1、 考纲解读 1了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点 2了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点 考向预测 1本节主要考查对综合法和分析法的理解和简单的应用，反证法一般不会单独命题 2综合法和分析法在历年高考中均有体现，成为高考的重点和热点之一选择题、填空题的形式较少主要是综合法、分析法的思想渗透到解答题中 知识梳理 1直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理、法则等，直接推证结论的真实性 2综合法 从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，把这样
2、一种思维方法称为综合法综合法是一种的证明方法由因导果 综合法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)P1P2Pn(结论)3分析法 从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理定理等，把这种思维方法称为分析法 分析法是一种的证明方法，用分析法证明的逻辑关系是：B(结论)B1B2BnA(已知)执果索因 分析法的特点是：从“未知”看需知，逐步靠拢“已知”，其每步推理都是寻求使每一步结论成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归纳为判定一个明显成立的条件为止 综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其每步推理都是寻找使每一步结论
3、成立的必要条件 4反证法 在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而断定命题结论的反面不可能成立由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法 数学中的命题，都有题设条件和结论两部分，反证法是从否定这个命题的结论出发，通过正确、严密的逻辑推理，由此引出一个新的结论，而这个新结论与已知矛盾，得出结论的反面不正确，从而肯定原结论是正确的一种间接证明方法 应用反证法证明数学命题的一般步骤：(1)；(2)；(3)。作出否定结论的假设进行推理，导出矛盾否定
4、假设，肯定结论 答案 B基础自测1已知 ab0，且 ab1，若 0c1，plogca2b22，qlogc(1a b)2，则 p，q 的大小关系是()Apq Bpq Cpq Dpq解析 a2b22ab1，plogca2b220，又 qlogc(1a b)2logc1ab2 ablogc14 ablogc140，qp.答案 A2若不等式(1)na21n1n对于任意正整数 n 恒成立，则实数 a 的取值范围是()A2，32)B(2，32)C3，32 D(3，32)解析 由(1)na21n1n当 n 为偶数时，a21n1n 21n32，2)，a0，b0，如果不等式2a1bm2ab恒成立，那么 m 的最
5、大值等于_解析 a0，b0，2ab0.不等式可化为 m2a1b(2ab)52baab.52baab 549，即其最小值为 9，m9，即 m 的最大值等于 9.7已知 a0，b0，c0.求证：lgab2 lgbc2 lgca2 lgalgblgc.证明 a0，b0，c0，ab2 ab0，bc2 bc0，ca2 ca0.又a，b，c 是不全相等的正数，ab2 bc2 ca2 abc，lgab2 bc2 ca2lgabc，即 lgab2 lgbc2 lgca2 lgalgblgc.分析 从已知条件和已知不等式入手，推出所要证明的结论例 1 已知 ab0，求证：a b ab.证明 ab0，b ab，即
6、 2b2 ab.进而2 ab2b，于是 a2 abbab2b，即 0(a b)2ab，a b ab.点评 综合法从正确地选择已知其为正确的命题出发，依次推出一系列的真命题，最后达到我们所要证明的结论在用综合法论证命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能够想到从哪里起步我们一般地处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层递进，步步为营，由已知逐渐地引导出结论 已知a，b，c为互不相等的实数，求证：a4b4c4abc(abc)分析 从已知不等式a2b22ab出发，一步步由因到果直至推出要证的结论 证明 a4b42a2b2，b4c42b2c2，c4a42a2c2.又a，b，c互不相等，上面
7、三式中至少有一个式子不能取“”号，a4b4c4a2b2b2c2c2a2 a2b22ab，a2c2b2c22abc2，同理a2b2a2c22a2bc，b2c2b2a22ab2c，a2b2b2c2c2a2abc2a2bcab2c 由得a4b4c4abc(abc)点评(1)综合法也是中学数学证明中常用的一种方法它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证结论的真实性简言之，综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法(2)当用 a2b22ab，ab2 ab(a0，b0)这些不等式性
8、质来证明一个严格不等式(不含“”号)时，说明所应用的不等式性质中“”号不成立的原因是必须的.例 2 是否存在常数 C，使得不等式x2xyyx2yCxx2yy2xy对任意正数 x，y 恒成立？试证明你的结论分析 本题主要考查用分析法证明不等式及分析问题、解决问题的能力可先令 x，y 为具体的值，确定出常数 C，再给出一般证明令 xy1，得23C23，C23，下面给出证明：证明 先证明x2xyyx2y23，因为 x0，y0，要证：x2xyyx2y23，只需证 3x(x2y)3y(2xy)2(2xy)(x2y)，即 x2y22xy，这显然成立，x2xyyx2y23.再证：xx2yy2xy23，只需证
9、：3x(2xy)3y(x2y)2(x2y)(2xy)，即 2xyx2y2，这显然成立，xx2yy2xy23.综上所述，存在常数 C23，使对任何正数 x，y 都有：x2xyyx2y23xx2yy2xy成立 点评 当要证的不等式较复杂，两端差异难以消除或者已知条件信息量太少，已知与待证间的联系不明显时，一般可采用分析法，分析法是步步寻求不等式成立的充分条件，而实际操作时往往是先从要证的不等式出发，寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分，这种“逆求”过程，能培养学生的发散思维能力，也是分析问题、解决问题时常用的思考方法已知ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列，且其所对的边长分
10、别为 a、b、c.求证：1ab 1bc3abc.证明 要证 1ab 1bc3abc成立，只需证abcab abcbc 3，即证 cab abc1 成立，只需证 c(bc)a(ab)(ab)(bc)，即证 b2a2c2ac 成立即可又在ABC 中，角 A、B、C 成等差数列，由2BAC，ABC，得 B3.由余弦定理得 b2a2c22accosB，b2a2c22accos3.b2a2c2ac，从而命题得证.例3 已知abc0，求证：abbcca0.证明 方法 1(综合法)abc0，(abc)20，展开得(abbcca)a2b2c22，abbcca0.方法 2(分析法)要证 abbcca0，abc0
11、.故只需证 abbcca(abc)2，即证 a2b2c2abbcca0，亦即证12(ab)2(bc)2(ca)20.而这是显然的，由于以上相应各步均可逆，原不等式成立 点评 一题多解可培养发散思维能力很多问题往往是用分析法寻找解题思路，用综合法写出解题过程，要善于利用这种良好的思维习惯培养自己发现问题、分析问题、解决问题的能力方法 3 abc0，cab，abbccaab(ba)cab(ab)2a2b2ab(ab2)23b24 0，abbcca0.已知 a0，1b1a1，求证：1a11b.解析(分析法)由已知1b1a1 及 a0，可知 b0，要证 1a11b，可证 1a 1b1，即证 1abab
12、1，这只需证 abab0，即abab 1，即1b1a1，而这正是已知条件，以上各步均可逆推，所以原不等式得证(综合法)1b1a1 及 a0，可知 1b0，1b1a1，abab0,1abab1，(1a)(1b)1.由 a0,1b0，得 1a 1b1，即 1a11b.点评 对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的分析法的特点可描述为“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”；分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握，而综合法的优点是易于表述，条理清晰，形式简洁 分析
13、已知条件较少，结论反而有三种情况，故联想到从结论的反面入手较易，即使用反证法例 4 已知 a0，b0，且 ab2，求证：1ba，1ab 中至少有一个小于 2.点评 结论若是“都是”“都不是”“至多”“至少”形式的不等式，或直接从正面入手难以寻觅解题突破口的问题，宜考虑使用反证法证明 假设1ba，1ab 都不小于 2，即1ba 2，1ab 2.a0，b0，1b2a,1a2b，11ab2(ab)，即 2ab，这与已知 ab2 矛盾，故假设不成立即1ba，1ab 中至少有一个小于 2。用反证法证明不等式 若p0，q2，即p2q，p3(2q)3812q6q2q3，即812q6q2(q3p3)0，612
14、q6q20，那么q22q10，(q1)20与(q1)20相矛盾，故假设不成立，pq2.点评 条件与结论之间的因果关系不是很明显，直接证明无从着手，可考虑使用反证法.反证法是常用的一种重要的思维方式和数学方法，在平面几何、不等式及立体几何中有着广泛的应用 1关于综合法与分析法 分析法的特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件 综合法的特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件 从而看出，分析法与综合法是两种思路截然相反的证明方法，既对立又统一用综合法证题前往往用分析法寻找解题思路，即所谓的“分析”因此，分析法即可
15、用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程并且在解决较复杂问题时，往往是分析法与综合法相互结合使用 2关于反证法(1)用反证法证明问题的一般步骤 反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾与已知条件、已知公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立(2)用反证法证明问题时要注意以下三点：必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的(3)反证法主要适用于以下情形：结论本身是以否定形式出现的一类命题；关于唯一性、存在性的命题；结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题；结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题；要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰的命题 如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形
