1、第三章检测(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知a,bR,则“a=b”是“(a-b)+(a+b)i为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:(a-b)+(a+b)i为纯虚数的充要条件是实数a,b满足a-b=0,a+b0,即a=b,且a-b,也就是a=b0.故选B.答案:B2.(2018北京高考)在复平面内,复数11-i的共轭复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:11-i=1+i(1-i)(1+i)=12
2、+12i的共轭复数为12-12i,对应点的坐标为12,-12,该点位于第四象限,故选D.答案:D3.设i是虚数单位,若复数a-103-i(aR)是纯虚数,则a的值为()A.-3B.-1C.1D.3解析:由已知,得a-103-i=a-10(3+i)(3-i)(3+i)=a-10(3+i)10=a-3-i.复数a-103-i为纯虚数,a-3=0,即a=3.答案:D4.设z=1+i(i是虚数单位),则2z+z2等于()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i解析:z=1+i,2z+z2=21+i+(1+i)2=(1-i)+(1+2i-1)=1+i,故选D.答案:D5.已知aR,i是虚数单位,若z
3、=3+ai,zz=4,则a的值为()A.1或-1B.1C.-1D.4解析:由题意得z=3-ai,故zz=3+a2=4a=1,故选A.答案:A6.已知i是虚数单位,则复数i3+2i1+i=()A.-iB.iC.-1D.1解析:原式=-i+2i(1-i)2=1.答案:D7.已知复数z=(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(aR)不是纯虚数,则有()A.a0B.a2C.a0,且a2D.a-1解析:若z为纯虚数,则a2-a-2=0,|a-1|-10,解得a=-1.而已知z不是纯虚数,所以a-1.故选D.答案:D8.已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为M,则“
4、a12”是“点M在第四象限”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:z=(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i,所以复数z在复平面内对应的点M的坐标为(a+2,1-2a),所以点M在第四象限的充要条件是a+20,且1-2a12,故选C.答案:C9.若投掷两枚质地均匀的骰子得到其向上的点数分别为m和n,则复数(m+ni)(n-mi)为实数的概率为()A.13B.14C.16D.112解析:因为(m+ni)(n-mi)=2mn+(n2-m2)i为实数,所以n2=m2.因为骰子的点数为正数,所以m=n,则可以取1,2,6,共6种可能.所以所求概率为
5、666=16.故选C.答案:C10.复数z=(x-2)+yi(x,yR)在复平面内对应向量的模为2,则|z+2|的最大值为()A.2B.4C.6D.8解析:因为|z|=2,所以(x-2)2+y2=2,即(x-2)2+y2=4,故点(x,y)在以(2,0)为圆心,2为半径的圆上,而|z+2|=|x+yi|=x2+y2,它表示点(x,y)与原点的距离,结合图形(图略)易知|z+2|的最大值为4,故选B.答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.i是虚数单位,计算1-2i2+i的结果为_.解析:1-2i2+i=(1-2i)(2-i)(2+i)(2-i)=
6、2-i-4i-25=-5i5=-i.答案:-i12.若a是复数z1=(1-i)(3+i)的虚部,b是复数z2=1+i2-i的实部,则ab=_.解析:z1=(1-i)(3+i)=4-2i,由a是复数z1=(1-i)(3+i)的虚部,得a=-2.z2=1+i2-i=(1+i)(2+i)(2-i)(2+i)=1+3i5=15+35i.由b是复数z2=1+i2-i的实部,得b=15.则ab=-215=-25.答案:-2513.设复数z在对应法则f的作用下和复数w=zi对应,即f:zw=zi,则当w=-1+2i时,复数z=.解析:f:zw=zi,且w=-1+2i,zi=-1+2i,则z=2+i.z=2-
7、i.答案:2-i14.在复平面内,若z=m2(1+i)-m(4+i)-6i所对应的点在第二象限,则实数m的取值范围是.解析:z=m2-4m+(m2-m-6)i所对应的点在第二象限,m2-4m0,解得3m0,y0,z=1+i.(2)z2=(1+i)2=2i,z-z2=1+i-2i=1-i.如图所示,A(1,1),B(0,2),C(1,-1),BA=(1,-1),BC=(1,-3), cosABC=BABC|BA|BC|=1+3210=425=255.20.(10分)已知复数z1=cos +isin ,z2=cos -isin ,且z1+1z2=12+32i,求复数z1,z2.分析:解答本题的关键
8、是利用复数相等的充要条件先将复数问题实数化,再结合三角函数的知识求解.解:由z1+1z2=12+32i,得cos +isin +1cos-isin=12+32i,cos +isin +cos +isin =12+32i,即(cos +cos )+i(sin +sin )=12+32i.cos+cos=12,sin+sin=32.cos=12-cos,sin=32-sin. cos2+sin2=12-cos2+32-sin2=1,整理,得cos =1-3sin ,将代入sin2+cos2=1,可解得sin =0或sin =32.当sin =0时,cos =1,cos =-12,sin =32;当sin =32时,cos =-12,cos =1,sin =0.z1=-12+32i,z2=1或z1=1,z2=-12-32i.
