1、三十 抛物线的几何性质(15 分钟 30 分)1过抛物线 C：y18 x2 的焦点 F 的直线交抛物线 C 于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 Ma，52，则|AB|()A8116B418 C13 D9【解析】选 D.由题意可得抛物线的标准形式为：x28y，所以准线方程为 y2，由题意可得 A，B 的纵坐标之和为52 25，所以弦长|AB|549.【补偿训练】已知 F 是抛物线 x22y 的焦点，A，B 是抛物线上的两点，|AF|BF|6，则线段 AB 的中点到 x 轴的距离为_【解析】因为|AF|BF|6，由抛物线的定义可得|AD|BE|6，又线段 AB 的中点到抛物线准线 y12 的距
2、离为12(|AD|BE|)3，所以线段AB 的中点到 x 轴的距离为52.答案：52 2设抛物线的焦点到顶点的距离为 3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()A(6，)B6，)C(3，)D3，)【解析】选 D.因为抛物线的焦点到顶点的距离为 3，所以p2 3，即 p6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为p2，所以抛物线上的点到准线的距离的取值范围为3，).3已知抛物线 y22px(p0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A，B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx1Cx2 Dx2【解析】选 B.抛物线的焦点为 Fp2，0，所以过焦点且
3、斜率为 1 的直线方程为 yxp2，即 xyp2，代入 y22px 消去 x，得 y22pyp2，即 y22pyp20，由根与系数的关系得y1y22p2(y1，y2 分别为点 A，B 的纵坐标)，所以抛物线方程为 y24x，准线方程为 x1.4直线 yx1 被抛物线 y24x 截得的线段的中点坐标是_.【解析】设线段的端点为(x1，y1)，(x2，y2)，将 yx1 代入 y24x，整理得 x26x10.由根与系数的关系，得 x1x26，x1x223，所以y1y22x1x2226222，所以所求点的坐标为(3，2).答案：(3，2)5以抛物线 C：y22px(p0)的顶点为圆心的圆交 C 于
4、A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点已知|AB|2 6，|DE|2 10，求 p 的值【解析】如图：|AB|2 6，|AM|6，|DE|2 10，|DN|10，|ON|p2，所以 xA()622p3p，因为|OD|OA|，所以|ON|2|DN|2|OM|2|AM|2，所以p24 10 9p2 6，解得：p 2.(30 分钟 60 分)一、单选题(每小题 5 分，共 20 分)1(2020南昌高二检测)已知拋物线 x2ay 的焦点恰好为双曲线y23 x22 的上焦点，则 a()A4 B8 2C8 D8【解析】选 B.抛物线 x2ay(a0)的焦点为0，a4，双曲线y23 x22 的焦点为
5、()0，2 2，因为 a0，所以a4 2 2，所以 a8 2.2(2020重庆高二检测)已知抛物线 y22px()p0与圆 x2y25 交于 A，B 两点，且|AB 4，则 p()A 2B1 C2 D4【解析】选 C.由题意知，抛物线与圆交于 A，B 两点，且|AB 4，因为两个曲线都关于 x 轴对称，所以 A，B 两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，故可设 A()m，2()m0，B()m，2，代入圆的方程得 m2225，解得 m1，故 A()1，2，B()1，2，代入抛物线方程可得 42p，即 p2.3(2020深圳高二检测)已知 O 为坐标原点，抛物线 E：x22py(p0)的焦点为 F，
6、过焦点 F 的直线交 E 于 A，B 两点，若 OFA 的外接圆圆心为 Q，Q 到抛物线 E的准线的距离为34，则 p()A1 B2 C3 D4【解析】选 A.由题意知，抛物线 E：x22py(p0)的焦点为 F0，p2，准线为 yp2，因为 Q 在线段 OF 的垂直平分线上，故 Q 的纵坐标为p4，所以p4 p2 34，所以p1.4设 F 为抛物线 y24x 的焦点，A，B，C 为抛物线上不同的三点，点 F 是 ABC的重心，O 为坐标原点，OFA，OFB，OFC 的面积分别为 S1，S2，S3，则S21 S22 S23()A9 B6 C3 D2【解析】选 C.设 A，B，C 三点的坐标分别
7、为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，因为抛物线 y24x 的焦点 F 的坐标为(1，0)，所以 S112|y1|，S212|y2|，S312|y3|，所以 S21 S22 S23 14(y21 y22 y23)x1x2x3，因为点 F 是ABC 的重心，所以 x1x2x33，所以 S21 S22 S23 3.二、多选题(每小题 5 分，共 10 分，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分)5点 A(2，1)到抛物线 y2ax 准线的距离为 1，则 a 的值可能为()A4 B 112 C12 D12【解析】选 AC.因为抛物线的标准方程为 y2ax，若 a0
8、，则准线方程为 xa4，由题设可得 2a4 1，则 a4，不合题意，舍去；若 a0的焦点为 F，直线的斜率为3 且经过点 F，直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点(点 A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点 D，若|AF 4，则以下结论正确的是()Ap2 BF 为 AD 中点C|BD 2|BFD|BF 2【解析】选 ABC.如图所示：作 AC准线于点 C，AMx 轴于点 M，BE准线于点 E.直线的斜率为 3，故 tan AFM 3，AFM3，|AF 4，故|MF 2，|AM 2 3.Ap22，2 3，代入抛物线得到 p2；|NF|FM 2，故 AMFDNF，故 F 为 AD 的中点，B
9、DE6，故|DB 2|BE 2|BF，|BD 2|BF，|BD|BF|DF|AF 4，故|BF 43.三、填空题(每小题 5 分，共 10 分)7抛物线 y24x 的焦点为 F，点 P 为抛物线上的动点，点 M 为其准线上的动点，当 FPM 为等边三角形时，其面积为_【解析】据题意知，PMF 为等边三角形时，PFPM，所以 PM 垂直抛物线的准线，设 Pm24，m，则 M(1，m)，则等边三角形边长为 1m24，因为 F(1，0)，所以由 PMFM，得 1m24（11）2m2，解得 m212，所以等边三角形边长为 4，其面积为 4 3.答案：4 38已知直线 l 过抛物线 y22px(p0)的
10、焦点且与抛物线相交，其中一个交点为(2p，2p)，则其焦点弦的长度为_【解析】由题意知，直线 l 过p2，0和(2p，2p)，所以直线 l：y43 xp2.设另一交点坐标为(x1，y1)，联立y22px，y43xp2，整理得 8x217px2p20.由根与系数的关系，得 x12p17p8，所以焦点弦的长度为 x12pp25p8.答案：25p8四、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9抛物线的顶点在原点，以 x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为 135的直线被抛物线所截得的弦长为 8，试求抛物线方程【解析】当抛物线的焦点在 x 轴正半轴上时，设抛物线方程为 y22px(p0)，焦点坐标为12p
11、，0.因为直线过点12p，0且倾斜角为 135，所以直线方程为 yx12 p.设直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p8.由yx12p，y22px，消去 y，得 x23pxp24 0.所以 x1x23p.由得 p2，所以所求抛物线方程为 y24x.当抛物线的焦点在 x 轴负半轴上时，同理可求得抛物线方程为 y24x.综上，所求抛物线的方程为 y24x 或 y24x.10已知点 F 为抛物线 E：y22px(p0)的焦点，点 A(2，m)在抛物线 E 上，且|AF|3.(1)求抛物线 E 的方程；(2)已知点 G(1，0)，延长 AF 交抛物线 E 于点 B，证
12、明：以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆，必与直线 GB 相切【解析】(1)由抛物线的定义，得|AF|2p2.因为|AF|3，即 2p2 3，解得 p2，所以抛物线 E 的方程为 y24x.(2)因为点 A(2，m)在抛物线 E：y24x 上，所以 m2 2，由抛物线的对称性，不妨设 A(2，2 2).由 A(2，2 2)，F(1，0)可得，直线 AF 的方程为 y2 2(x1).由y2 2（x1）y24x，得 2x25x20，解得 x2 或 x12，从而 B12，2.又 G(1，0)，所以 kGA2 202（1）2 23，kGB 2012（1）2 23，所以 kGAkGB0，从而AGFB
13、GF，这表明点 F 到直线 GA，GB 的距离相等，故以 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切【创新迁移】1(多选题)已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，其上的三个点 A，B，C 的横坐标之比为 345，则以|FA|，|FB|，|FC|为边长的三角形不可能是()A等腰直角三角形B必是锐角三角形C必是钝角三角形D必是直角三角形【解析】选 ACD.设 A，B，C 三点的横坐标分别为 x1，x2，x3，x13k，x24k，x35k(k0)，由抛物线定义，得|FA|p2 3k，|FB|p2 4k，|FC|p2 5k，易知三者能构成三角形，|FC|所对角为最大角，由余弦定理可证
14、该角的余弦值为正数，故此三角形一定是锐角三角形故不正确的为 ACD.2如图，抛物线 E：y24x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 A.点 C 在抛物线E 上，以 C 为圆心，|CO|为半径作圆，设圆 C 与准线 l 交于不同的两点 M，N.(1)若点 C 的纵坐标为 2，求|MN|.(2)若|AF|2|AM|AN|，求圆 C 的半径【解析】(1)抛物线 y24x 的准线 l 的方程为 x1.由点 C 的纵坐标为 2，得点 C 的坐标为(1，2)，所以点 C 到准线 l 的距离 d2，又|CO|5.所以|MN|2|CO|2d2 2 54 2.(2)设 Cy204，y0，则圆 C 的方程为xy2042(yy0)2y4016 y20，即 x2y202xy22y0y0.由 x1，得 y22y0y1y2020，设 M(1，y1)，N(1，y2)，则4y20 41y202 2y20 4.y1y2y202 1.由|AF|2|AM|AN|，得|y1y2|4，所以y20214，解得 y0 6，此时 0.所以圆心 C 的坐标为32，6或32，6，从而|CO|2334，|CO|332，即圆 C 的半径为 332.
