1、专题四 平面向量考情动态分析 平面向量是新增的内容,近几年中每年必考,而且有加强的趋势.从2006年高考题来看,有以下几个考查形式和特点:(1)有关“定比分点”,主要考查概念、定比分点坐标、中点坐标、两点间距离公式,试题难度不大,与课本中的例题、习题相当;(2)向量的加法,主要考查运算法则、几何意义;(3)平面向量的数量积、坐标运算、两向量平行与垂直的充要条件是命题的重点内容,主要考查运算能力和灵活运用知识的能力;(4)平面向量与三角、平面几何结合命题经常出现;(5)正弦定理和余弦定理的应用,如解斜三角形. 预测2007年的高考趋势:(1)以选择题、填空题形式出现的题目重点考查向量的运算为主.
2、 此类题一般难度不大,用来解决有关长度、夹角、垂直、平行、判断多边形的形状等.(2)以与三角函数、平面几何、解析几何知识相结合的解答题的形式出现. 此类题综合性比较强,难度较大,其中以三角函数、平面几何、解析几何中的常规题为主.4.1 向量的运算、数量积考点核心整合1.主要知识点有:向量的加法、减法运算;实数与向量的积;两个向量数量积的运算以及向量的坐标表示.重点内容是:向量共线的条件;向量的加减法运算法则;数量积ab=|a|b|cos及其公式的变形.2.借助向量知识可以求解长度、夹角,判断平行、垂直等问题,依据有:|a|=,cos=,ab(b0)a=b,abab=0(这里a0,b0).3.要
3、注意的是:若ab且cb,不一定有ac;再者,|ab|=|a|b|也不一定正确.4.理解向量及其有关概念;掌握向量的加法与减法;掌握平面向量的数量积及其几何意义;掌握向量的坐标运算.考题名师诠释【例1】点O在ABC内部且满足+2+2=0,则ABC的面积与OBC面积之比为( )A. B.3 C.4 D.5解析:设=2,=2,如图+2+2=0,O是ABC的重心.SAOB=SAOC=SOBC. 又B、C分别为OB、OC的中点,SOBC=SOBC=SAOB=SAOC=SAOB=SAOC,SABCSOBC=5.答案:D评述:因为+=0,由向量加法的几何意义可知O为ABC的重心,从而找出OAB,OAC,OB
4、C面积之间的关系.【例2】已知向量a=(2cos2x,1),b=(1,m+sin2x)(xR,m为实数,且y=ab.()求y关于x的函数表达式y=f(x);()当x0,时,f(x)的最大值为3,求m的值;若此时函数y=f(x)的图象可由函数y=2sin2x的图象按向量c=(h,k)(|h|)平移后得到,求实数h,k的值.解:()y=ab=(2cos2x,1)(1,m+sin2x)=2cos2x+sin2x+m=sin2x+cos2x+m+1=2(sin2x+cos2x)+m+1=2sin(2x+)+m+1.即f(x)=2sin(2x+)+m+1.()f(x)=2sin(2x+)+m+1x0,2
5、x+,当2x+=时,即x=时,f(x)取最大. 由题意知:2+m+1=3,m=0. 此时:f(x)=2sin(2x+)+1,可由函数y=2sin2x 向左平移个单位,再向上平移一个单位得到,h=-,k=1,c(h,k)=c(-,1).评述:向量的坐标形式沟通了向量与三角、解析几何等的联系。向量的有关概念和运算是处理这类问题的基础.【例3】 已知点G是ABC的重心.(1)求+;(2)过G作直线与AB、AC两条边分别交于M、N,且=x,=y,试求的值.解:(1)方法1:延长AG到E,使得AG=GE,并设AE与BC交于D,则D是BC的中点.由BC和GE互相平分知四边形BGCE为平行四边形,+=.+=
6、0,+=0.方法2:延长AG与BC交于D,则=2=(+)+(+),+=+=0.(2)令=b,=c,则=xb,=yc,=13(b+c).=-=(-x)b+c,=-=-b+(y-)c. 由与共线,知(-x)(y-)=(-),从而=3.说明:本题第(1)小题采用了向量加法的平行四边形法则,也可以设三角形三个顶点坐标,利用教科书5.5节例2结论证明;第(2)小题还可利用5.3节例5结论求解:=(b+c)=(+)=+,由M、G、N共线得=1, 即=3.【例4】已知平面向量a=(,-1),b=(,).(1)证明ab;(2)若存在不同时为零的实数k和t,使x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且xy,试求函数关系式k=f(t);(3)根据(2)的结论,确定k=f(t)的单调区间.(1)证明:ab=(,-1)(,)=-=0,ab.(2)解:由xy,知a+(t2-3)b(-ka+tb)=0.-ka2-k(t2-3)ab+tab+t(t2-3)b2=0.ab,上式又可化为-ka2+t(t2-3)b2=0. 把a、b的坐标代入上式,得k=t(t2-3),即k=f(t)=t3-t.(3)解:f(t)=t2-, 令f(x)0,得t1或t-1,函数k=f(t)=t3-t的增区间为(-,-1),(1,+). 令f(x)0,得-1t1,函数k=t3-t的减区间为(-1,1).