1、8.2 函数与数学模型 8.2.1 几个函数模型的比较 第8章 函数应用 学 习 任 务核 心 素 养1理解指数爆炸、直线上升、对数增长的含义(重点)2区分指数函数、一次函数以及对数函数增长速度的差异(易混点)3会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题(难点)借助三个函数模型的增长特征，培养数学运算、数学建模的核心素养.情境导学探新知 NO.1我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律下面就来研究一次函数、指数函数和对数函
2、数增长方式的差异知识点 三种函数模型的性质yax(a1)ylogax(a1)ykx(k0)在(0，)上的增减性_图象的变化趋势随x增大逐渐近似与_平行随x增大逐渐近似与_平行保持固定增长速度增函数增函数增函数y轴x轴yax(a1)ylogax(a1)ykx(k0)增长速度yax(a1)：随着 x 的增大，y 增长速度_，会远远大于 ykx(k0)的增长速度，ylogax(a1)的增长速度_；在描述现实问题的变化规律时，常用“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”来表示指数函数、一次函数、对数函数的增长方式当 x 足够大时，总有_越来越快越来越慢axkxlogax思考辨析(正确的画，错误的画)(1)
3、当 x 每增加一个单位时，y 增加或减少的量为定值，则 y 是 x 的一次函数()(2)对任意的 x0，kxlogax.()(3)对任意的 x0，axlogax.()(4)函数 ylog2x 增长的速度越来越慢()答案(1)(2)(3)(4)合作探究释疑难 NO.2类型1 几类函数模型的增长差异 类型2 指数函数、对数函数与一次函数模型的比较 类型3 函数模型的选择 类型 1 几类函数模型的增长差异【例 1】(1)下列函数中，增长速度最快的是()Ay2 019x By2 019Cylog2 019xDy2 019x(2)下面对函数 f(x)log12 x，g(x)12x 与 h(x)2x 在区
4、间(0，)上的递减情况说法正确的是()Af(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢Bf(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快Cf(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变Df(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快(1)A(2)C(1)指数函数 yax，在 a1 时呈爆炸式增长，并且随a 值的增大，增长速度越快，应选 A.(2)观察函数 f(x)log12 x，g(x)12x 与 h(x)2x 在区间(0，)上的图象(如图)可知：函数 f(x)的图象在区间(0,1
5、)上递减较快，但递减速度逐渐变慢，在区间(1，)上，递减较慢，且越来越慢；函数 g(x)的图象在区间(0，)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数 h(x)的图象递减速度不变常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型一次函数模型 ykxb(k0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变(2)指数函数模型指数函数模型 yax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”(3)对数函数模型对数函数模型 ylogax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓跟进训练1四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x
6、变化的数据如表：x151015202530y1226101226401626901y22321 024 37 768 1.05106 3.361071.07109y32102030405060y424.3325.3225.9076.3226.6446.907关于 x 呈指数函数变化的变量是_y2 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化从表格中可以看出，四个变量 y1，y2，y3，y4 均是从 2 开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 y2 的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量 y2 关于 x 呈指数型函数变化故填 y2.类型 2 指数函数、对数函数与一次函数模型的比较【例
7、 2】函数 f(x)2x 和 g(x)2x 的图象如图所示，设两函数的图象交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1x2.(1)请指出图中曲线 C1，C2 分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断 f32 与 g32，f(2 020)与 g(2 020)的大小解(1)C1 对应的函数为 g(x)2x，C2 对应的函数为 f(x)2x.(2)f(1)g(1)，f(2)g(2)，从图象上可以看出，当 1x2 时，f(x)g(x)，f32 g32；当 x2 时，f(x)g(x)，f(2 020)g(2 020)由图象判断指数函数、一次函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常
8、是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数跟进训练2函数 f(x)lg x，g(x)0.3x1 的图象如图所示(1)试根据函数的增长差异指出曲线 C1，C2 分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对 f(x)，g(x)的大小进行比较)解(1)C1 对应的函数为 g(x)0.3x1，C2 对应的函数为 f(x)lg x.(2)当 xf(x)；当 x1xg(x)；当 xx2时，g(x)f(x)；当 xx1 或 xx2 时，f(x)g(x)类型 3 函数模型的选择【例 3】某学校为了实现 60 万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的
9、奖励方案：在生源利润达到 5 万元时，按生源利润进行奖励，且奖金 y(单位：万元)随生源利润 x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过 3 万元，同时奖金不超过利润的 20%.现有三个奖励模型：y0.2x，ylog5x，y1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？解 作出函数 y3，y0.2x，ylog5x，y1.02x 的图象(如图所示)观察图象可知，在区间5,60上，y0.2x，y1.02x 的图象都有一部分在直线 y3 的上方，只有 ylog5x 的图象始终在 y3 和 y0.2x的下方，这说明只有按模型 ylog5x 进行奖励才符合学校的要求几类不同增长函数模型选择的方法(1)增长
10、速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数模型是一次函数模型(2)增长速度越来越快，即自变量增加相同量时，函数值的增量成倍增加，此时的函数模型是指数函数模型(3)增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越小，此时的函数模型是对数函数模型跟进训练3某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度 h(米)与生长时间 t(年)的相关数据，选择 hmtb 与 hloga(t1)来拟合 h与 t 的关系，你认为哪个符合？并预测第 8 年的松树高度t(年)123456h(米)0.611.31.51.61.7解 在坐标轴上标出 t(年)与 h(米)之间的关系如图所示由图象
11、可以看出增长的速度越来越慢，用一次函数模型拟合不合适，则选用对数函数模型比较合理不妨将(2,1)代入 hloga(t1)中，得 1loga3，解得 a3.故可用函数 hlog3(t1)来拟合这个实际问题当 t8 时，求得 hlog3(81)2，故可预测第 8 年松树的高度为 2 米当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 C 结合函数 y12x 的变化特征可知 C 正确1已知变量 y12x，当 x 减少 1 个单位时，y 的变化情况是()Ay 减少 1 个单位By 增加 1 个单位Cy 减少 2 个单位Dy 增加 2 个单位1 2 3 4 5 A 结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋
12、势可知 A正确2下列函数中，随 x 的增大而增大且速度最快的是()AyexByln xCy2xDyex1 2 3 4 5 3“红豆生南国，春来发几枝”如图给出了红豆生长时间 t(月)与枝数 y 的关系图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是()A指数函数 y2tB对数函数 ylog2tC幂函数 yt3D二次函数 y2t21 2 3 4 5 A 根据已知所给的关系图，观察得到图象在第一象限，且从左到右图象是上升的，并且增长速度越来越快，根据四个选项中函数的增长趋势可得，用指数函数拟合最好，故选 A.1 2 3 4 5 乙、甲、丙 将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y 值的大小即可求出4某人投资 x 元，获利 y 元，有以下三种方案甲：y0.2x，乙：ylog2x100，丙：y1.005x，则投资 500 元，1 000 元，1 500 元时，应分别选择_方案5 1 2 3 4 5某种产品每件 80 元，每天可售出 30 件，如果每件定价 120 元，则每天可售出 20 件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为_答案 y14x50(0 x1)指数爆炸；(3)ylogax(a1)对数增长点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
