1、5.3 等比数列 5.3 等比数列 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1等比数列的相关概念及公式相关名词等比数列an的相关概念及公式定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于_，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比同一个常数相关名词等比数列an的相关概念及公式通项公式an_等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使得a，G，b成_，那么称G为a、b的等比中项，且有G_.前n项和公式Sn_a1qn1等比数列 abna1 q1a11qn1qa1anq1q q1思考感悟1b2ac是a，b，c成等比数列的什么条件？提示：b2a
2、c是a，b，c成等比数列的必要不充分条件，因为当b0，a，c至少有一个为零时，b2ac成立，但a，b，c不成等比，反之，若a，b，c成等比，则必有b2ac.2等比数列的性质(1)等比数列an满足_时，an是递增数列；满足_时，an是递减数列a10q1或a100q00q1 或a11(2)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积_特别地，若项数为奇数时，还等于_的平方(3)对任意正整数m、n、p、q，若mnpq，则_.特别地，若mn2p，则_.相等中间项amanapaqaaman思考感悟2数列an的前n项和为Sn，若Snaqnb(a，bR)，an是等比数列，则a，b满足的条件是什么？提示：ab0
3、.当公比 q1 时，Sna11qn1q可变形为 Sn a11qqn a11q，令 a11qm，上式可写成 Snmqnm.课前热身 1在等比数列an中，a53，则a3a7等于()A3 B6C9 D18答案：C2(2011年南阳调研)设a12，数列an1是以3为公比的等比数列，则a4的值为()A80 B81C54 D53答案：A3(2010年高考重庆卷)在等比数列an中，a20108a2007，则公比q的值为()A2 B3C4 D8答案：A4(教材习题改编)设an是等比数列，a12，a8256，则a2a3_.答案：125若数列an满足：a11，an12an(nN)，则Sn_.答案：2n1考点探究挑
4、战高考 考点突破 等比数列的判定及证明证明一个数列是等比数列的方法主要有两种：一是利用等比数列的定义，即证明q(q0，nN)；二是利用等比中项法，即证明aanan20(nN)在解题中，要注意根据欲证明的问题，对给出的条件式进行合理地变形整理，构造出符合等比数列定义式的形式，从而证明结论判断一个数列不是等比数列只需举出一个反例即可例1(2009年高考全国卷)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式【思路点拨】本题第(1)问将an2Sn2Sn1代入可以得到an的递推式，再由bnan12an代入即证；第(2
5、)问将bn的通项公式代入bnan12an，可得an的递推式，再依照题型模式求解即可【解】(1)证明：由已知有a1a24a12，解得a23a125，故b1a22a13，又an2Sn2Sn14an12(4an2)4an14an，于是an22an12(an12an)，即bn12bn.因此数列bn是首项为3，公比为2的等比数列(2)由(1)知等比数列bn中 b13，公比 q2，所以 an12an32n1，于是an12n1an2n34，因此数列an2n是首项为12，公差为34的等差数列，所以an2n12(n1)3434n14，所以 an(3n1)2n2(nN)【误区警示】本题的求解过程有两个常见的思维错
6、误：(1)没有注意到题目形式特点，将 anSnSn1 直接代入，从而出现下标的混乱(2)得到递推式 an12an32n1 后，不会转化成等差数列an12n1an2n34求解，只是看到等式右边是一个等比数列的形式，可以求和，于是结合平时的做题经验，企图利用叠加法求和，使计算繁琐且不能成功等比数列中基本量的计算等比数列基本量的计算是等比数列中的一类基本问题，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程尤其要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论例2(1)(2010年高考江西卷)等比数列an中，|a
7、1|1，a58a2，a5a2，则an()A(2)n1B(2)n1C(2)nD(2)n(2)(2010年高考辽宁卷)设Sn为等比数列an的前n项和，已知3S3a42,3S2a32，则公比q()A3 B4C5 D6(3)(2010 年高考辽宁卷)设an是由正数组成的等比数列，Sn 为其前 n 项和已知 a2a41，S37，则 S5()A.152B.314C.334D.172【思路点拨】根据题意，建立关于首项a1和公比q的方程组求解【解析】(1)记数列an的公比为 q，由 a58a2，得 a1q48a1q，即 q2.由|a1|1，得 a11，当 a11 时，a516a22，符合题意，故 ana1qn
8、1(2)n1.(2)3S3a423S2a32 ，得：3a3a4a3,4a3a4，qa4a34.(3)显然公比 q1，由题意得，a1qa1q31a11q31q7，解得a14q12，S5a11q51q41 125112314.【答案】(1)A(2)B(3)B【名师点评】等比数列中有五个量a1、n、q、an、Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解变式训练1 数列an中，a11，a22，数列anan1是公比为q(q0)的等比数列(1)求使anan1an1an2an2an3(nN)成立的q的取值范围；(2)若bna2n1a2n(nN)，求bn的通项公式解：(1)数列anan1是公比为 q(q0
9、)的等比数列，且 a1a2122，anan12qn1，由 anan1an1 an2an2an3(nN)有 2qn12qn2qn1(q0)，q2q10，解得 0q0q1或a100q00q1 或a11an为递减数列；(3)q1an为非零常数列；(4)q0an为摆动数列2等比数列其他性质(1)若数列an是等比数列，则can(c0)，|an|，a2n，1an也是等比数列，若bn是等比数列，则anbn也是等比数列(2)数列 am，amk，am2k，am3k，仍成等比数列(3)若等比数列an的项数为 2n，则S偶S奇q，其中 S 偶，S 奇分别是数列的偶数项的和与奇数项的和(4)anamqnm(m，nN)
10、等比数列的综合问题在解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，而正确利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式是解决问题的关键例4 已知等比数列an的前 n 项和为 Sn23nk(kR，nN)(1)求an的通项公式；(2)设数列bn满足 an4(5k)anbn，Tn 为数列bn的前 n 项和，求证：0Tn 316.【思路点拨】对于(1)，根据an与Sn的关系可求得k的值，从而得到an的通项公式；对于(2)，可先求出bn的通项公式，然后用错位相减法求出Tn，再结合Tn的单调性证明不等式【解】(1)当 n1 时，a1S16k，当 n2 时，anSnSn143n1，由于an是等比数列，所
11、以a2a1a3a2 anan1，因此有 126k3，解得 k2，这时 an43n1.(2)证明：由于 an4(5k)anbn，所以 43anbn43n1，故 anbnn1，从而 bn n143n1.所以 Tnb1b2b3b4bn 143 2432 3433 n143n1，3Tn14 243 3432 n143n2，得 2Tn14 143 1432143n2 n143n1，所以 Tn18 183 1832183n2 n183n1 3162n1163n1，令 f(n)2n1163n1，显然 f(n)随着 n 的增大而减小，故0f(n)f(1)316，故 0 316 2n1163n1 316，即 0
12、Tn0 且 b1，b，r 均为常数)的图像上(1)求 r 的值；(2)当 b2 时，记 bnn14an(nN)，求数列bn的前 n 项和 Tn.解：(1)因为对任意的nN，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图像上所以得Snbnr，当n1时，a1S1br，当n2时，anSnSn1bnr(bn1r)bnbn1(b1)bn1，又因为an为等比数列，所以r1，公比为b，所以an(b1)bn1，(2)当 b2 时，an(b1)bn12n1，bnn14an n142n1n12n1，则 Tn 222 323 424n12n1，12Tn 223 324 425 n2n1n12n2，
13、两式相减，得12Tn 222 123 124 125 12n1n12n2121231 12n1112n12n2 34 12n1n12n2，所以 Tn32 12nn12n1 32n32n1，方法感悟方法技巧1等比数列的判定方法有以下几种：(1)定义：an1an q(q 是不为零的常数，nN)an是等比数列(2)通项公式：ancqn(c、q 均是不为零的常数，nN)an是等比数列(3)等比中项公式：a2n1anan2(anan1an20，nN)an是等比数列(如例 1)2方程观点以及基本量(首项和公比a1，q)思想仍然是求解等比数列问题的基本方法：在a1，q，n，an，Sn五个量中，知三求二(如例
14、2)3等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题(如例3)4解决等比数列的综合问题时，首先要深刻理解等比数列的定义，能够用定义法或等比中项法判断或证明一个数列是等比数列；其次要熟练掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，能够用基本量方法和等比数列的性质解决有关问题(如例4)5SnmSnqnSm.失误防范1把等比数列与等差数列的概念和性质进行类比，可以加深理解，提高记忆效率注意三点：(1)等比数列的任何一项都不能为0，公比也不为0；(2)等比数列前n项和公式在q1和q1的情况下是不同的；(3)
15、等比数列可看作是比等差数列高一级的运算，一般等差数列中的“和”、“差”、“积”形式类比到等比数列中就变成“积”、“商”、“幂”的形式2由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.考情分析 考向瞭望把脉高考 等比数列是每年高考必考的知识点之一，考查重点是等比数列的定义、通项公式、性质、前n项和公式，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度中等偏高客观题主要考查对基本运算，基本概念的掌握程度；主观题考查较为全面，在考查基本运算，基本概念的基础上，又注重考查函数与方程、等价转化等思想方法预测2012年高考，等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式仍是考查重点，应特别重视等
16、比数列性质的应用规范解答例(本题满分12分)(2010年高考四川卷)已知等差数列an的前3项和为6，前8项和为4.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(4an)qn1(q0，nN)，求数列bn的前n项和Sn.【解】(1)设数列an的公差为 d，由已知，得3a13d6，8a128d4.解得 a13，d1.故 an3(n1)4n.4 分(2)由(1)可得 bnnqn1，于是Sn1 q02q13q2nqn1.6 分若 q1，将上式两边同乘以 q，得qSn1q12q2(n1)qn1nqn.两式相减，得(q1)Snnqn1q1q2qn1nqnqn1q1 nqn1n1qn1q1.于是，Snnqn1n1
17、qn1q12.9 分若 q1，则 Sn123nnn12.所以，Snnn12q1，nqn1n1qn1q12q1.12 分【名师点评】(1)本题易失误的是：解题时忽视公比q1的情形；用“错位相减法”求和时，“错位”出错；对“错位相减”后出现等比数列的项数判断出错(2)如果数列an是一个由等差数列bn及等比数列cn对应项之积组成的数列，即anbncn，则其前n项和的求解常用乘公比错位相减法，把问题转化为以求一个等比数列的前n项和或前n1项和为主的求和问题要注意错位相减后对剩余项可分为两部分，一是第一项与最后一项；二是中间项(等比数列)在用错位相减法求和时，一定要处理好这三部分，否则就会出错名师预测已
18、知定义域为 R 的二次函数 f(x)的最小值为 0 且有f(1x)f(1x)，直线 g(x)4(x1)被函数 f(x)的图像截得的弦长为 4 17，数列an满足 a12，(an1an)g(an)f(an)0(nN)(1)求函数 f(x)；(2)求数列an的通项公式；(3)设 bn3f(an)g(an1)，求数列bn的最值及相应的 n.解：(1)依题意，设 f(x)a(x1)2(a0)，则直线 g(x)4(x1)与函数 yf(x)图像的两个交点为(1,0)，(4a1，16a)，4a216a 24 17，a1，f(x)(x1)2.(2)f(an)(an1)2，g(an)4(an1)，(an1an)4(an1)(an1)20，(an1)(4an13an1)0，a12，an10，4an13an10，an1134(an1)，又 a111，数列an1是首项为 1，公比为34的等比数列，an1(34)n1，an(34)n11.(3)bn3(an1)24(an11)3(34)n124(34)n，设 bny，u(34)n1，则 y3(u12)2143(u12)234.nN，u 的值分别为 1，34，916，2764，经比较916距12最近，当 n3 时，bn 有最小值189256，当 n1 时，bn有最大值 0.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用