1、55立体几何 多面体与球 要点疑点考点 课 前 热 身 能力思维方法 延伸拓展 误 解 分 析 多面体与球 要点疑点考点一、多面体(1)若干个平面多边形围成的几何体，叫多面体.(2)把多面体的任何一面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫凸多面体.(3)每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫正多面体.1.概念(1)设简单多面体的顶点数为V，面数为F，棱数为E，则它们的关系为V+F-E=22.欧拉公式(2)设正多面体每个面是正n边形，每个顶点有m条棱，顶点数为V，面数为F，则棱数或2mVE 2nFE 二、球(1)半圆以它的直径为
2、旋转轴，旋转所成的曲面叫球面，球面围成的几何体叫球体.(2)球面也可看成是与定点(球心)距离等于定长(半径)的所有点的集合.1.概念(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面；2.性质(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面半径r有如下关系：22dRr3.球面距离 4.表面积与体积 32344RVRS，为A、B对球心的张角，R为球半径.)RAB返回 A1.一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为()(A)(B)(C)(D)3463 3A2.已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，则顶点数V与面数F满足的关系式是()(A)2F+V=4(B)2F-V=4(C)2F+V=2(
3、D)2F-V=2课前热身A3.一个凸多面体的顶点数为20，棱数为30.则它的各面多边形的内角总和为()(A)2160(B)5400(C)6480(D)7200A4.将棱长为3的正四面体的各棱长三等分，经过靠近顶点的各分点，将原正四面体各顶点均截去一个棱长为1的小正四面体，剩下的多面体的棱数为()(A)16(B)17(C)18(D)19A返回 5.地球表面上从A地(北纬45，东经120)到B地(北纬45，东经30)的最短距离为(地球半径为R)()(A)R(B)(C)(D)R3R2R能力思维方法 1.已知凸多面体每个面都是五边形，每个顶点都有三条棱，试求该多面体的面数、顶点数和棱数.【解题回顾】用
4、欧拉公式V+F-E=2解题时，要善于发现棱数E与面数F、顶点数V的关系，一般有2mVE 2nFE 和2.在北纬60圈上，有甲、乙两地，它们的纬度圆上的弧长等于(R为地球半径)，求甲、乙两地间的距离.2R【解题回顾】求球面上两点的距离，就是求过这两点的大圆的劣弧长，而不是纬线上的劣弧长，求解的关键在于求两点的球心角的大小，利用弧长公式来求出：L=R即为所求球面距离.3.设一个凸多面体有V个顶点，求证它的各面多边形的内角总和为(V-2)360.【解题回顾】此题要大胆设各面为E1、E2EF边形，另外要知道E1+E2+EF=2E才行.4.三棱锥A-BCD的两条棱AB=CD=6,其余各棱长均为5，求三棱
5、锥的内切球半径.【解题回顾】正如三角形的内切圆经常与面积发生关系一样，多面体的内切球的半径也常与体积发生联系.返回 延伸拓展 5.过半径为R的球面上一点作三条两两垂直的弦MA、MB、MC.(1)求证：MA2+MB2+MC2为定值；(2)求三棱锥M-ABC的体积的最大值.【解题回顾】(1)MA、MB、MC两两垂直.根据球的对称性，采用补形的方法，可以把它补成一个球的内接长方体.长方体的对角线的平方就是球的直径的平方，即MA2+MB2+MC2=4R2.在做选择题、填充题时就可直接用这个结论.(2)在球中的线段计算问题，常转化为小圆半径，大圆半径及球心到截面距离来解决.返回 误解分析 返回 1.在涉及球内接正方体或长方体的题目中，作出的截若过对棱中点作横截面，将会出错.2.球面上两点间距离不是直线距离，也不是纬度圈上的劣弧长，而是指过这两点的球大圆上 的劣弧长，不能错啊!
