1、专题四 平面向量考情动态分析 平面向量是新增的内容，近几年中每年必考，而且有加强的趋势.从2006年高考题来看，有以下几个考查形式和特点：(1)有关“定比分点”，主要考查概念、定比分点坐标、中点坐标、两点间距离公式，试题难度不大，与课本中的例题、习题相当；(2)向量的加法，主要考查运算法则、几何意义；(3)平面向量的数量积、坐标运算、两向量平行与垂直的充要条件是命题的重点内容，主要考查运算能力和灵活运用知识的能力；(4)平面向量与三角、平面几何结合命题经常出现；(5)正弦定理和余弦定理的应用，如解斜三角形. 预测2007年的高考趋势：(1)以选择题、填空题形式出现的题目重点考查向量的运算为主.
2、 此类题一般难度不大，用来解决有关长度、夹角、垂直、平行、判断多边形的形状等.(2)以与三角函数、平面几何、解析几何知识相结合的解答题的形式出现. 此类题综合性比较强，难度较大，其中以三角函数、平面几何、解析几何中的常规题为主.4.1 向量的运算、数量积考点核心整合1.主要知识点有:向量的加法、减法运算；实数与向量的积；两个向量数量积的运算以及向量的坐标表示.重点内容是:向量共线的条件；向量的加减法运算法则；数量积ab=|a|b|cos及其公式的变形.2.借助向量知识可以求解长度、夹角,判断平行、垂直等问题,依据有:|a|=,cos=,ab(b0)a=b,abab=0(这里a0,b0).3.要
3、注意的是:若ab且cb,不一定有ac;再者,|ab|=|a|b|也不一定正确.4.理解向量及其有关概念；掌握向量的加法与减法；掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握向量的坐标运算.考题名师诠释【例1】点O在ABC内部且满足+2+2=0，则ABC的面积与OBC面积之比为( )A. B.3 C.4 D.5解析：设=2，=2，如图+2+2=0，O是ABC的重心.SAOB=SAOC=SOBC. 又B、C分别为OB、OC的中点，SOBC=SOBC=SAOB=SAOC=SAOB=SAOC，SABCSOBC=5.答案：D评述：因为+=0，由向量加法的几何意义可知O为ABC的重心，从而找出OAB，OAC，OB
4、C面积之间的关系.【例2】已知向量a=(2cos2x，1)，b=(1，m+sin2x)(xR，m为实数，且y=ab.()求y关于x的函数表达式y=f(x)；()当x0，时，f(x)的最大值为3，求m的值；若此时函数y=f(x)的图象可由函数y=2sin2x的图象按向量c=(h，k)(|h|)平移后得到，求实数h，k的值.解：()y=ab=(2cos2x，1)(1，m+sin2x)=2cos2x+sin2x+m=sin2x+cos2x+m+1=2(sin2x+cos2x)+m+1=2sin(2x+)+m+1.即f(x)=2sin(2x+)+m+1.()f(x)=2sin(2x+)+m+1x0，2
5、x+，当2x+=时，即x=时，f(x)取最大. 由题意知：2+m+1=3，m=0. 此时：f(x)=2sin(2x+)+1，可由函数y=2sin2x 向左平移个单位，再向上平移一个单位得到，h=-，k=1，c(h，k)=c(-，1).评述：向量的坐标形式沟通了向量与三角、解析几何等的联系。向量的有关概念和运算是处理这类问题的基础.【例3】 已知点G是ABC的重心.(1)求+；(2)过G作直线与AB、AC两条边分别交于M、N，且=x，=y，试求的值.解：(1)方法1：延长AG到E，使得AG=GE，并设AE与BC交于D，则D是BC的中点.由BC和GE互相平分知四边形BGCE为平行四边形，+=.+=
6、0，+=0.方法2：延长AG与BC交于D，则=2=(+)+(+)，+=+=0.(2)令=b，=c，则=xb，=yc，=13(b+c).=-=(-x)b+c，=-=-b+(y-)c. 由与共线，知(-x)(y-)=(-)，从而=3.说明：本题第(1)小题采用了向量加法的平行四边形法则，也可以设三角形三个顶点坐标，利用教科书5.5节例2结论证明；第(2)小题还可利用5.3节例5结论求解：=(b+c)=(+)=+，由M、G、N共线得=1， 即=3.【例4】已知平面向量a=(,-1),b=(,).(1)证明ab;(2)若存在不同时为零的实数k和t,使x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且xy,试求函数关系式k=f(t);(3)根据(2)的结论,确定k=f(t)的单调区间.(1)证明：ab=(,-1)(,)=-=0,ab.(2)解：由xy,知a+(t2-3)b(-ka+tb)=0.-ka2-k(t2-3)ab+tab+t(t2-3)b2=0.ab,上式又可化为-ka2+t(t2-3)b2=0. 把a、b的坐标代入上式,得k=t(t2-3),即k=f(t)=t3-t.(3)解：f(t)=t2-, 令f(x)0,得t1或t-1,函数k=f(t)=t3-t的增区间为(-,-1),(1,+). 令f(x)0,得-1t1,函数k=t3-t的减区间为(-1,1).