1、第19课导数的综合应用【自主学习】第19课 导数的综合应用(本课时对应学生用书第4851页)自主学习回归教材1. (选修2-2P27习题15改编)如图，水波的半径以50 cm/s的速度向外扩张，当半径为250 cm时，水波面的圆面积的膨胀率是cm2/s.(第1题)【答案】25 000【解析】设时间t对应的水波面的圆的半径为r，面积为S，则r=50t，S=r2=2 500t2，当r=250时，t=5，故有S=(2 500t2)=5 000t=25 000(cm2/s).2. (选修1-1P83习题3改编)若做一个容积为256的方底无盖水箱，为使它的用料最省(全面积最小)，则它的高为.【答案】4【
2、解析】设高为h，底边长为x，则x2h=256，所以S=4hx+x2=4x+x2=+x2，S=-+2x.令S=0，解得x=8，此时h=4，S取最小值.3. (选修2-2P34习题4改编)若函数f(x)=x-ln x(x0)，则y=f(x)的最小值为.【答案】1-ln 3【解析】函数f(x)的定义域为(0，+)，由f(x)=-=0，得x=3，所以f(x)在(0，3)上单调递减，在(3，+)上单调递增，所以f(x)min=f(3)=1-ln 3.4. (选修1-1P79例2改编)设计一种体积为v0的圆柱形饮料罐，为了使它的用料最省，则它的高为.【答案】【解析】设圆柱的高为H，底面半径为R，则表面积为
3、S=2RH+2R2，又R2H=v0，H=，故S=2R+2R2=+2R2，由S=-+4R=0，解得R=，此时S最小，H=.5. (选修2-2P35例1改编)用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90角，再焊接而成，则该容器的高为cm时，容器的容积最大.【答案】10【解析】设容器的高为x cm，即小正方形的边长为x cm，该容器的容积为V，则V=(90-2x)(48-2x)x=4(x3-69x2+1 080x)，0x12，V=12(x2-46x+360)=12(x-10)(x-36)，当0x0；当10x12时，VM任意的xD，f(
4、x)minM任意的xD，f(x)M任意的xD，f(x)maxM任意的xD，f(x)maxM存在xD，f(x)M任意的xD，f(x)ming(x)任意的xD，f(x)-g(x)min0任意的xD，f(x)g(x)任意的xD，f(x)-g(x)maxg(x2)任意的xD1，任意的xD2，f(x)ming(x)max任意的x1D1，存在x2D2，f(x1)g(x2)任意的xD1，任意的xD2，f(x)ming(x)min存在x1D1，任意的x2D2，f(x1)g(x2)任意的xD1，任意的xD2，f(x)maxg(x)max存在x1D1，存在x2D2，f(x1)g(x2)任意的xD1，任意的xD2，
5、f(x)maxg(x)min2. 实际应用题(1)解题的一般步骤：理解题意，建立函数模型，使用导数方法求解函数模型，根据求解结果回答实际问题.(2)注意事项：注意实际问题的定义域；实际问题中的函数多数是单峰函数(即在定义域内只有一个极值点的函数)，这样的极值点也是最值点.【要点导学】要点导学各个击破利用导数研究函数的性质例1设函数f(x)=cln x+x2+bx(b，cR，c0)，且x=1为f(x)的极值点.(1)若x=1为f(x)的极大值点，求f(x)的单调区间(用c表示)；(2)若f(x)=0恰有两解，求实数c的取值范围.【思维引导】(1)条件：x=1为f(x)的极大值点；目标：确定函数f
6、(x)的单调区间；方法：利用f(1)=0使用c表示b后确定导数大于零和小于零的区间.(2)条件：使用c表达的函数解析式；目标：c的取值范围；方法：讨论函数的单调性和极值点，根据极值点的位置和极值大小确定方程有解的条件.【解答】f(x)=+x+b=，又因为f(1)=0，所以b+c+1=0，所以f(x)=且c1，b+c+1=0.(1)因为x=1为f(x)的极大值点，所以c1.当0x0；当1xc时，f(x)c时，f(x)0.所以f(x)的单调增区间为(0，1)，(c，+)；单调减区间为(1，c).(2)若c0，则f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+)上单调递增，要使f(x)=0恰有两解，如图(
7、1)所示，只需f(1)0，即+b0，所以-c0；图(1)图(2)图(3)(例1)若0c1，则f(x)极大值=f(c)=cln c+c2+bc=cln c-c，f(x)极小值=f(1)=+b=-c，显然f(c)=cln c-c-0，f(x)极小值=-c1，则f(x)极小值=cln c-c-0，f(x)极大值=-c0).(1)若f(x)在-1，1内没有极值点，求实数a的取值范围；(2)当a=2时，方程f(x)=0有三个互不相同的解，求实数m的取值范围.【思维引导】(1)若f(x)在-1，1内没有极值点，则f(x)=0的根不在区间-1，1上；(2)方程f(x)=0有三个互不相同的解，则函数f(x)的
8、极大值大于0、极小值小于0.【解答】(1)因为f(x)=3x2+2ax-a2=3(x+a)，令f(x)=0，得x=或-a，因为f(x)在-1，1内没有极值点，而且a0，所以解得a3，故实数a的取值范围是(3，+).(2)当a=2时，f(x)=3(x+2)=0的两根为，-2，要使方程f(x)=0有三个互不相同的解，需使解得-10m-，所以m的取值范围为.利用导数解决实际生活中的优化问题例2在综合实践活动中，因制作一个工艺品的需要，某小组设计了如图所示的一个门(该门为轴对称图形)，其中矩形ABCD的三边AB，BC，CD由长为6 dm的材料弯折而成，BC边的长为2t dm.曲线AOD拟从以下两种曲线
9、中选择一种：曲线C1是一段余弦曲线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为y=cos x-1，此时记门的最高点O到BC边的距离为h1(t)；曲线C2是一段抛物线，其焦点到准线的距离为，此时记门的最高点O到BC边的距离为h2(t).(1)试分别求出函数h1(t)，h2(t)的解析式.(2)要使得点O到BC边的距离最大，应选用哪一种曲线?此时，最大值是多少?(例2)【思维引导】(1)可以通过求点D的坐标求出点O到BC边的距离；(2)利用导数的方法求出最大值，并进行比较.【解答】(1)对于曲线C1，因为曲线AOD的解析式为y=cos x-1，所以点D的坐标为(t，cos t-1)，所以点O到AD的
10、距离为1-cos t，而AB=DC=3-t，则h1(t)=(3-t)+(1-cos t)=-t-cos t+4，1t.对于曲线C2，因为抛物线的方程为x2=-y，即y=-x2，所以点D的坐标为，所以点O到AD的距离为t2，而AB=DC=3-t，所以h2(t)=t2-t+3，1t.(2)由(1)知h1(t)=-1+sin tcos=，所以3-cos 10).(1)若不等式f(x)g(x)恒成立，求a的取值范围.(2)求证：+0，x0，则F(x)=4x-，令F(x)=0，得x=，所以F(x)的单调减区间为，单调增区间为，F(x)min=F(x)极小值=F=-aln ，只要-aln 0即可，得a4e
11、且a0，即a(0，4e.(2)由(1)得2x24eln x，即，所以+0，a1)的定义域是R，求实数a的取值范围；(2)当x0时，不等式ln x恒成立，求实数a的取值范围.【解答】(1)由题意知，对任意的xR，f(x)+a0恒成立，即x2-2ax+1+a0恒成立，即=4a2-4(1+a)0，即a2-a-10，解得a0，a1，所以实数a的取值范围是(0，1).(2)当x0时，不等式ln x等价于x-2a+ln x，即2a0)，则g(x)=1-=，令g(x)=0，得x=，当0x时，g(x)时，g(x)0，g(x)单调递增.故当x=时，g(x)取得极小值，也是最小值，且g(x)min=g=-ln .
12、因为2ax+-ln x，所以2a0时，xf(x)-f(x)0成立的x的取值范围是.【答案】(-，-1)(0，1)【解析】记函数g(x)=，则g(x)=，因为当x0时，xf(x)-f(x)0时，g(x)0，所以g(x)在(0，+)上单调递减；又因为函数f(x)(xR)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(-，0)上单调递增，且g(-1)=g(1)=0.当0x0，则f(x)0；当x-1时，g(x)0，综上所述，使得f(x)0成立的x的取值范围是(-，-1)(0，1).2.(2015启东调研)做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为cm.【答案】【解析】设圆锥的
13、高为x cm，则底面半径为，其体积V=x(202-x2)(0x20)，V=(400-3x2)，令V=0，解得x1=，x2=-(舍去).当0x0；当x20时，V0，所以当x=时，V取最大值.3.(2014苏州、无锡、常州、镇江、连云港、徐州调研(一)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+2k，若函数g(x)恰有两个不同的零点，则实数k的取值范围为.【答案】【解析】当x0时，f(x)=(2-x2)ex，当x=-时取得极小值f(-)=-2(+1).当x0时，f(x)0，且f(0)=0，函数f(x)的图象如图所示，函数g(x)恰有两个不同的零点，就是f(x)的图象与直线y=-2k有两个不同的交点，所以
14、3-2k7或-2k=0或-2k=-2(+1)，即k.(第3题)4.(2015江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5 km 和40 km，点N到l1，l2的距离分别为20 km和2.5 km，以l1，l2所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=(其中a，b为常数)的模型.(1)求a，b的值.(2)设公路l与曲线C相切于点P，点P的横坐标为t.请写
15、出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短?求出最短长度.(第4题)【解答】(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)，将其分别代入y=，得解得(2)由(1)知，y=(5x20)，则点P的坐标为.设在点P处的切线l交x轴、y轴分别于A，B两点，y=-，则直线l的方程为y-=-(x-t)，由此得A，B.所以f(t)=，t5，20.设g(t)=t2+，则g(t)=2t-.令g(t)=0，解得t=10.当t(5，10)时，g(t)0，g(t)是增函数.从而，当t=10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min=300，此时f
16、(t)min=15.答：当t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15 km.【融会贯通】融会贯通能力提升(2014南京学情调研)已知函数f(x)=ax2-ln x(a为常数).(1)当a=时，求f(x)的单调减区间；(2)若a0，且对任意的x1，e，f(x)(a-2)x恒成立，求实数a的取值范围.【思维引导】【规范解答】(1)f(x)的定义域为(0，+)，f(x)=2ax-=.当a=时，f(x)=. .2分由f(x)0，解得0x1，所以函数f(x)的单调减区间为(0，1).4分(2)方法一：设F(x)=f(x)-(a-2)x=ax2-ln x-(a-2)x.因为对任意的x1，e，f(x)(a
17、-2)x恒成立，所以当x1，e时，F(x)0恒成立.F(x)=2ax-(a-2)=.因为a0，令F(x)=0，得x1=-，x2=1. .7分当0-1，即a-1时，因为x(1，e)，所以F(x)-1，所以此时a不存在.10分当1-e，即-1a0；x时，F(x)0，且F(e)0，即ae2-1-(a-2)e0，解得a.因为-1-，所以a-. .13分当-e，即-a0，所以F(x)在(1，e)上单调递增，由于F(1)=20，符合题意.15分综上所述，实数a的取值范围是. .16分方法二：因为f(x)(a-2)x在x1，e上恒成立，即a(x2-x)ln x-2x在x1，e上恒成立.当x=1时，此不等式恒
18、成立，故此时aR.6分当x(1，e时，a在x(1，e上恒成立，令g(x)=，x(1，e，则g(x)=. .9分令h(x)=x+1-ln x，x(1，e，则h(x)=1-=0在x(1，e上恒成立，故h(x)在x(1，e上单调递增，从而h(x)h(1)=20，.12分从而知，当x(1，e时，g(x)0恒成立，故g(x)在(1，e上单调递增，14分所以g(x)max=g(e)=，故a.又a1时，f(x)1，当x(1，x0)时，恒有f(x)k(x-1).【检测与评估答案】第19课导数的综合应用1(-，0【解析】y=3ax2-1，因为函数y=ax3-x在R上是减函数，所以3ax2-10在R上恒成立，所以
19、a0.2(-1，1)【解析】f(x)=3x2-3a2，令f(x)=0，则x=a.由题意知当a0时，f(a)=a3-3a3+1-1，所以-1a0时，f(-a)=-a3+3a3+13，即a31，所以0a9时，y0.所以函数y=-x3+81x-234在(9，+)上单调递减，在(0，9)上单调递增.所以x=9是函数的极大值点.又因为函数在(0，+)上只有一个极大值点，所以函数在x=9处取得最大值.4(-2，2)【解析】y=3(1-x)(1+x)，令y=0，得x=1，所以y极大值=2，y极小值=-2，作出函数y=3x-x3和y=m的大致图象(如图)，根据图象知-2m2(第4题)5(-，-1【解析】由al
20、n x-x2+(a+2)x，得(x-ln x)ax2-2x.由于x1，e，ln x1x，且等号不能同时取得，所以ln x0，从而a恒成立，即a.设t(x)=，x1，e，则t(x)=，x-10，ln x1，x+2-2ln x0，从而t(x)0，t(x)在1，e上为增函数，所以t(x)min=t(1)=-1，所以a-16 (-，-1)【解析】y=ex+a，由y=0，得x=ln(-a).因为x0，所以-a1，所以a-1，即实数a的取值范围是(-，-1).72【解析】设正六棱柱的底面边长为a，高为h，则可得a2+=9，即a2=9-，那么正六棱柱的体积V=6a2h=h=.设y=-+9h(0h6)，则y=
21、-+9，令y=0，得h=2.易知当h=2时，y取得最大值，此时正六棱柱的体积最大.832000【解析】设长方体的底面边长为x cm，高为y cm，则x2+4xy=4 800，即y=，0x0，V(x)是增函数；当x(40，60)时，V(x)0，V(x)是减函数.所以V(x)=-x3+1 200x在x=40时取得极大值，也是最大值，为32 000 cm39 (1)因为赔付价格为s元/t，所以乙方的实际年利润为=2 000-st.因为=2 000-s()2=-s+，所以当t=时，取得最大值.所以乙方取得最大年利润时的年产量是 t.(2)设甲方净收入为v元，则v=st-0.002t2，当t=时，v=-
22、.v=-+=，令v=0，得s=20.当s0；当s20时，v0.所以当s=20时，v取得最大值.因此甲方向乙方要求赔付价格为20元/t时，获得最大净收入.10(1)f(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2)，因为x(-，+)，f(x)m恒成立，即3x2-9x+(6-m)0恒成立，所以=81-12(6-m)0，解得m-，即m的最大值为-.(2)因为当x0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.所以当x=1时，f(x)取得极大值f(1)=-a；当x=2时，f(x)取得极小值f(2)=2-a.故当f(2)0或f(1)0时，方程f(x)=0有且仅有一个实数根， 解得a，即实数a的取值范围为(-，
23、2).11(1)f(x)的定义域为(0，+)，f(x)=-a.若a0，则f(x)0，f(x)在(0，+)上单调递增.若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0时，f(x)在x=处取得最大值，最大值为f=ln +a=-ln a+a-1因此f2a-2ln a+a-10时，g(a)0，所以g(a)在(0，+)上是增函数，g(1)=0，于是当0a1时，g(a)1时，g(a)0.因此实数a的取值范围为(0，1).12(1)f(x)=-x+1=，x(0，+)，令f(x)0，得解得0x.故f(x)的单调增区间是.(2)令F(x)=f(x)-(x-1)，x(0，+)，则有F(x)=.当x(1，+)时，F(x)1时，F(x)1时，f(x)1满足题意.当k1时，对于x1，有f(x)x-1k(x-1)，则f(x)1满足题意.当k1时，令G(x)=f(x)-k(x-1)，x(0，+)，则有G(x)=-x+1-k=.由G(x)=0，得-x2+(1-k)x+1=0，解得x1=1，x(0，+).当x(1，x2)时，G(x)0，故G(x)在1，x2)内单调递增.从而当x(1，x2)时，G(x)G(1)=0，即f(x)k(x-1).综上，实数k的取值范围是(-，1).
