1、2020-2021学年广西贺州市富川高级中学高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1cos300（）ABCD2设角的终边经过点P（3，4），那么sin+2cos（）ABCD3已知正弦函数f（x）的图象经过点P（，m），则m（）ABC2D4张先生去某城市参加学术会议，拟选择在会议中心附近的A、B两酒店中的一个人住两酒店条件和价格相当，张先生在网上查看了最近入住两个酒店的客人对两酒店的综合评分，并将评分数据记录为如图的茎叶图记A、B两酒店的宗合评分数据的均值为，方差为SA2，SB2，若以此为依据，下述判断较合理的是（）A因为，SA2SB2，应选择A酒店B因
2、为，SA2SB2，应选择A酒店C因为，SA2SB2，应选择B酒店D因为，SA2SB2，应选择B酒店5下列说法正确的有几个（）在区间上随机取一个数x，cosx的值介于到1之间的概率为；函数f（x）2sinx1的对称中心为（k，1），kZ；函数f（x）cos（x）关于原点中心对称；sin（+x）cosx；设函数y12sinx，则函数最大值时的x取值集合为A0B1C2D36下列说法正确的是（）A线性回归方程b+对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点B概率为0的事件一定不可能发生C某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已
3、知该校高一、高二、高三年级学生之比为6：5：4，则应从高二年级中抽取20名学生D从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”是互斥而不对立的事件7某校高三年级有男生220人，编号为1，2，220；女生380人，编号为221，222，600为了解学生的学习状态，按编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查，第一组抽到的号码为10现从这10名学生中随机抽取2人进行座谈，则这2人中既有男生又有女生的概率是（）ABCD8当（0，）时，若cos（），则sin（+）的值为（）ABCD9函数在上的零点个数为（）A2B4C5D610函数的图象大致为（）
4、ABCD11执行如图所示的程序框图，则输出的S（）A0BCD12定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）f（x），当x3，5时，f（x）2|x4|，则下列不等式一定不成立的是（）ABf（sin1）f（cos1）CDf（sin2）f（cos2）二、填空题（本大题共4小题，共20分）13一个扇形的弧长与面积的数值都是5，这个扇形圆心角的弧度数是 14函数y的定义域是 15函数ycosx+sin2x在，的值域 16直线ykx+2（k0）被圆x2+y24截得的弦长为2，则直线的倾斜角为 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17已知函数（1）化简f（）；（2）若，求f（）的值18某校响应教育部门疫情期
5、间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如图所示）已知这100人中110，120）分数段的人数比100，110）分数段的人数多6人（1）根据频率分布直方图，求a，b的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数；（中位数保留两位小数）（2）现用分层抽样的方法从分数在130，140），140，150的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率19某公司2014年至2020年的年利润y关于年
6、份代号x的统计数据如表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）：年份2014201520162017201820192020年份代号x1234567年利润y（单位：亿元）29333644485259（1）求y关于x的线性回归方程；（2）并预测该公司2021年的年利润参考公式：20如图：ABCD是平行四边形，AP平面ABCD，BEAP，ABAP2，BEBC1，CBA60（1）求证：EC平面PAD；（2）求证：平面PAC平面EBC；（3）求直线PC与平面PABE所成角的正弦值21已知直线l：（m+2）x+（12m）y+4m20与圆C：x22x+y20交于M，N两点（1）求出直线l恒过定点的坐标；（
7、2）求直线l的斜率的取值范围；（3）若O为坐标原点，直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，试问k1+k2是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由22已知函数（1）求证：f（x）是奇函数；（2）若对任意x（0，），恒有0，求实数a的取值范围参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1cos300（）ABCD【分析】利用三角函数关系式与诱导公式即可求得cos300的值解：cos300cos（36060）cos60故选：A2设角的终边经过点P（3，4），那么sin+2cos（）ABCD【分析】根据任意角的三角函数的定义求得sin 和cos 的值，从而求得sin+2cos 的值
8、解：由于角的终边经过点P（3，4），那么x3，y4，r|OP|5，sin，cos，sin+2cos，故选：C3已知正弦函数f（x）的图象经过点P（，m），则m（）ABC2D【分析】mf（）sin解：将P（，m）代入到f（x）sinx中，得f（）msinsin（2+）sin，故选：B4张先生去某城市参加学术会议，拟选择在会议中心附近的A、B两酒店中的一个人住两酒店条件和价格相当，张先生在网上查看了最近入住两个酒店的客人对两酒店的综合评分，并将评分数据记录为如图的茎叶图记A、B两酒店的宗合评分数据的均值为，方差为SA2，SB2，若以此为依据，下述判断较合理的是（）A因为，SA2SB2，应选择A酒店
9、B因为，SA2SB2，应选择A酒店C因为，SA2SB2，应选择B酒店D因为，SA2SB2，应选择B酒店【分析】先根据茎叶图得到A，B酒店的评分数值，再根据平均数和方差公式求解解：由茎叶图可知A酒店的评分分别为：72，86，87，89，92，94，B酒店的评分分别为：73，74，86，88，94，95，所以，即，故选：B5下列说法正确的有几个（）在区间上随机取一个数x，cosx的值介于到1之间的概率为；函数f（x）2sinx1的对称中心为（k，1），kZ；函数f（x）cos（x）关于原点中心对称；sin（+x）cosx；设函数y12sinx，则函数最大值时的x取值集合为A0B1C2D3【分析】直
10、接利用几何概型，正弦型函数的性质，三角函数的诱导公式，三角函数的最值的应用判断的结论解：对于，在区间上随机取一个数x，cosx的值介于到1之间的值为，所以概率为，故错误；对于，函数f（x）2sinx1的对称中心为（k，1），kZ，故正确；对于，函数f（x）cos（x）关于y轴为对称轴的对称图形，故错误；对于，sin（+x）sin（）cosx，故正确；对于，设函数y12sinx，则函数最大值时的x取值集合为，故正确故选：D6下列说法正确的是（）A线性回归方程b+对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点B概率为0的事件一定不可能发生C某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样
11、的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一、高二、高三年级学生之比为6：5：4，则应从高二年级中抽取20名学生D从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”是互斥而不对立的事件【分析】直接利用回归直线方程和中心点的关系，概率和不可能事件的关系，分层抽样，互斥事件和对立事件的定义的应用判断A、B、C、D的结论解：对于A：线性回归方程b+对应的直线不一定经过其样本数据点中的一个点，但是一定经过中心对称点（），故A错误；对于B：概率为0的事件不一定是不可能事件，但是，不可能事件的概率一定是0，故B错误；对于C：某高中为了解在校学生对参加某
12、项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一、高二、高三年级学生之比为6：5：4，即6x，5x，4x则：15x60，解得x4，应从高二年级中抽，5420名学生，故C正确；对于D：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少有一个黑球”即一红一黑，或两黑；与“至少有一个红球”即一黑一红或两红是即不互斥又不对立的事件，故D错误故选：C7某校高三年级有男生220人，编号为1，2，220；女生380人，编号为221，222，600为了解学生的学习状态，按编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查，第一组抽到的号码为10
13、现从这10名学生中随机抽取2人进行座谈，则这2人中既有男生又有女生的概率是（）ABCD【分析】抽样间隔f60，第一组抽到的号码为10，则抽到的10个人的号码分别为：10，70，130，190，250，310，370，430，490，550，从而这10人中男人有4人，女人有6人，现从这10名学生中随机抽取2人进行座谈，基本事件总数n45，这2人中既有男生又有女生包含的基本事件个数m24，由此能求出这2人中既有男生又有女生的概率解：某校高三年级有男生220人，编号为1，2，220；女生380人，编号为221，222，600为了解学生的学习状态，按编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进
14、行问卷调查，抽样间隔f60，第一组抽到的号码为10，则抽到的10个人的号码分别为：10，70，130，190，250，310，370，430，490，550，这10人中男人有4人，女人有6人，现从这10名学生中随机抽取2人进行座谈，基本事件总数n45，这2人中既有男生又有女生包含的基本事件个数m24，则这2人中既有男生又有女生的概率是p故选：C8当（0，）时，若cos（），则sin（+）的值为（）ABCD【分析】先确定的取值范围，再由同角三角函数的平方关系求得sin（）的值，然后根据诱导公式，得解解：（0，）（，），sin（），sin（+）sin（）sin（）故选：B9函数在上的零点个数为（）
15、A2B4C5D6【分析】函数在上的零点个数，等价于y与y|sinx|的图像在0，上的交点个数，再利用数形结合法即可求出结果解：函数在上的零点个数，等价于y与y|sinx|的图像在0，上的交点个数，如图所示：由图可知，函数y与y|sinx|在0，上有5个交点，故选：C10函数的图象大致为（）ABCD【分析】由函数的奇偶性及特殊点的函数值，利用排除法得解解：函数的定义域为R，易知，即函数f（x）为奇函数，可排除C，D；又，可排除B故选：A11执行如图所示的程序框图，则输出的S（）A0BCD【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中
16、各变量值的变化情况，可得答案解：由程序图可知，第一次循环，S，k112成立，k1+12，第二次循环，S，k212成立，k2+13，依次类推，执行最后一次循环，S，k1212不成立，输出S+0+0+811+06故选：D12定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）f（x），当x3，5时，f（x）2|x4|，则下列不等式一定不成立的是（）ABf（sin1）f（cos1）CDf（sin2）f（cos2）【分析】根据周期得出f（x）在1，1上的单调性与奇偶性，再利用三角函数的性质判断各选项解：（x+2）f（x），f（x）的周期为2，当x1，1时，f（x）2|x|，f（x）在1，1上是偶函数，且在1，0上
17、单调递增，在0，1上单调递减，1cossin0，f（cos）f（sin），故A错误；1，1sin1cos10，f（sin1）f（cos1），故B正确；cos，sin，f（cos）f（sin），故C正确；，1sin2|cos2|0，f（sin2）f（cos2），故D正确故选：A二、填空题（本大题共4小题，共20分）13一个扇形的弧长与面积的数值都是5，这个扇形圆心角的弧度数是 【分析】设这个扇形圆心角的弧度数为，半径为r利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出解：设这个扇形圆心角的弧度数为，半径为r一个扇形的弧长与面积的数值都是5，5r，5，解得故答案为：14函数y的定义域是x|【分析】由根式内
18、部的代数式大于等于0，然后求解三角不等式得答案解：由，的sinx，解得：函数y的定义域是x|故答案为：x|15函数ycosx+sin2x在，的值域 1，【分析】化简函数y+，令tcox0，1，结合y+的单调性求出函数的值域即可解：ycosx+sin2xcos2x+cosx+1（cos2xcosx+）+，cosx0，1，令tcox0，1，则y+在0，）递增，在（，1递减，当cosx0时，y取最小值1，当cosx时，y取最大值，故函数的值域是1，故答案为：1，16直线ykx+2（k0）被圆x2+y24截得的弦长为2，则直线的倾斜角为 60【分析】由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列
19、式求得k，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解解：直线ykx+2（k0）被圆x2+y24截得的弦长为2，圆心O（0，0）到直线kxy+20的距离d，即，解得k（k0）设直线的倾斜角为（0180），则tan，则60直线的倾斜角为60故答案为：60三、解答题（本大题共6小题，共70分）17已知函数（1）化简f（）；（2）若，求f（）的值【分析】（1）利用三角函数的诱导公式化简即可；（2）利用诱导公式结合（1）中的结果，即可得到答案解：（1）函数cos；（2）因为，即cos，所以f（）cos18某校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模
20、拟考试全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如图所示）已知这100人中110，120）分数段的人数比100，110）分数段的人数多6人（1）根据频率分布直方图，求a，b的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数；（中位数保留两位小数）（2）现用分层抽样的方法从分数在130，140），140，150的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率【分析】（1）依题意a+b0.046，1000（ba）6，解得a，b，由中位数公式，即可得出答案（2）设在分数为130，140）的同学
21、中抽取4人，分别用a1，a2，a3，a4表示，在分数为140，150的同学中抽取2人，分别用b1，b2表示，用列举法，结合古典概率模型，即可得出答案解：（1）依题意a+b0.046，1000（ba）6，解得a0.020，b0.026，中位数为112.31（2）设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件A由题意知，在分数为130，140）的同学中抽取4人，分别用a1，a2，a3，a4表示，在分数为140，150的同学中抽取2人，分别用b1，b2表示，从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2
22、，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2）共15种，抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2）共8种，所以，抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为19某公司2014年至2020年的年利润y关于年份代号x的统计数据如表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）：年份2014201520162017201820192020年份代号x1234567年利润y（单位：亿元）2933364
23、4485259（1）求y关于x的线性回归方程；（2）并预测该公司2021年的年利润参考公式：【分析】（1）根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解（2）将x8代入上式的线性回归方程中，即可求解解：（1）根据表中的数据可得，故，所以y关于x的线性回归方程为（2）由题意可知，2021年对应x8，故当x8时，预测该公司2021年的年利润为63亿元20如图：ABCD是平行四边形，AP平面ABCD，BEAP，ABAP2，BEBC1，CBA60（1）求证：EC平面PAD；（2）求证：平面PAC平面EBC；（3）求直线PC与平面PABE所成角的正弦值【分析】（1）由已知条件推导出平面PAD
24、平面EBC，由此能证明EC平面PAD（2）由余弦定理得AC，由勾股定理得ACBC，由线面垂直得BEAC，由此能证明平面BEC平面PAC（3）作CHAB于H，连结PH，由题设知HPC即为线面角，由此能求出直线PC与平面PABE所成角的正弦值【解答】（1）证明：因为BEPA，BE平面PAD，PA平面PAD，所以BE平面PAD，同理BC平面PAD，所以平面PAD平面EBC，因为EC平面EBC，所以EC平面PAD（2）证明：因为AB2，BC1，CBA60，由余弦定理得，AC，所以由勾股定理逆定理BCA90，所以ACBC，又因为BE平面ABCD，所以BEAC，则有AC平面EBC，AC平面PAC所以平面B
25、EC平面PAC（3）解：作CHAB于H，连结PH，又因为CHPA，所以CH平面PABE，所以HPC即为线面角，21已知直线l：（m+2）x+（12m）y+4m20与圆C：x22x+y20交于M，N两点（1）求出直线l恒过定点的坐标；（2）求直线l的斜率的取值范围；（3）若O为坐标原点，直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，试问k1+k2是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由【分析】（1）直接由直线系方程求解直线l恒过定点的坐标；（2）先分析直线与圆相切时的斜率，进而可知直线和圆相交时斜率的取值范围；（2）设直线l方程为ykx+b，联立直线与圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用斜率公
26、式及根与系数的关系即可证明k1+k2为定值解：（1）由直线l：（m+2）x+（12m）y+4m20，得m（x2y+4）+（2x+y2）0，联立，解得，直线l恒过定点（0，2）；（2）由圆C：x22x+y20，知圆心C（1，0），半径r1，当直线l和圆C相切时，1，得m或m，当m时，直线l方程x0，当m时，直线l方程3x+4y80，直线l与圆C相交时，直线l的斜率取值范围（，）；（3）由（2）知直线l的斜率存在，设直线l方程为ykx+b，联立，得（1+k2）x2+（2kb2）x+b20，x1+x2，x1x2，k1+k22k+b2k+b2k+由（1）可知，b2，则k1+k21，k1+k2是定值，定
27、值为122已知函数（1）求证：f（x）是奇函数；（2）若对任意x（0，），恒有0，求实数a的取值范围【分析】（1）根据题意，先求出函数的定义域，再分析f（x）与f（x）的关系，即可得答案；（2）根据题意，分析f（x）的单调性，原不等式等价于对任意x（0，），恒成立，设t1+sinx，利用换元法分析可得答案解：（1）证明：，其定义域为R，又，所以，f（x）是奇函数（2）由，得，因为f（x）是奇函数，所以，即，又f（x）1，y2x在R上为增函数，则y在R上为减函数，故f（x）在R上单调递增，所以，即a+asinxcos2x+1，所以，对任意x（0，），恒成立，设t1+sinx，t（1，2则因为函数在t（1，2上单调递减，所以，即，所以，实数a的取值范围是2，+）
