=1消去y得3x212x+10=0所以（x1+x2）=4，x1x2=，从而得|AB|=20如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BC=2BB1，ABC=90，D为BC的中点（）求证：A1B平面ADC1；（）求二面角CADC1的余弦值；（）若E为A1B1的中点，求AE与DC1所成的角【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法【分析】可设AB=BC=2BB1=2，以B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系（）求得则有=（2，0，1），=（2，1，0），=（2，2，
24、1），设平面ADC1的法向量为=（x1，y1，z1），运用向量垂直的条件，可得法向量，再由法向量和垂直，即可得证；（）由（）可得平面ADC1的法向量和平面ACD的法向量，运用向量的数量积的坐标表示，求得它们夹角的余弦，即可得到所求；（）求得向量，的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，求得余弦，即可得到所求角【解答】（）证明：可设AB=BC=2BB1=2，以B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，A1（2，0，1），B（0，0，0），A（2，0，0），D（0，1，0），C1（0，2，1），则有=（2，0，1），=（2，1，0），=（2，2，1
25、），设平面ADC1的法向量为=（x1，y1，z1），由，可得2x1+y1=0，且2x1+2y1+z1=0，可取x1=1，y1=2，z1=2即有=（1，2，2），由于=2+0+2=0，即有，则A1B平面ADC1；（）解：由（）可得=（2，1，0），=（2，2，1），=（0，1，0），由C1C平面ABC，即有平面ABC的法向量为=（0，0，1），由（）可得平面ADC1的法向量为=（1，2，2），由cos，=故二面角CADC1的余弦值为；（）解：E为A1B1的中点，则E（1，0，1），=（1，0，1），=（0，1，1），cos，=，由0，可得，=，则AE与DC1所成的角为21设椭圆E：过，两点，O为
26、坐标原点（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A、B，且？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由【考点】圆与圆锥曲线的综合【分析】（1）利用待定系数法，可求椭圆E的方程；（2）分类讨论，设出切线方程与椭圆方程联立，要使，需使x1x2+y1y2=0，结合韦达定理，即可求解【解答】解：（1）因为椭圆E：（a，b0）过M（2，），N（，1）两点，所以，解得，所以，所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，设该圆的切线方程为y=kx+m解方程组得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2
27、k2）x2+4kmx+2m28=0，则=16k2m24（1+2k2）（2m28）=8（8k2m2+4）0，即8k2m2+40，设A（x1，y1），B（x2，y2），则要使，需使x1x2+y1y2=0，即，所以3m28k28=0，所以又8k2m2+40，所以，所以，即或，因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为，所以，所以，所以所求的圆为，此时圆的切线y=kx+m都满足或，而当切线的斜率不存在时，切线为与椭圆的两个交点为或，满足，综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且22设直线l（斜率存在）交抛物线y2=2px（p0，且p是常数）于两
28、个不同点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，且满足=x1x2+2（y1+y2）（1）若y1+y2=1，求直线l的斜率与p之间的关系；（2）求证：直线l过定点；（3）设（1）中的定点为P，若点M在射线PA上，满足，求点M的轨迹方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）设直线l的方程为y=kx+b，由，得ky22py+2pb=0，再由根的判别式和根与系数的关系，可知直线l的斜率与p之间的关系（2）由题设知，y1y2=2（y1+y2）则，得b=2所以直线l的方程为y=kx+2由此知直线l过定点（0，2）（3）分别过点A、M、B向y轴作垂线，垂足分别为A，M，B，设M（x，y），由，可得所以由此入手可求出点M的轨迹方程【解答】解：（1）设直线l的方程为y=kx+b，由，得ky22py+2pb=0，由题知k0，=4p28kpb0，且又y1+y2=1，k=2p直线l的斜率k与p之间的关系为k=2p（2）由（1），有，又+2（y1+y2），y1y2=2（y1+y2）则，得b=2直线l的方程为y=kx+2直线l过定点（0，2）（3）分别过点A、M、B向y轴作垂线，垂足分别为A，M，B，设M（x，y），由，可得，=，=4p216kp0，1y3，y2y=kx+2，点M的轨迹方程为2016年12月5日