1、山东省济南2022高三上学期阶段性检测数学试题考试范围：高考范围；考试时间：120分钟；注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题(共0分)1已知集合，则（）ABCD2已知复数，则（）A3BC2D13如图，E，F分别是矩形ABCD的边CD，BC的中点，则（）ABCD4设，则（）ABCD5袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，设事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，则下列说法中正确的是（）AA与B是互斥事件BA与B不是相互独立事件CB与C是对立事件DA与C是相
2、互独立事件6已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式为（）ABCD7把函数的图象向左平移个单位，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象若函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（）ABCD8已知三棱锥底面是边长为的等边三角形，顶点与边中点的连线垂直于底面，且，则三棱锥的外接球半径为（）ABCD二、多选题(共0分)9已知一组不完全相同的数据的平均数为，方差为，中位数为m，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，方差为，中位数为，则下列判断一定正确的为（）ABCD10已知函数（，），则下列说法正确的是（）A若实数是的两个不同的极值点，且满足，则或B函数的图象
3、过坐标原点的充要条件是C若函数在上单调，则D若函数的图象关于点中心对称，则11如图，正方体的棱长为，分别为，的中点，则（）A直线与直线垂直B直线与平面平行C平面截正方体所得的截面面积为D点与点到平面的距离相等12已知点，点P是双曲线C：左支上的动点，为其右焦点，N是圆D：的动点，直线交双曲线右支于Q（O为坐标原点），则（）AB过点M作与双曲线C仅有一个公共点的直线恰有2条C的最小值为D若的内切圆E与圆D外切，则圆E的半径为第II卷（非选择题）三、填空题(共0分)13的展开式中的系数为_（用数字作答）14设为正项等比数列的前项和，成等差数列，则的值为_15点是圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分
4、别为，则切点弦所在直线方程为_.16已知函数在区间上有且只有一个极值点，则实数的取值范围为_.四、解答题(共0分)17已知数列的各项均不为零，前n项和满足.(1)求证：数列是等差数列；(2)记，求数列的前n项和.18如图，在三棱柱中，侧面为矩形，平面平面，分别是的中点.(1)求证：平面；(2)若侧面是正方形，求直线与平面所成角的正弦值.19在中，角所对的边分别为，且.（1）证明：成等比数列；（2）若，且，求的周长.20北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机
5、选取了10所学校进行研究，得到如下数据：(1)从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；(2)“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记为选出“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望；(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行转弯停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动
6、作互不影响且每轮测试互不影响.如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？21已知A(3,0)，B(-3,0)，C是动点，满足（为常数），过C作x轴的垂线，垂足为H，记CH中点M的轨迹为，(1)若是椭圆，求此椭圆的离心率；(2)若在上，过点G(0,m)作直线l与交于P、Q两点，如果m值变化时，直线MP、MQ的倾斜角总保持互补，求MPQ面积的最大值22已知(1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；(2)若函数有两个极值点，证明：数学试题参考答案1A【分析】先求出集合，再求出集合，然后可求出两集合的并集.【详解】因为，所以，所以，故选：A.2B【分析】
7、首先根据复数的除法运算性质化简复数，再结合复数的模的概念计算即可.【详解】，则.故选：B.3B【分析】根据向量加法的三角形法则，把,分别用和来表示，再根据共线向量都转化成.【详解】在中由向量加法的三角形法则得：，又因为是的中点，所以,所以.在中由向量加法的三角形法则得：又因为E，F分别是矩形ABCD的边CD，BC的中点，所以所以.故选：B.4B【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，分别限定的取值范围即可比较出大小.【详解】设函数，又因为底数，所以函数为单调递增；所以，即；设函数，又因为底数，所以函数为单调递增；所以即；设函数，又因为底数，所以函数为单调递减；所以即综上可知，；故选：B.5B【
8、分析】根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义判断即可.【详解】根据题意可知，事件和事件可以同时发生，不是互斥事件，故A错；不放回摸球，第一次摸球对第二次摸球有影响，所以事件和事件不相互独立，故B正确；事件的对立事件为“第二次摸到黑球”，故C错；事件与事件为对立事件，故D错.故选：B.6B【分析】根据函数图象知定义域为且为偶函数，确定各选项函数定义域，判断奇偶性，应用排除法确定答案.【详解】根据函数图象可知，定义域为且为偶函数，对于A，即在处有定义，故A错误；对于C，因为，所以的定义域为，又，故是奇函数，故C错误；对于D，因为，所以的定义域为，又，故是奇函数，故D错误.对于B，因为，所以定义
9、域为，又，故是偶函数，由于选项ACD已然排除，而选项B中的解析式又满足图像的性质，故B正确.故选：B7B【分析】首先求函数的解析式，代入函数的定义域，根据三角函数的图象，列式求的取值范围.【详解】函数的图象向左平移个单位，得到函数，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，若函数在上恰有3个零点，则，解得：.故选：B8D【分析】找到球心的位置，求出各边长，设出，利用半径相等列出方程，求出半径.【详解】连接，取靠近点的三等分点，则为等边三角形的外心，过点E作，则点O即为三棱锥的外接球球心，连接OS，OC，过点O作交SD于点F，则，因为底面是边长为的等边三角形，所以，设，则
10、，设外接球半径为，则，故，解得：，所以，故.故选：D【点睛】立体几何外接球问题，通常要找到一个特殊三角形或四边形，找到其外心，从而找到球心的位置，从而利用球的半径相等列出方程，求出半径，进而求解球的表面积或体积等.9AC【分析】根据平均数公式即可判断A；利用方差公式判断B、C；根据中位数定义，以及加入的数在数据中位置情况判断D.【详解】记这组数据为，新数据为，显然它们平均数相同，A正确；，所以，故B错误，C正确；由于原数据的中位数与平均数的大小关系不确定，所以不能比较新数据与原数据的中位数的大小，故D错误.故选：AC10ABD【分析】对于A：由题意知实数是的两个不等实根，得到，再由得，最后由可
11、求得的取值范围；对于B：从充分性和必要性两方面分别进行证明即可；对于C：由函数在上单调，则一定有恒成立，显然C不正确；对于D：由题意知恒成立，可求得，D正确.【详解】A选项：，由题意知实数是方程的两个不等实根，（注意：极值点与导函数的零点之间的关系）所以，且，由，得，所以，解得或，所以A正确；B选项：若函数的图象过坐标原点，则，故必要性成立；反之，若，则，故函数的图象过坐标原点，充分性成立，所以B正确；C选项：若函数在上单调，则恒成立，所以，即，所以C不正确；D选项：因为函数的图象关于点中心对称，所以，即，整理得，所以，所以D正确.故选：ABD.11BC【分析】(1)利用空间向量的坐标运算确定
12、直线与直线的位置关系；(2)根据面面平行来证明线面平行；(3)先根据四点共面确定截面，进而算截面面积；(4)利用等体积法思想证明求解.【详解】对于选项A，以点为坐标原点，所在的直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，则，.从而，从而，所以直线与直线不垂直，选项错误；对于选项，取的中点为，连接，则易知，又平面，平面，故平面，又，平面，平面，所以平面，又，平面，故平面平面，又平面，从而平面，选项正确；对于选项C，连接，如图所示，正方体中，四点共面，四边形为平面截正方体所得的截面四边形，且截面四边形为梯形，又由勾股定理可得，梯形为等腰梯形，高为，选项C正确；对于选项D，由于，而，即，点到平面的距离为点到
13、平面的距离的2倍，选项错误.故选:BC.12ACD【分析】根据双曲线焦半径的结论可知A正确，由点和双曲线的位置关系可以确定与双曲线有一个公共点的直线条数不止2条，根据双曲线定义和的位置关系可判断C，最后根据焦点三角形的内切圆圆心在左端点的正上方，即圆心横坐标为可求其半径.【详解】如下图所示：由双曲线方程和圆方程可知，所以左焦点为，右焦点；对于A，由于在双曲线左支上，根据焦半径公式可知，故A正确；对于B，由过点的直线与双曲线有一个公共点可知，直线的斜率一定存在，设直线斜率为，则直线的方程为，联立直线和双曲线的方程得：；当时，即，该方程为一元一次方程，仅有一个实数根，所以直线和双曲线仅有一个公共点
14、，此时直线与双曲线的渐近线平行，即此时有两条直线与双曲线相交，且仅有一个交点，符合题意；当时，该方程为一元二次方程，由直线与双曲线有一个公共点可知，该方程仅有一个实数根，所以，整理得，即，此时直线为双曲线的切线，分别为，所以过点可作两条切线；综上可知，过点可作与双曲线有一个公共点的直线共有4条，所以B错误；对于C，由双曲线定义可知，当且仅当三点共线时等号成立；，当且仅当三点共线时等号成立；所以， ，即C正确；对于D，如图所示，分别设的内切圆与三边切点为，又因为，所以，又因为在轴上，不妨设,由，得，即；所以即为双曲线的左端点，又因为，所以圆心在左端点的正上方，即圆心横坐标为，设，则圆的半径为，由
15、于圆与圆外切，所以，解得；所以D正确.故选：ACD.13-800【分析】要得到含的项，需在的展开式中取第4项，在的展开式中取第2项，从而利用二项式定理求解即可【详解】由题意知，在的展开式中取第4项，即，的展开式中取第2项，即，故的系数为故答案为：-8001417【分析】设等比数列的公比为，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比，再由等比数列的求和公式，计算可得所求值.【详解】正项等比数列的公比设为，成等差数列，可得，即，化为，解得，则故答案为：【点睛】本题考查等比数列中基本量的求解，属于基础题.15【分析】计算，设直线方程为，计算，利用点到直线的距离公式得到答案.【详解】如
16、图所示：，故，设直线方程为.，故，根据相似计算得到，利用点到直线的距离公式得到：，解得或当时，直线和圆不相交，舍去，故.故答案为：.【点睛】本题考查了圆的切线问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.16【分析】根据题意转化为在只有一个实数根，进而转化为方程在区间上没有实数根，得出与的图象在上没有交点，利用导数求得的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，因为函数在区间上有且只有一个极值点，所以在区间上有且只有一个实数根，即方程在区间上有且只有一个实数根，因为时方程的根，所以方程在区间上没有实数根，即方程在区间上没有实数根，等价于与的图象在上没有交点，又由，所以在上单调递增，所以，且
17、当时，所以，即实数的取值范围是.故答案为：.17(1)证明见解析(2)【分析】（1）化简已知条件，求得，从而证得数列是等差数列.（2）先求得，然后利用裂项求和法求得.【详解】（1）依题意，两边除以得，所以数列是以为首项，公差为的等差数列.（2）由（1）得，所以，所以.18(1)详见解析；(2).【分析】（1）取中点为，由题可得，然后利用线面平行的判定定理即得；（2）利用坐标法，求出平面的法向量，然后根据线面角的向量求法即得.【详解】（1）取中点为，连接，因为点分别为的中点，故，又点为的中点，且四边形为矩形，故，故，故四边形为平行四边形，则，又平面平面，所以平面；（2）因为为正方形，故可得，又因
18、为平面平面，且平面平面，又平面，所以平面，又平面，所以，又，如图建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，令，则，设与平面所成角为，则.故直线与平面所成角的正弦值为.19（1）证明见解析；（2）9.【解析】（1）由正弦定理将中的边化为角，再结合正弦的两角和公式可推出，即，然后将角化为边，有，故得证；（2）由（1）知，利用余弦定理，可求出的值，从而得解【详解】解：（1）证明：由正弦定理得：，所以成等比数列（2）由余弦定理得：，又，所以于是得：所以的周长为.【点睛】本题考查解三角形中正弦定理、余弦定理的综合应用，涉及边角互化的思想，灵活选择正弦、余弦定理是解题的关键，考查学生的逻辑推理能
19、力和运算能力，属于中档题20(1)(2)分布列见解析，数学期望：(3)至少要进行11轮测试【分析】(1)根据已知条件结合条件概率的概率公式求解；(2)的可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，从而可求得的分布列和数学期望；(3)根据题意，结合二项分布的概率公式求解【详解】（1）由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43，41，32，26，56，36，49，20，参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，33，30，其中参与“单板滑雪”的人数超过30人的学校有6个，参与“单板滑雪”的人数超过30人，且“自由式滑雪”的人数超过30人的
20、学校有4个，记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件，则，所以，.（2）参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，的所有可能取值为， 所以，所以的分布列如下表：0123所以（3）记“甲同学在一轮测试中获得“优秀”为事件，则，由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，由题意列式，得，因为，所以的最小值为11，故至少要进行11轮测试21(1)(2)2【分析】（1）根据条件，列方程即可；（2）根据条件设直线l的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理求出 和M点到直线l的距离
21、，再计算三角形MPQ的面积，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）设M(x,y)，则，方程为，仅当时此方程表示椭圆，此时，.（2）把代入，得，方程为，设 P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直线l方程为y=kx+m，代入方程可得(1+4k2)x2+8kmx+ 4m2-8=0，直线MP、MQ的倾斜角互补，化简得，把代入，整理得， ，此时，直线l方程为 ，P到直线l距离， 面积，当时，取等号，满足 ，面积的最大值为2；综上，椭圆 的离心率 ，面积的最大值为2.22(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，利用给定的单调性列出不等式，再结合恒成立条件求解作答.（2）根据给定条件，求出a的取值范围，将用a表示出，再构造函数并借助导数推理作答.【详解】（1）函数定义域为，依题意，成立，即，成立，而当时，因此，而时，不是常数函数，于是得，所以实数的取值范围是.（2）由（1）知，因有两个极值点，则，即有两不等正根，于是得，有，令，显然函数在上单调递增，而，因此，使得，即，当时，当时，于是得在上单调递减，在上单调递增，显然在上单调递增，则，因此，即有，所以.【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理，本题的关键点在于转化成新函数的最值问题后，需要通过隐零点代换，进而求出函数的最值，使问题得到解决.
