1、7.1 角与弧度 7.1.2 弧度制 第7章 三角函数 学 习 任 务核 心 素 养1了解弧度制的含义和引入弧度制的意义2会进行弧度与角度的互化(重点、难点)3掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式(难点、易错点)1通过对弧度制概念的学习，培养学生的数学抽象素养2借助弧度制与角度制的换算，提升学生的数学运算素养.情境导学探新知 NO.1在初中，我们是如何求一个扇形的弧长的？在弧长公式中，角 是如何度量的？度量的单位是什么？它的 1 个单位是怎么定义的？用这种单位制来度量角叫做什么制？除了上面用“度”作为单位来度量角的角度外，我们有没有其他的方式来度量角呢？知识点1 弧度制的概念(1)角度制：规定
2、周角的_为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制(2)弧度制：把长度等于_长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，记作_，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制1360半径1 rad1.“1 弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？提示“1 弧度的角”是一个定值，与所在圆的半径大小无关2.比值lr与所取的圆的半径大小是否有关？提示 一定大小的圆心角 所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关1.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)大圆中 1 弧度角比小圆中 1 弧度角大()(2)圆心角为 1 弧度的扇形的弧长都相等()(3)长度等于半径的弦所对的圆心角是 1 弧
3、度()答案(1)(2)(3)知识点 2 角度制与弧度制的换算(1)角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360_rad2 rad_180_rad rad_1_rad0.017 45 rad1 rad_度57.302360180180180(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系角度0130456090弧度01806432 角度120135150180270360弧度233456322(3)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是_，负角的弧度数是_，零角的弧度数是_.正数负数03.角度制与弧度制之间如何进行换算？提示 利用 1 180rad0.017 45 rad 和 1 rad1805
4、7.30进行弧度与角度的换算(1)252(2)712(1)7575 180 252.(2)105105 180 rad712 rad.2.将下列弧度与角度互化(1)75 化为角度为_；(2)105化为弧度为_知识点 3 扇形的弧长公式及面积公式(1)弧度制下的弧长公式：如图，l 是圆心角 所对的弧长，r 是半径，则圆心角 的弧度数的绝对值是|_，弧长 l_.特别地，当 r1 时，弧长 l_.lr|r|(2)扇形面积公式：在弧度制中，若|2，则半径为 r，圆心角为 的扇形的面积为S|2r2_.(3)引入弧度制的意义角的概念的推广后，角的集合与弧度数的集合之间建立了一一对应关系，即角的集合与实数集
5、 R 之间建立了一一对应关系；每一个角都对应唯一的一个实数，反过来，每一个实数也都对应唯一的一个角，为以后三角函数的建立奠定了基础12lr23 3 23，r1，弧长 lr23，面积12lr1223 13.3.半径为 1，圆心角为23 的扇形的弧长为_，面积为_合作探究释疑难 NO.2类型1 角度制与弧度制的互化 类型2 用弧度制表示角的集合 类型3 扇形的弧长及面积问题 类型 1 角度制与弧度制的互化【例 1】把下列弧度化成角度或角度化成弧度：(1)450；(2)10；(3)43；(4)11230.解(1)450450 180 rad52 rad.(2)10 rad 10180 18.(3)4
6、3 rad43 180 240.(4)11230112.5112.5 180 rad58 rad.角度制与弧度制换算的要点提醒：角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把角度化成弧度跟进训练1将下列角度与弧度进行互化(1)35(2)12(3)1440(4)6730解(1)35 rad35180 108.(2)12 rad 12180 15.(3)14401440 1808.(4)673067.567.5 18038.类型 2 用弧度制表示角的集合【例 2】用弧度制表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)解(1)62k 5122k，kZ.(2
7、)34 2k34 2k，kZ.(3)6k2k，kZ.1弧度制下与角 终边相同的角的表示在弧度制下，与角 的终边相同的角可以表示为|2k，kZ，即与角 终边相同的角可以表示成 加上 2 的整数倍2根据已知图形写出区域角的集合的步骤(1)仔细观察图形(2)写出区域边界作为终边时角的表示(3)用不等式表示区域范围内的角提醒：角度制与弧度制不能混用跟进训练2用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)，并判断 2 024是不是这个集合的元素解 因为 15056，所以终边在阴影区域内角的集合为S56 2k32 2k，kZ.因为 2 02422453605645 10 rad，又56 5645 3
8、2.所以 2 02450645 S.类型 3 扇形的弧长及面积问题【例 3】已知扇形的周长为 8 cm.(1)若该扇形的圆心角为 2 rad，求该扇形的面积；(2)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角解 设扇形的半径为 r，弧长为 l，扇形面积为 S.(1)由题意得：2rl8，l2r，解得 r2，l4，S12lr4.(2)由 2rl8 得 l82r，r(0,4)，则 S12lr(82r)r4rr2(r2)24，当 r2 时，Smax4，此时 l4，圆心角 lr2.1(变条件，变结论)本例条件下，若扇形面积为 3 cm2，求扇形的圆心角的弧度数解 设扇形的半径为 r，弧长为 l，圆心角为，
9、扇形面积为 S.由题意得：2rl8，12lr3，解得 l6，r1 或 l2，r3，所以 lr6 或23.2(变条件，变问法)本例条件中“周长为 8 cm”改为“面积为 8 cm2”，在(1)的条件下求该扇形的弧长解 设扇形的半径为 r，弧长为 l，扇形的面积为 S，则由S12r2 得 8122r2，所以 r2 2，所以 lr22 24 2(cm)弧度制下有关扇形弧长、面积问题的解题策略及其注意点(1)解题策略：明确弧度制下扇形弧长公式 l|r，扇形的面积公式 S12lr12|r2(其中 l 是扇形的弧长，是扇形的圆心角)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪
10、些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解(2)注意点：在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负看清角的度量制，选用相应的公式扇形的周长等于弧长加两个半径长跟进训练3已知扇形 OAB 的周长是 10 cm，面积为 4 cm2，求扇形 OAB 的圆心角的弧度数解 设扇形圆心角的弧度数为(02(舍去)，当 r4 时，l2(cm)，此时 2412 rad.所以扇形 OAB 的圆心角的弧度数为12 rad.当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 ABD 对于 A,6060 1803；对于 B，103 103 180600；对于 C，150150 18056；对于
11、 D，12 11218015.故 ABD 正确1(多选题)下列转化结果正确的是()A60化成弧度是3 B103 化成度是600C150化成弧度是76D 12化成度是 151 2 3 4 5 C 2 rad257.30115，在第三象限2已知 2 rad，则角 的终边在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限1 2 3 4 5 D S12lr12r2121223 3.3半径为 1，圆心角为23 的扇形的面积是()A43BC23D31 2 3 4 5 56 570196 456.4若把570写成 2k(kZ,02)的形式，则 _.5 1 2 3 4 1 2 设扇形所在圆的半径为 r cm，扇形
12、弧长为 l cm.由题意得l2r4，12lr1，解得l2，r1.所以 lr2.因此扇形的圆心角的弧度数是 2，半径为 1 cm.5若扇形的周长为 4 cm，面积为 1 cm2，则扇形的半径为_cm，圆心角的弧度数为_回顾本节知识，自我完成以下问题1弧度制与角度制互化公式是什么？提示 1 rad180，10 180 rad.2角度制与弧度制互化的关键与方法是什么？提示 关键：抓住互化公式 rad180，方法：度数 180弧度数，弧度数180度数3若角度中含有分、秒该如何化为弧度？提示 应先将分、秒化成度，再化成弧度4在表示终边相同的角时应注意什么问题？提示 角度与弧度不能混用在表示角时要么全部用弧度制，要么全部用角度制点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
