1、高考资源网（ ），您身边的高考专家直线、平面垂直的判定和性质【考纲要求】1、掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理； 2、掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理3、能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题。【知识网络】直线、平面垂直判定定理性质定理线面垂直面面垂直判定定理性质定理【考点梳理】考点一、直线与平面垂直的判定1、定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面垂直；2、判定定理：（1）内容：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；（2）符合语言： 3、证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用平行线垂直于平
2、面的传递性（3）利用面面平行的性质（4）利用面面垂直的性质。要点诠释：当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，常用来证明线线垂直。考点二、直线与平面垂直的性质1、 如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。2、 如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另外一条也垂直于这个平面。考点三、平面与平面垂直的判定1、二面角的有关概念（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。2、平面与平面垂直（1）定义：如果两个平面所成的二面角是直二面
3、角，就说这两个平面互相垂直；（2）判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；（3）符号语言：3、证明面面垂直的主要方法是：利用判定定理。在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线，充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边，勾股定理等结论。用定义证明。只需判定两平面所成二面角为直二面角。客观题中，也可应用：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面。考点四、平面与平面垂直的性质1、判定定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面2、符号语言：要点诠释：立体几何中垂直问题的证明，通常是从线线垂直切入，然后向线面垂直或面面垂直延伸。
4、【典型例题】类型一、直线与平面垂直的判定例1、如图所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点.（1）求证：MNCD；（2）若PDA=45.求证：MN平面PCD.【证明】（1）连接AC，AN，BN，PA平面ABCD，PAAC，在RtPAC中，N为PC中点，AN=PC.PA平面ABCD，PABC，又BCAB，PAAB=A，BC平面PAB，BCPB，从而在RtPBC中，BN为斜边PC上的中线，BN=PC.AN=BN，ABN为等腰三角形，又M为底边的中点，MNAB，又ABCD，MNCD.（2）连接PM、CM,PDA=45，PAAD，AP=AD.四边形ABCD为矩形.AD=BC，P
5、A=BC.又M为AB的中点，AM=BM.而PAM=CBM=90,PM=CM.又N为PC的中点，MNPC.由（1）知，MNCD，PCCD=C,MN平面PCD.【总结升华】证明线面之间的垂直关系，要注意在各个阶段以某一直线为主线进行推理，以使推理过程清晰、明朗.举一反三：【变式】【高清课堂：直线、平面垂直的判定与性质例2】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CEAC,EF/AC，AB=,CE=EF=1（）求证：AF/平面BDE；（）求证：CF平面BDE;证明：（）设AC与BD交于点G。因为EFAG,且EF=1，AG=AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形所以AFEG因为EG平
6、面BDE,AF平面BDE,所以AF平面BDE（）连接FG，因为EFCG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形所以CFEG.因为四边形ABCD为正方形，所以BDAC.又因为平面ACEF平面ABCD,且平面ACEF平面ABCD=AC,所以BD平面ACEF.所以CFBD.又BDEG=G,所以CF平面BDE.类型二、直线与平面垂直的性质例2、如图所示，平面，点C在以AB为直径的O上，点E为线段PB的中点，点M在上，且（）求证：平面平面PAC；（）求证：平面PAC平面；【解析】（）证明：因为点E为线段PB的中点，点为线段的中点，学科王 所以 . 因为 平面，平面， 所以 平面PAC.
7、 因为 ， 因为 平面，平面， 所以 平面PAC. 因为 平面，平面，所以 平面平面PAC. （）证明：因为 点C在以AB为直径的O上，所以 ，即. 因为 平面，平面，所以 . 因为 平面，平面， 所以 平面.因为 平面， 所以 平面PAC平面. 【总结升华】（1）当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线。把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线段线线垂直，构造二面角的平面角或得到点到面的距离相等。（2）已知面面垂直时，通过作辅助线可转化为线面垂直，从而有更多的线线垂直的条件可用，必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系，通过证线面垂直来证线线垂直是空间中两直线垂直证明书的最
8、常用方法。举一反三：【变式】如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD平面ABCD，AB/DC，PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4。（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD；（2）求四棱锥P-ABCD的体积。【证明】（1）在ABD中，（2）过P作POAD，面PAD面ABCD，PO面ABCD，即PO为四棱锥P-ABCD的高。又PAD是边长为4的等边三角形，PO=。类型三、平面与平面垂直的判定例3、如图所示，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点.（1）证明：平面PBE平面PAC；（2）如何在BC上找一点F，使AD平面P
9、EF？并说明理由.【解析】（1）证明 因为PA底面ABC，所以PABE.又因为ABC是正三角形，且E为AC的中点，所以BECA.又PACA=A，所以BE平面PAC. 因为BE平面PBE，所以平面PBE平面PAC.（2）取CD的中点F，则点F即为所求.因为E、F分别为CA、CD的中点，所以EFAD.又EF平面PEF，AD平面PEF，所以AD平面PEF.【总结升华】证明线面、面面平行与垂直问题注意要转化为线线的平行与垂直问题。如图所示，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯 形，BAD=FAB=90,BCAD,BEFA,G、H分别为FA、FD的中点.（1）证明：四边形BCHG
10、是平行四边形；（2）C、D、F、E四点是否共面？为什么？（3）设AB=BE，证明：平面ADE平面CDE.方法一 (1)证明 由题设知,FG=GA,FH=HD,所以GHAD.又BCAD,故GHBC.所以四边形BCHG是平行四边形.(2)解 C、D、F、E四点共面.理由如下：由BEAF，G是FA的中点知，BEGF，所以EFBG.由（1）知BGCH，所以EFCH，故EC、FH共面.又点D在直线FH上，所以C、D、F、E四点共面.（3）证明 如图，连接EG，由AB=BE，BE AG及BAG=90知ABEG是正方形,故BGEA.由题设知,FA、AD、AB两两垂直，故AD平面FABE，因此EA是ED在平面
11、FABE内的射影，根据三垂线定理，BGED.又EDEA=E,所以BG平面ADE.由(1)知,CHBG,所以CH平面ADE.由(2)知CH平面CDE,得平面ADE平面CDE.举一反三：【变式】如图，在四棱锥中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，与的交点为O. （）求证：平面；OSABCDE（）已知为侧棱上一个动点. 试问对于上任意一点，平面与平面是否垂直？若垂直，请加以证明；若不垂直，请说明理由. 【解析】证明：（）因为四边形是正方形，所以O是，中点.由已知，, ,所以,又，所以平面. （）对于上任意一点，平面平面.证明如下：由（）知，而，所以.又因为四边形是正方形，所以.因为，所以.又
12、因为，所以平面平面. 类型四、平面与平面垂直的性质及应用例4如图，在边长为的正三角形中，分别为，上的点，且满足.将沿折起到的位置，使平面平面，连结，.（如图）（）若为中点，求证：平面；（）求证：. 图1 图2 【解析】证明：（）取中点，连结 在中，分别为的中点， 所以，且 因为， 所以,且， 所以，且 所以四边形为平行四边形 所以 又因为平面，且平面， 所以平面 （） 取中点，连结.因为，所以，而，即是正三角形. 又因为, 所以. 所以在图2中有. 因为平面平面，平面平面，所以平面. 又平面，所以. 举一反三：【变式】如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱底面，且，是侧棱上的动点.() 求四棱锥的体积；() 如果是的中点，求证平面；() 是否不论点在侧棱的任何位置，都有？证明你的结论【解析】（） 平面，即四棱锥的体积为. （） 连结交于，连结四边形是正方形，是的中点又是的中点， 平面平面 平面 （）不论点在何位置，都有. 证明如下：四边形是正方形， 底面，且平面， 又，平面 不论点在何位置，都有平面. 不论点在何位置，都有. 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。
