1、5.2 函数的表示方法 第5章 函数概念与性质 学 习 任 务核 心 素 养1理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数(重点)2了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值(重点、难点)1通过函数表示的图象法培养直观想象素养2通过函数解析式的求法培养运算素养.情境导学探新知 NO.1观察教材第 5.1 节开头的 3 个函数问题，你能说出各种函数表达形式上的特点吗？如何用数学语言来准确地描述函数表示法？你能说出几种函数表示法的优缺点吗？知识点 1 函数的表示方法1.函数三种表示法的优缺点是什么？提示 1.思考辨析(
2、正确的打“”，错误的打“”)(1)任何一个函数都可以用解析法表示()(2)任何一个函数都可以用图象法表示()(3)函数 f(x)2x1 不能用列表法表示()(4)函数的图象一定是一条连续不断的曲线()答案(1)(2)(3)(4)知识点2 分段函数(1)在定义域内_上，有不同的_像这样的函数，通常叫做分段函数(2)分段函数定义域是各段定义域的_集，其值域是各段值域的_集(3)分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的_的图象分段函数是_函数，因此应在_坐标系中画出各段函数图象不同部分解析表达式并并解析式一个同一2.分段函数是几个函数构成的吗？提示 分段函数是一个函数，而
3、不是几个函数x|x0 y|y1 定义域为x|x0 或 x0 时，f(x)0，当 x1，值域为y|y12.若函数 f(x)x，x0，x21，x0，则 f(x)的定义域为_，值域为_合作探究释疑难 NO.2类型1 求函数解析式 类型2 分段函数的求值问题 类型3 分段函数的图象及应用 类型4 分段函数的实际应用 类型 1 求函数解析式【例 1】求下列函数的解析式(1)已知 f(x)为一次函数，f(2x1)f(2x1)4x6，求 f(x)；(2)已知 f(x1)x2 x，求 f(x)；(3)已知 f(x)为一次函数，且 f(f(x)4x1，求 f(x)；(4)若 f(x)2f(x)1x，求 f(x)
4、解(1)设 f(x)axb(a0)，f(2x1)a(2x1)b，f(2x1)a(2x1)b，f(2x1)f(2x1)4ax2b4x6，所以4a4，2b6，解得a1，b3，即函数 f(x)的解析式为 f(x)x3.(2)令 x1t(t1)，则 xt1，x(t1)2，f(t)(t1)22(t1)t21，f(x)x21(x1)(3)设所求函数 f(x)kxb(k0)，所以 f(f(x)f(kxb)k(kxb)bk2xkbb4x1，则 k24，kbb1，解得k2，b13或k2，b1，所以 f(x)2x13或 f(x)2x1.(4)f(x)2f(x)1x，用x 替换 x 得 f(x)2f(x)1x，2得
5、 3f(x)2x1x3x，f(x)1x.求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：已知函数 f(x)的函数类型，求 f(x)的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程(组)，确定其系数即可(2)换元法：令 tg(x)，注明 t 的范围，再求出 f(t)的解析式，然后用 x 代替所有的 t 即可求出 f(x)，一定要注意 t 的范围即为 f(x)中 x 的范围(3)配凑法：已知 f(g(x)的解析式，要求 f(x)时，可从 f(g(x)的解析式中拼凑出“g(x)”，即用 g(x)来表示，再将解析式两边的 g(x)用 x 代替即可(4)代入法：已知 yf(x)的解
6、析式求 yf(g(x)的解析式时，可直接用新自变量 g(x)替换 yf(x)中的 x.(5)方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数fx，f1x，互为相反数(f(x)，f(x)的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可在构造对称方程时，一般用1x或x 替换原式中的 x 即可跟进训练1(1)已知 f(x)是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且 f(2)3，f(1)3，求 f(x)；(2)若 fx1xx21x2 1x，求 f(x)；(3)已知 2f(x)f1x 3x，求 f(x)解(1)设 f(x)k1xk2x，则f1k1k23，f22k1k223k11，
7、k22，f(x)x2x.(2)令 tx1x(t1)，则 x 1t1，f(t)1t1211t12(t1)t2t1，f(x)x2x1(x1)(3)2f(x)f1x 3x.用1x替换 x 得 2f1x f(x)3x.消去 f1x 得 3f(x)6x3xf(x)2x1x.类型 2 分段函数的求值问题【例 2】已知函数 f(x)x1，x2，x22x，2x2，2x1，x2.试求 f(5)，f(3)，ff52 的值解 由5(，2，3(2,2)，52(，2，知 f(5)514，f(3)(3)22(3)32 3.因为 f52 52132，2322不合题意，舍去当2a3，求 x 的取值范围解 当 x2 时，x13
8、 得 x2，又 x2，所以 x.当2x3 得 x1 或 x3，又2x2，所以 1x3，得 x2，又 x2，所以 x2，综上有 x 的取值范围是 1x2.1分段函数求函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止当出现 f(f(x0)的形式时，应从内到外依次求值2已知函数值求字母取值的步骤(1)先对字母的取值范围分类讨论(2)然后代入不同的解析式中(3)通过解方程求出字母的值(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验跟进训练2已知 f(x)x2，1
9、x1，1，x1或x1或x1或x1，114，解得 x12或 x12，x 的取值范围是，12 12，.类型 3 分段函数的图象及应用【例 3】已知函数 f(x)x22，g(x)x，令(x)minf(x)，g(x)(即 f(x)和 g(x)中的较小者)(1)分别用图象法和解析式表示(x)；(2)求函数(x)的定义域，值域解(1)在同一个坐标系中画出函数 f(x)，g(x)的图象如图.由图中函数取值的情况，结合函数(x)的定义，可得函数(x)的图象如图.令x22x 得 x2 或 x1.结合图，得出(x)的解析式为(x)x22，x2，x，2x1，x22，x1.(2)由图知，(x)的定义域为 R，(1)1
10、，(x)的值域为(，1分段函数图象的画法(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象跟进训练3(1)已知函数 f(x)x1，x1，0，x21，x0，1，则函数 f(x)的图象是()A B C D(2)已知函数 f(x)的图象如图所示，则 f(x)的解析式是_(1)A(2)f(x)x1，1x0，x，0 x1(1)当 x1 时，y0，即图象过点(1,0)，
11、D 错；当 x0 时，y1，即图象过点(0,1)，C 错；当 x1 时，y2，即图象过点(1,2)，B 错故选 A.(2)由图可知，图象由两条线段(其中一条不含右端点)组成，当1x0 时，设 f(x)axb(a0)，将(1,0)，(0,1)代入解析式，则ab0，b1.a1，b1.f(x)x1.当 0 x1 时，设 f(x)kx(k0)，将(1，1)代入，则 k1.f(x)x.即 f(x)x1，1x0，x，0 x1.类型 4 分段函数的实际应用【例 4】如图所示，已知底角为 45的等腰梯形 ABCD，底边 BC长为 7 cm，腰长为 2 2 cm，当垂直于底边 BC(垂足为 F)的直线 l 从左
12、至右移动(与梯形 ABCD 有公共点)时，直线 l 把梯形分成两部分，令BFx，试写出左边部分的面积 y 关于 x 的函数解析式，并画出大致图象 解 过点 A，D 分别作 AGBC，DHBC，垂足分别是 G，H.因为四边形 ABCD 是等腰梯形，底角为 45，AB2 2 cm，所以 BGAGDHHC2 cm，又 BC7 cm，所以 ADGH3 cm.(1)当点 F 在 BG 上，即 x0,2时，y12x2；(2)当点 F 在 GH 上，即 x(2,5时，yxx2222x2；(3)当点 F 在 HC 上，即 x(5,7时，yS 五边形 ABFEDS 梯形 ABCDSRtCEF12(73)212(
13、7x)212(x7)210.综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为y 12x2，x0，2，2x2，x2，5，12x7210，x5，7.图象如图所示分段函数图象的画法(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画(2)用分段函数解决实际问题时要注意两点确定好分段的标准，正确的写出分段函数的表达式；考虑自变量的实际意义，注意自变量的取值范围跟进训练4A，B 两地相距 150 公里，某汽车以每小时 50 公里的速度从 A地到 B 地，在 B 地停留 2 小时之后，又以每小时 60 公里的速度返回 A地写出该车离 A 地的距离
14、 s(公里)关于时间 t(小时)的函数关系，并画出函数图象解(1)汽车从 A 地到 B 地，速度为 50 公里/小时，则有 s50t，到达 B 地所需时间为15050 3(小时)(2)汽车在 B 地停留 2 小时，则有 s150.(3)汽车从 B 地返回 A 地，速度为 60 公里/小时，则有 s15060(t5)45060t，从 B 地到 A 地用时15060 2.5(小时)综上可得：该汽车离 A 地的距离 s 关于时间 t 的函数关系为 s50t，0t3，150，3t5，45060t，5t7.5.函数图象如图所示当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 AD B 中当 x2 时 f(2)
15、3 或 f(2)4 不是函数对于 C 取 x1，f(1)5 或 f(1)1，故 BC 不是分段函数1(多选题)下列给出的函数是分段函数的是()Af(x)x21，1x5，2x，x1 Bf(x)x1，xR，x2，x2Cf(x)2x3，1x5，x2，x1 Df(x)x23，x0，x1，x51 2 3 4 5 B 函数的解析式可化为 yx1，x1，1x，x0，1，x0，1，x0，则 f(f(0)等于_5 1 2 3 4 f(x)3x1 6 062 令 x1t，则 xt1，f(t)3(t1)23t1，f(x)3x1，f(2 021)2 021316 062.5已知函数 f(x1)3x2，则 f(x)的解析式为_，f(2 021)_.回顾本节知识，自我完成以下问题1求函数解析式主要有哪些方法？提示 代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)2作分段函数的图象应注意哪些问题？提示 根据不同的定义域选择不同的函数作图象注意衔接点的虚实3分段函数模型的应用关键是什么？提示 确定分段的各分界点即明确自变量的取值区间在每一区间内分类讨论写出相应的函数解析式点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
