1、31.3函数的奇偶性第1课时函数奇偶性的概念考点学习目标核心素养函数奇偶性的判断结合具体函数，了解函数奇偶性的含义，掌握判断函数奇偶性的方法数学抽象、逻辑推理奇、偶函数的图像了解函数奇偶性与函数图像对称性之间的关系直观想象奇、偶函数的应用会利用函数的奇偶性解决简单问题数学运算 问题导学预习教材P104P109的内容，思考以下问题：1奇函数与偶函数的定义是什么？2奇、偶函数的定义域有什么特点？3奇、偶函数的图像有什么特征？1偶函数(1)定义：一般地，设函数yf(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)，则称yf(x)为偶函数(2)图像特征：图像关于y轴对称2奇函数(
2、1)定义：一般地，设函数yf(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)，则称yf(x)为奇函数(2)图像特征：图像关于原点对称名师点拨 (1)奇、偶函数定义域的特点由于f(x)和f(x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称(2)奇、偶函数的对应关系的特点奇函数有f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)；偶函数有f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)(3)函数奇偶性的三个关注点若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)0，xI，其中定义域I是
3、关于原点对称的非空集合；函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称()(2)函数f(x)x2的图像关于原点对称()(3)对于定义在R上的函数f(x)，若f(1)f(1)，则函数f(x)一定是奇函数()(4)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)f(x)0.()答案：(1)(2)(3)(4) 下列函数为奇函数的是()Ay|x|By3xCy Dyx214解析：选C.A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数，故选C. 若函数yf(x)，x2，a是偶函数，则a的值为(
4、)A2 B2C0 D不能确定解析：选B.因为偶函数的定义域关于原点对称，所以2a0，所以a2. 下列图像表示的函数是奇函数的是_，是偶函数的是_(填序号)解析：关于y轴对称是偶函数，关于原点对称是奇函数答案： 若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)2，则f(3)_，f(0)_解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(3)f(3)2，f(0)0.答案：20函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)|x1|x1|；(2)f(x) ；(3)f(x)；(4)f(x)【解】(1)因为xR，所以xR，又因为f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x)，所以f(x)为奇函数
5、(2)因为函数f(x)的定义域为1，1，关于原点对称，且f(x)0，所以f(x)f(x)，f(x)f(x)，所以f(x)既是奇函数又是偶函数(3)f(x)的定义域为1，0)(0，1即有1x1且x0，则1x1，且x0，又因为f(x)f(x)所以f(x)为奇函数(4)f(x)的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，f(x)1(x)1xf(x)；当x0，f(x)1(x)1xf(x)综上可知，对于x(，0)(0，)，都有f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法(2)图像法注意对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式 1
6、给定四个函数：yx3；y(x0)；yx31；y.其中是奇函数的有()A1个B2个C3个 D4个解析：选B.函数的定义域为R，f(x)x3，f(x)(x3)f(x)，则函数f(x)是奇函数；函数的定义域关于原点不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数；函数的定义域为R，f(0)0110，则函数f(x)为非奇非偶函数；函数的定义域为(，0)(0，)，f(x)f(x)，则函数f(x)是奇函数2如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是()Ayxf(x) Byxf(x)Cyx2f(x) Dyx2f(x)解析：选B.因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)对于A，g(x)xf(x)
7、xf(x)g(x)，所以yxf(x)是奇函数对于B，g(x)xf(x)xf(x)g(x)，所以yxf(x)是偶函数对于C，g(x)(x)2f(x)x2f(x)，所以yx2f(x)为非奇非偶函数对于D，g(x)(x)2f(x)x2f(x)g(x)，所以yx2f(x)是奇函数奇、偶函数的图像已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)x22x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像，如图所示(1)请补出完整函数yf(x)的图像；(2)根据图像写出函数yf(x)的增区间；(3)根据图像写出使f(x)0的x的取值集合【解】(1)由题意作出函数图像如图：(2)据图可知，单调递增区间为(1，
8、0)，(1，)(3)据图可知，使f(x)0的x的取值集合为(2，0)(0，2)1(变问法)本例条件下，y取何值时，有四个不同的x值与之对应？解：结合图像可知，满足条件的y的取值范围是(1，0)2(变条件)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？解：(1)由题意作出函数图像如图所示：(2)据图可知，单调递增区间为(1，1)(3)据图可知，使f(x)0的x的取值集合为(2，0)(2，)巧用奇偶性作函数图像的步骤(1)确定函数的奇偶性(2)作出函数在0，)(或(，0)上对应的图像(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(，0(或0，)上对应的函数图像注意作对称图像时
9、，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称点为(x0，y0)，关于y轴的对称点为(x0，y0)已知函数yf(x)是偶函数，且图像与x轴有四个交点，则方程f(x)0的所有实根之和是()A4B2C1 D0解析：选D.因为f(x)是偶函数，且图像与x轴有四个交点，所以这四个交点每组两个关于y轴一定是对称的，故所有实根之和为0.利用函数的奇偶性求参数(1)若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，且定义域为a1，2a，则a_，b_(2)若已知函数f(x)是定义在(1，1)上的奇函数，且f，求函数f(x)的解析式【解】(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a12a，解得a.又函数f(x)x
10、2bxb1为二次函数，结合偶函数图像的特点，易得b0.故填和0.(2)因为f(x)是定义在(1，1)上的奇函数，所以f(0)0，即0，所以b0.又因为f，所以a1，所以f(x).利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为a，b，根据定义域关于原点对称，利用ab0求参数(2)解析式含参数：根据f(x)f(x)或f(x)f(x)列式，比较系数即可求解 1若f(x)(ax1)(xa)为偶函数，且函数yf(x)在x(0，)上单调递增，则实数a的值为()A1B1C1 D0解析：选C.因为f(x)(ax1)(xa)ax2(1a2)xa为偶函数，所以1a20.所以a1.
11、当a1时，f(x)x21，在(0，)上单调递增，满足条件；当a1时，f(x)x21，在(0，)上单调递减，不满足2已知函数f(x)是奇函数，则a_解析：因为f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)0，即(a1)(11)0，故a1.答案：11下列函数是偶函数的是()AyxBy2x23CyDyx2，x(1，1解析：选B.对于A，定义域为R，f(x)xf(x)，是奇函数；对于B，定义域为R，满足f(x)f(x)，是偶函数；对于C和D，定义域不关于原点对称，则不是偶函数2函数f(x)x的图像关于()Ay轴对称B直线yx对称C坐标原点对称D直线yx对称解析：选C.函数f(x)x是奇函数，其图像关于坐标原点
12、对称3已知函数f(x)为R上的奇函数，且当x0时，f(x)x2，则f(1)_解析：当x0时，f(x)x2，所以f(1)112.又f(x)为奇函数，所以f(1)2.答案：24根据题中函数的奇偶性及所给部分图像，作出函数在y轴另一侧的图像，并解决问题：(1)如图是奇函数yf(x)的部分图像，求f(4)f(2)；(2)如图是偶函数yf(x)的部分图像，比较f(1)与f(3)的大小解：(1)作出函数在y轴另一侧的图像，如图所示，观察图像可知f(4)f(4)2，f(2)f(2)1，所以f(4)f(2)(2)(1)2.(2)作出函数在y轴另一侧的图像，如图所示观察图像可知f(1)f(1)，f(3)f(3)
13、，f(1)f(3)，所以f(1)f(3)A基础达标1下列函数为奇函数的是()Ayx22Byx，x(0，1Cyx3x Dyx31解析：选C.对于A，f(x)(x)22x22f(x)，即f(x)为偶函数；对于B，定义域不关于原点对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数；对于C，定义域为R，且f(x)(x)3(x)(x3x)f(x)，故f(x)为奇函数；对于D，f(x)x31f(x)且f(x)f(x)，故f(x)既不是奇函数，也不是偶函数2若函数f(x)(m1)x2(m2)x(m27m12)为偶函数，则m的值是()A1 B2C3 D4解析：选B.因为函数f(x)(m1)x2(m2)x(m27m12)
14、为偶函数，所以f(x)f(x)，即(m1)x2(m2)x(m27m12)(m1)x2(m2)x(m27m12)，即m2m2，解得m2.3设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)f(x)f(x)在R上一定()A是奇函数B是偶函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数解析：选A.F(x)f(x)f(x)f(x)f(x)F(x)，符合奇函数的定义4如图，给出奇函数yf(x)的局部图像，则f(2)f(1)的值为()A2 B2C1 D0解析：选A.由题图知f(1)，f(2)，又f(x)为奇函数，所以f(2)f(1)f(2)f(1)2.故选A.5如果函数y是奇函数，则f(x)_解析：设x
15、0，所以2(x)32x3.又原函数为奇函数，所以f(x)(2x3)2x3.答案：2x36已知函数f(x)ax3bx5，满足f(3)2，则f(3)的值为_解析：因为f(x)ax3bx5，所以f(x)ax3bx5，即f(x)f(x)10.所以f(3)f(3)10，又f(3)2，所以f(3)8.答案：87判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)3，xR；(2)f(x)5x44x27，x3，3；(3)f(x)解：(1)因为f(x)3f(x)，所以函数f(x)是偶函数(2)因为x3，3，f(x)5(x)44(x)275x44x27f(x)，所以函数f(x)是偶函数(3)当x0时，f(x)1x2，此时x0，所
16、以f(x)(x)21x21，所以f(x)f(x)；当x0，f(x)1(x)21x2，所以f(x)f(x)；当x0时，f(0)f(0)0.综上，对xR，总有f(x)f(x)，所以函数f(x)为R上的奇函数8定义在R上的奇函数f(x)在0，)上的图像如图所示(1)补全f(x)的图像；(2)解不等式xf(x)0.解：(1)描出点(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(1，1)，(2，0)，则可得f(x)的图像如图所示(2)结合函数f(x)的图像，可知不等式xf(x)0的解集是(2，0)(0，2)B能力提升9设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确
17、的是()Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数解析：选C.依题意得对任意xR，都有f(x)f(x)，g(x)g(x)，因此，f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B错；f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确；|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错故选C.10已知f(x
18、)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)()A3 B1C1 D3解析：选C.因为f(x)g(x)x3x21，所以f(x)g(x)x3x21，又由题意可知f(x)f(x)，g(x)g(x)，所以f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)1，故选C.11已知奇函数f(x)(1)求实数m的值，并画出yf(x)的图像；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，试确定a的取值范围解：(1)当x0，f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)x22x，所以f(x)x22x，所以m2.yf(x)的图像如图所示(2)由
19、(1)知f(x)由图像可知，f(x)在1，1上单调递增，要使f(x)在1，a2上单调递增，只需解得10.(1)若ab，试比较f(a)与f(b)的大小关系；(2)若f(1m)f(32m)0，求实数m的取值范围解：(1)因为ab，所以ab0，由题意得0，所以f(a)f(b)0.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(b)f(b)，所以f(a)f(b)0，即f(a)f(b)(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，因为f(1m)f(32m)0，所以f(1m)f(32m)，即f(1m)f(2m3)，所以1m2m3，所以m4.所以实数m的取值范围为(，4C拓展探究13已知f(x)是定义在R上的函数，设g(x)，h(x).(1)试判断g(x)与h(x)的奇偶性；(2)试判断g(x)，h(x)与f(x)的关系；(3)由此你能猜想出什么样的结论？解：(1)因为g(x)g(x)，h(x)h(x)，所以g(x)是偶函数，h(x)是奇函数(2)g(x)h(x)f(x)(3)如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和
